线性代数第四章练习题答案

第四章第四章 二二 次次 型型 练习练习 4 1 1 写出下列二次型的矩阵 写出下列二次型的矩阵 1 321 xxxf 3231 2 2 2 1 242xxxxxx 2 4321 xxxxf 43413121 2222xxxxxxxx 解 解 1 因为 321 xxxf 321 xxx 012 110 202 3 2 1 x x x 所以二次型的矩阵为 321 xxxf 012 110 202 2 因为 4321 xxxxf 4321 xxxx 0101 1001 0001 1110 4 3 2 1 x x x x 所以二次型的矩阵为 4321 xxxxf 0101 1001 0001 1110 2 写出下列对称矩阵所对应的二次型 写出下列对称矩阵所对应的二次型 1 2 22 2 1 20 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 01 2 1 0 解 解 1 设 则 T 321 xxxX XTAX 321 xxxf 321 xxx 22 2 1 20 2 1 2 1 2 1 1 3 2 1 x x x 323121 2 3 2 1 42xxxxxxxx 2 设 设 则 T 4321 xxxxX XTAX 4321 xxxxf 4321 xxxx 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 01 2 1 0 4 3 2 1 x x x x 4342323121 2 4 2 2 2xxxxxxxxxxxx 练习练习 4 2 1 用正交替换法将下列二次型化为标准形 并写出所作的线性替换 用正交替换法将下列二次型化为标准形 并写出所作的线性替换 1 321 xxxf 3221 2 2 2 1 442xxxxxx 2 321 xxxf 3221 22xxxx 3 321 xxxf 3221 2 3 2 2 2 1 4432xxxxxxx 解 解 1 二次型的矩阵 321 xxxf A 020 212 022 A 的特征方程为 0 det AE 20 212 022 45 2 2 由此得到 A 的特征值 2 1 1 2 4 3 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为2 1 0 2 XAE T 1 2 2 1 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为 1 2 0 XAE T 2 2 1 2 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为 4 3 0 4 XAE T 3 1 2 2 将单位化 得 321 T 1 1 1 3 2 3 2 3 1 1 T 2 2 2 3 2 3 1 3 2 1 T 3 3 3 3 1 3 2 3 2 1 令 P 321 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 则 PTAP diag 2 1 4 400 010 002 作正交替换 X PY 即 3213 3212 3211 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 yyyx yyyx yyyx 二次型可化为标准形 321 xxxf 2 3 2 2 2 1 42yyy 2 类似题 1 方法可得 P PTAP 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 200 020 000 即得标准形 2 3 2 2 22yy 3 类似题 1 的方法可得 P PTAP 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 100 050 002 即得标准形 2 3 2 2 2 1 52yyy 2 用配方法将下列二次型化为标准形 用配方法将下列二次型化为标准形 1 321 xxxf 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxx 2 321 xxxf 3121 42xxxx 3 321 xxxf 323121 224xxxxxx 解 解 1 先将含有的项配方 1 x 321 xxxf 2 1 x 2 321 xxx 2 32 xx 2 32 xx 2 2 2x 32 6xx 2 3 5x 2 321 xxx 2 2 x 32 4xx 2 3 4x 再对后三项中含有的项配方 则有 2 x 321 xxxf 2 321 xxx 2 2 x 32 4xx 2 3 4x 2 321 xxx 2 32 2 xx 设Y X B T 321 yyy T 321 xxx 000 210 111 令Y BX 则可将原二次型化为标准形 2 2 2 1 yy 2 此二次型没有平方项 只有混合项 因此先作变换 使其有平方项 然后按题 1 的方法进行配方 令 即 33 212 211 yx yyx yyx 3 2 1 x x x 100 011 011 3 2 1 y y y 则原二次型化为 321 xxxf 2 2121 yyyy 321 4yyy 2 1 2y 2 2 2y 31 4yy 32 4yy 2 31 2yy 2 32 2yy 设Y Z B T 321 yyy T 321 zzz 000 110 101 令Z BY 则可将原二次型化为标准形 2 2 2 1 22zz 3 类似题 2 的方法 可将原二次型化为标准形 2 3 2 2 2 1 44zzz 3 用初等变换法将下列二次型化为标准形 用初等变换法将下列二次型化为标准形 1 321 xxxf 3221 2 3 2 2 2 1 4242xxxxxxx 2 321 xxxf 323121 2 3 2 2 2 1 6223xxxxxxxxx 3 此题与课本貌似而已 注意哈 此题与课本貌似而已 注意哈 321 xxxf 323121 624xxxxxx 解 解 1 二次型的矩阵为 321 xxxf A 420 221 011 于是 E A 100 010 001 420 221 011 100 010 001 420 210 011 100 010 011 420 210 001 100 210 211 000 010 001 令 C 100 210 211 作可逆线性变换 X CY 原二次型可化为标准形 321 xxxf 2 2 2 1 yy 2 类似题 1 的方法 