第 26 讲 线段的定比分点及平移

第 26 讲 线段的定比分点及平移 1 课时 线段的定比分点及平移 化简曲线方程 平移公式 定比分点坐标公式 的确定 外分点 内分点 线段的定比分点 kyy hxx yy x xx x 1 1 21 21 重点重点 1 定比分点的意义以及 的确定 2 分点公式的掌握和应用 3 平移公式的理 解和应用 难点难点 1 定比分点公式的掌握 2 利用平移公式化简 1 掌握线段的定比分点和中点坐标公式和两点间的距离公式 并能熟练运用 2 掌握平 移公式并能熟练运用 1 求分点坐标或 2 解决对称问题 3 求函数平移后的表达式 1 线段的定比分点 线段的定比分点 点 P 分有向线段所成的比 设 P1 P2是直线 l 上的两点 P 是 l 上异于 P1 P2的任一 21P P 点 则存在实数 使 称 为点 P 分所成的比 PP 12 PP 21P P 当点 P 在线段内时 称点 P 为的内分点 此时 并且 特别地 21P P 21P P0 2 1 PP PP 当 P 和重合时 1 P0 当点 P 在线段 或 的延长线上时 称点 P 为的外分点 此时 并且 21P P 12P P 21P P0 特别地 当 P 和重合时 不存在 2 1 PP PP 2 P 注意的含义 比值 是数量之比 而不是长度之比 神经网络神经网络 准确记忆 重点难点重点难点 好好把握 考纲要求考纲要求 注意紧扣 命题预测命题预测 仅供参考 考点热点考点热点 一定掌握 注意定比分点的特定位置 求 时 或 中 是起点 是终点 2 1 PP PP 2 1 PP PP 1 P 2 P 是分点 P 2 线段的定比分点公式 线段的定比分点公式 设 点 P1 P P2坐标为 PP 12 PP 11 yx yx 22 yx 则有定比分点公式 1 1 21 21 yy y xx x 特别地 当 P 是的中点时 则有中点公式 21P P 2 2 21 21 yy y xx x 设 ABC 的三个顶点为 A B C 11 yx 22 yx 33 yx 则 ABC 的重心 G x y 的坐标为 3 3 321 321 yyy y xxx x 例例 已知两点 在直线 上求一点 使得 4 3 A 2 9 BABPABAP 3 1 解 1 当是 的内分点时 由 可得 分 所成的比值 PABABAP 3 1 PAB 2 1 此时 点坐标为 P 21 2 当是 的外分点时 由 可得 分 所成的比值 PABABAP 3 1 PAB 4 1 此时 点坐标为 P 67 点评点评 对于分点问题 首先要判断是内分还是外分 如不能确定 就需要对两种情况加以 讨论 3 平移公式 平移公式 把点 P x y 按向量 a h k 平移后得到 P x y 则有 kyy hxx 注意事项注意事项 1 图形的平移 实质上是点的平移 平移只是改变图形的位置 而不改变图形 的形状和大小 注意事项注意事项 2 计算时 新旧坐标的替换不要搞错 例例 求函数 的图像按向量平移后的图像的解析式 xy2sin3 1 4 a 已知一个函数的图像 按向量平移后图像的解析式为 求原来函数的 1 1 a 2 2xy 解析式 分析 已知向量 求平移前或平移后的解析式 所用的方法实质上没有区别 只要注意a 别把新旧坐标弄错就行了 解 设是函数图像上的任一点 平移后对应的点为 P yx xy2sin3 P yx 由平移公式得 则 1 4 yy xx 1 4 yy xx 代入 得 即 xy2sin3 4 2sin31 xy12sin3 xy 故平移后图像的解析式为 12sin3 xy 点评点评 习惯上最后结果中不用 x y 设是原函数图像上的任一点 平移后的对应点为 P yx P yx 由平移公式得 代入 得 即 1 1 yy xx 2 2xy 2 1 21 xy342 2 xxy 故原函数的解析式为 342 2 xxy 注意事项注意事项 3 平移是一种重要的变换手段 他可以将复杂问题 不易解决的问题 变得简 单明了 例例 已知函数的图像为F 将F按向量平移后的图像为 若表达式 xfya F F 为 求平移向量 xfy a 解 设 点为上的任一点 它在上的对应点为 kha P yx xfy F P yx 由平移公式得 代入得 kyy hxx xfy hxfky 它与应是同一函数 对比后可得 xfy 