相似三角形实际应用

1 相似三角形实际应用 教学目标 1 熟练掌握相似三角形相关知识 并能灵活应用 2 熟练掌握三角形相似常用模型及其求解方法 并能灵活应用 3 掌握实际问题中三角形相似应用模型 并能准确识别求解 教学难点 1 实际问题中相似三角形模型建立 2 特殊情况下相似特设转换求解 典例解析 题型分类 一 利用影子测高问题 1 在阳光下 身高 1 68m 的小强在地面上的影长为 2m 在同一时刻 测得学校的旗杆在地 面上的影长为 18m 则旗杆的高度为 精确到 0 1m 2 如图 某同学想测量旗杆的高度 他在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长 1 5 米 在同时刻测量旗杆的影长时 因旗杆靠近一楼房 影子不全落在地面上 有一部分落在墙上 他测得 落在地面上影长为 21 米 留在墙上的影高为 2 米 求旗杆的高度 3 一天晚上 黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度 如图 当李明走到点 A 处 时 张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等 接着李明沿 AC 方向继续向前走 走到点 B 处时 李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB 并测得 AB 1 25m 已知李明直立时的身高为 1 75m 求路灯的高 CD 的长 结果精确到 0 1m 2 4 4 如图所示 该小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一个圆弧型小桥在内的路上 于是他 们开展了测算小桥所在圆的半径的活动 小刚身高 1 6 米 测得其影长为 2 4 米 同时测得 EG 的长 为 3 米 HF 的长为 1 米 测得拱高 弧 GH 的中点到弦 GH 的距离 即 MN 的长 为 2 米 求小桥所在圆的半径 二 利用平面镜原理测高问题 1 1 如图 是小明设计用手电来测量古城墙高度的示意图 点 P 处放一水平的平面镜 光线从点 A 出 发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 且测得 AB 1 2m BP 1 8m PD 12m 求古 城墙的高度 CD 2 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度 如图 在水平地面上放一面平面镜 镜子与教 学大楼的距离 EA 21 米 当她与镜子的距离 CE 2 5 米时 她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B 已知她的眼睛距地面高度 DC 1 6 米 请你帮助小玲计算出教学大楼的高度 AB 是多少米 注 意 根据光的反射定律 反射角等于入射角 二 利用三点共线构造相似 1 在一次数学测验活动中 小明到操场测量旗杆 AB 的高度 他手拿一支铅笔 MN 边观察边移动 铅笔 MN 始终与地面垂直 如示意图 当小明移动到 D 点时 眼睛 C 与铅笔 旗杆的顶端 M A 共线 同时 眼睛 C 与它们的 底端 N B 也恰好共线 此时 测得 DB 50m 小明的眼睛 C 到铅笔的距离为 0 65m 铅笔 MN 的 长为 0 16m 请你帮助小明计算出旗杆 AB 的高度 结果精确到 0 1m 2 2 一天 数学课外活动小组的同学们 带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的 圆锥形坑 的深度 来 评估这些坑道对河道的影响 如图是同学们选择 确保测量过程中无安全隐患 的测量对象 测量方 案如下 3 先测出沙坑坑沿的圆周长 34 54 米 甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上 经过适当调整自己所处的位置 当他位于 B 时恰好 他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点 A 看到坑底 S 甲同学的视线起点 C 与点 A 点 S 三点共线 经测量 AB 1 2 米 BC 1 6 米 根据以上测量数据 求圆锥形坑的深度 圆锥的高 取 3 14 结果精确 到 0 1 米 3 如图 小芳家的落地窗 线段 DE 与公路 直线 PQ 互相平行 她每天做 完作业后都会在点 A 处向窗外的公路望去 1 请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为 BC 2 小芳很想知道点 A 与公路之间的距离 于是她想到了一个办法 她测出了邻家小彬在公路 BC 段上走过的时间为 10 秒 又测量了点 A 到窗的距离是 4 米 且窗 DE 的长为 3 米 若小彬步行的平 均速度为 1 2 米 秒 请你帮助小芳计算出点 A 到公路的距离 4 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB 他调整自己的位置 设法使斜 边 DF 保持水平 并且边 DE 与点 B 在同一直线上 已知纸板的两条直角边 DE 0 4m EF 0 2m 测 得边 DF 离地面的高度 AC 1 5m CD 8m 求树高 三 测量宽度问题 1 如图 为了测量水塘边 A B 两点之间的距离 在可以看到的 A B 的点 E 处 取 AE BE 延长线 上的 C D 两点 使得 CD AB 若测得 CD 5m AD 15m ED 3m 则 A B 两点间的距离为 3 如图 A 为河对岸一点 AB BC DC BC 垂足分别为 B C 直线 AD BC 相交于点 E 如果测得 BF 80m CE 40m CD 30m 求河宽 AB 2 如图 A B 两点被池塘隔开 在 AB 外任选一点 C 连结 AC BC 分别取其三等分点 M N 量得 MN 38m 求 AB 的长 A B D C E 4 3 3 如图 1 小红家阳台上放置了一个晒衣架 如图 2 是晒衣架的侧面示意图 立杆 AB CD 相交于点 O B D 两点立于地面 经测量 AB CD 136cm OA OC 51cm OE OF 34cm 现将晒衣架完全稳固张开 扣链 EF 成一条直线 且 EF 32cm 1 求证 AC BD 2 求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角 OEF 的度数 精确到 0 1 3 小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm 垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面 请通过计算 说明理由 参考数据 sin61 9 0 882 cos61 9 0 471 tan61 9 0 553 可使用科学记算器 4 4 如图 AB CD 是两个过江电缆的铁塔 塔 AB 高 40 米 AB 的中点为 P 塔底 B 距江面的垂直高度为 6 米 跨江电缆因重力自 然下垂近似成抛物线形 为了保证过往船只的安全 电缆下垂的 最低点距江面的高度不得少于 30 米 已知 人在距塔底 B 点西 50 米的地面 E 点恰好看到点 E P C 在一直线上 再向西前进 150 米 后从地面 F 点恰好看到点 F A C 在一直线上 1 求两铁塔轴线间的距离 即直线 AB CD 间的距离 2 若以点 A 为坐标原点 向东的水平方向为轴 取单位长度为 1 米 BA 的延长方向为轴建xy 立坐标系 求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式 5 课后作业课后作业 1 如图 甲楼 AB 高 18 米 乙楼坐落在甲楼的正北面 已知当地冬至中午 12 时 物高与影长的比是 1 已知两楼相距 20 米 那么甲楼的影子落在乙楼上有多高 2 3 为了测量路灯 OS 的高度 把一根长 1 5 米的竹竿 AB 竖直立在水平地面上 测得竹竿的影子 BC 长为 1 米 然后拿竹竿向远离路灯方向走了 4 米 BB 再把竹竿竖立在地面上 测得竹竿的 影长 B C 为 1 8 米 求路灯离地面的高度 4 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度 学校数学兴趣小组做了如下的探索 根据 科 学 中光的反射定律 利用一面镜子和一根皮尺 设计如下图所示的测量方案 把一面很小的镜子放 在离树底 B 8 4 米的点 E 处 然后沿着直线 BE 后退到点 D 这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A 再用皮尺量得 DE 2 4 米 观察者目高 CD 1 6 米 则树 AB 的高度约为 米 精确到 0 1 米 5 高为 12 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB 如图所示 1 某一时刻测得大树 AB 教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC 2 5 米 DF 7 5 米 求大 树 AB 的高度 2 现有皮尺和高为 h 米的测角仪 请你设计另一种测量大树 AB 高度的方案 要求 在图中 画出你设计的图形 长度用字母 m n 表示 角度用希腊字母 表示 E D C B A h S A CBB OC A 6 根据你所画出的示意图和标注的数据 求出大树的高度并用字母表示 6 如图所示 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼 该居民楼的一楼 是高 6 米的小区超市 超市以上是居民住房 在该楼的前面 15 米处要盖一 栋高 20 米的新楼 当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32 时 1 问超市以上的居民住房采光是否受影响 为什么 2 若要使超市采光不受影响 两楼至少应相距多少米 结果保留 整数 参考数据 sin32 cos32 53 100 7 某一天 小明和小亮来到一河边 想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度 两人在确保无安全 隐患的情况下 先在河岸边选择了一点 B 点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线 垂直于河岸 小明在 B 点面向树的方向站好 调整帽檐 使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处 如图所示 这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB 1 7 米 小明站在原地转动 180 后蹲下 并保持原来的观察姿态 除身体重心下移外 其他姿态均不变 这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处 此时小亮测得 BE 9 6 米 小明的眼睛距地面的距 离 CB 1 2 米 根据以上测量过程及测量数据 请你求出河宽 BD 是多少米 8 如图 为测量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度 小亮在操场上点 C 处直立高 3m 的竹竿 CD 然 后退到点 E 处 此时恰好看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端 B 重合 小亮又在点 C1处直立高 3m 的竹竿 C1D1 然后退到点 E1处 此时恰好看到竹竿顶端 D1与电线杆顶端 B 重合 小亮的眼睛离地面高度 EF 1 5m 量得 CE 2m EC1 6m C1E1 3m 7 1 FDM F1D1N 2 求电线杆 AB 的高度 9 问题背景 在某次活动课中 甲 乙 丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体 进行了测量 下面是他们通过测量得到的一些信息 甲组 如图 1 测得一根直立于平地 长为 80 cm 的竹竿的影长为 60 cm 乙组 如图 2 测得学校旗杆的影长为 900 cm 丙组 如图 3 测得校园景灯 灯罩视为球体 灯杆为圆柱体 其粗细忽略不计 的高度为 200 cm 影长为 156 cm 任务要求 1 请根据甲 乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度 2 如图 3 设太阳光线 NH 与 O 相切于点 M 请根据甲 丙两组得到的信息 求景灯灯罩的半径 友情提示 如图 3 景灯的影长等于线段 NG 的影长 需要时可采用等式 1562 20