0 0 k h k h 故即为所求 a 4 综合应用 综合应用 例例 2000 年文科高考题 如图 已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD 点 E 分有向线段所成的比为 双曲线过AC 11 8 C D E 三点 且以 A B 为焦点 求双曲线的离心率 解 如图 以 AB 的垂直平分线为 y 轴 直线 AB 为 x 轴 建立 直角坐标系 xOy 则 CD y 轴 因为双曲线经过点 C D 且以 A B 为焦点 由双曲线的对称 性知 C D 关于 y 轴对称 依题意 记 A c 0 C h B c 0 其中 c 为双曲线的半 2 c 焦距 c AB h 是梯形的高 2 1 由定比分点坐标公式 得点 E 的坐标为 c c c xE 19 7 11 8 1 211 8 h h yE 19 8 11 8 1 11 8 0 设双曲线的方程为 则离心率 1 2 2 2 2 b y a x a c e 由点 C E 在双曲线上 得 1 361 64 361 49 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b h a c b h a c 由 式得代入 式得 1 4 1 2 2 2 2 a c b h 9 2 2 a c A B CD E 所以 离心率 3 2 2 a c e 习题双基细目表 12345678 XLXL01010707 线段的定比分点线段的定比分点 判断 的正负以及求 定比分点 中点公式 重心公式 XLXL01010808 平移平移 求平移后的解析式 求平移前的解析式 求平移向量 XLXL01010909 应用应用 定比分点用于解析几何 平移用于化简曲线方程 1 已知点 分有向线 的比为 2 则下列结论中错误的是 A 点 分 比是 B 点 分 的比是 C 点 分 的比是 D 点 分 的比是 2 答案 D 2 点 分 的比为 为线段 的中点 则 分 的比为 A B C D 答案 B 3 3 将二次函数的图象按向量a a平移后得到的图象与一次函数的图象只有 2 yx 25yx 一个公共点 3 1 则向量a a 4 已知 ABC 的顶点是 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 求 ABC 的重心 G 的坐标 x y 解 如图 D 是 BC 中点 D 点的坐标 2 2 3232 yyxx 且 G 分有向线段 AD 所成的比 2 能力测试能力测试 认真完成 参考答案参考答案 仔细核对 A B C G D G 的坐标 3 3 21 2 21 2 321 321 32 1 32 1 yyy y xxx x yy y y xx x x ABC 的重心 G 的坐标是 3 3 321321 yyyxxx 答案 2 0 5 5 已知抛物线 y x2 4x 7 求抛物线顶点坐标 求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式 解 设抛物线 y x2 4x 7 的顶点 O 坐标为 h k 则 h 2 k 3 顶点 O 坐标为 2 3 按题设 这种平移是使点 O 2 3 移到 O 0 0 设 m n 则OO 330 2 2 0 n m 设 P x y 是抛物线 y x2 4x 7 上任一点 对应点 P 为 x y 则 代入 y x2 4x 7 得 y x 2 3 2 3 2 yy xx yy xx 即 y x2 6 将二次函数 的图像按向量 平移后得到的图像的解析式为 试求 p q r 的值 解 将二次函数 的图像按向量 平移后得到的图像的解析式 为 即 它就是 解之得 7 若直线 与连接 两点的线段有交点 求实数 的取值 范围 分析 当直线与线段 有交点时 这个交点分有向线段 所成的比 不小于 0 从 而得到关于 的不等式 但应注意考虑端点的情况 解 当直线过 点时 有 当直线过 点时 有 当直线与线段 的交点在 之间时 设这个交点 分 的比为 它的坐标为 则 而直线过 点 则 整理 得 由 得 解得 或 故所求实数 的取值范围为 或 点评 1 定比 的符号是求解本题的关键 应当注意 当点 在线段 上时 当点 在线段 或 的延长线上时 切不可将之混为一谈 2 恰当地利