原二次型可化为标准形 321 xxxf 2 3 2 2 2 1 4yyy 3 类似题 1 的方法 原二次型可化为标准形 321 xxxf 2 3 2 2 2 1 6 2 1 2yyy 4 已知二次型 已知二次型 321 xxxf 323121 2 3 2 2 2 1 66255xxxxxxcxxx 的秩为的秩为 2 求参数 求参数 c 的值 并将此二次型化为标准形 的值 并将此二次型化为标准形 解 解 二次型的矩阵为 321 xxxf A c33 351 315 因为 A 的秩为 2 令 detA 0 可得 c 3 即 321 xxxf 323121 2 3 2 2 2 1 662355xxxxxxxxx 也就是 A 333 351 315 通过初等变换法 即可将其化为标准形 2 3 2 2 94yy 5 设 设 2n 元二次型元二次型 221n xxxf 112221 nnnn xxxxxx 试用可逆线性替换法将其化为标准形 试用可逆线性替换法将其化为标准形 解 解 令 P nn nn nnn nnn n n yyx yyx yyx yyx yyx yyx 212 12212 11 1 1222 211 1001 0110 11 11 0110 1001 即作正交变换 X CY 二次型可化为标准型 221n xxxf 2 2 2 1 22 1nnn yyyy 6 已知二次型 已知二次型 a 0 通过正交变换化为标准通过正交变换化为标准 321 xxxf 32 2 3 2 2 2 1 2332xaxxxx 型型 求 求的值及所作的正交替换矩阵 的值及所作的正交替换矩阵 2 3 2 2 2 1 52yyyf a 解 解 因为原二次型可化为 可知原二次型的矩阵的特征值为 2 3 2 2 2 1 52yyyf 1 2 和 5 而原二次型的矩阵为 A 30 30 002 a a 故 A 的特征方程为 0 det AE 30 30 002 a a 96 2 22 a 因此将此特征方程的解 1 2 5 代入得 a 2 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为1 1 0 XAE T 1 1 1 0 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为 2 2 0 2 XAE T 2 0 0 1 对于 求其线性方程组 可解得基础解系为 5 3 0 5 XAE T 3 1 1 0 将单位化 得 321 T 1 1 1 2 1 2 1 0 1 T 2 2 2 0 0 1 1 T 3 3 3 2 1 2 1 0 1 故正交替换矩阵为 P 321 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 010 练习练习 4 3 1 判别下列二次型是否为正定二次型 判别下列二次型是否为正定二次型 1 321 xxxf 3221 2 3 2 2 2 1 44465xxxxxxx 2 321 xxxf 323121 2 3 2 2 2 1 28248210 xxxxxxxxx 3 4321 xxxxf 324131 2 4 2 3 2 2 2 1 44674xxxxxxxxxx 4342 42xxxx 解 解 1 二次型的矩阵为 321 xxxf A 420 262 025 由于 5 0 26 0 84 0 62 25 420 262 025 即A的一切顺序主子式都大于零 故此二次型为正定的 2 2 二次型的矩阵为 321 xxxf A 11412 1424 12410 由于 A 3588 0 11412 1424 12410 故此二次型不为正定的 3 二次型的矩阵为 4321 xxxxf A 7222 2423 2210 2301 由于 90 0 A 0 1 1 t t 2 1t tt45 2 由此解得 0 5 4 t 3 二次型的矩阵为 321 xxxf A 0 2 0 2 11 012 t t 由 2 0 0 A 0 11 12 2 1 2 t 解得 22 t 3 设 设 A B 为为 n 阶正定矩阵 证明阶正定矩阵 证明 BAB 也是正定矩阵 也是正定矩阵 证明 证明 由于 A B 是正定矩阵 故 A 及 B 为实对称矩阵 所以 BAB T BTATBT BAB 即 BAB 也为实对称矩阵 由于 A B 为正定矩阵 则存在可逆矩阵 C1 C2 有 A C1TC1 B C2TC2 所以 BAB C2TC2C1TC1C2TC2 C1C2TC2 T C1C2TC2 即 BAB 也是正定矩阵 4 如果 如果 A B 为为 n 阶正定矩阵 则阶正定矩阵 则 A B 也为正定矩阵 也为正定矩阵 证明 证明 由于 A B 是正定矩阵 故 A 及 B 为实对称矩阵 从而 A B 也为实对称矩阵 而且 AXXf T BXXg T 为正定二次型 于是对不全为零的实数 有 n xxx 21 0 T AXX0 T BXX 故 h XBAX T AXX T 0 T BXX 即二次型 h 为正定的 故 A B 为正定矩阵 XBAX T 5 设 设 A 为正定矩阵 则为正定矩阵 则 A 1和和 A 也是正定矩阵 其中也是正定矩阵 其中 A 为为 A 的伴随矩阵 的伴随矩阵 证明 证明 因为 A 为正定矩阵 故 A 为实对称矩阵 从而 即也为对称矩阵 11TT1 AAA 1 A 即也为对称矩阵 TT AAA A 由已知条件可知 存在可逆矩阵 C 使得 CCA T 于是 T111T1 CCCCAQQT A T111 CCAAA T11 1 1 C A C A PPT 其中 Q P 都为可逆矩阵 T1 C T1 1 C A 故 A 1和 A 都为正定矩阵 6 设 设 A 为为n n m m实矩阵 且实矩阵 且r r A A m m n n 求证 求证 1 1 ATA 为为 m 阶正定矩阵 阶正定矩阵 2 AAT为为 n 阶半正定矩阵 阶半正定矩阵 证明 证明 1 因为 A 为n m实矩阵 所以为m n矩阵 又r A m n 因此 方程 T A 组 AX O 只有零解 于是对于任意的 X O 有 AX O 则 XT ATA X AX T AX 0 因此 为正定矩阵 AAT 2 因为 A 为n m实矩阵 所以为m n矩阵 又r A m n 因此 方程组 T A ATX O 有非零解 即存在 X0 O 有 AX0 O 于是对于任意的 X O 有 XT AAT X A T X T A T X 0 因此 为半正定矩阵 T AA 7 试证实二次型 试证实二次型是半正定的充分必要条件是是半正定的充分必要条件是的正惯性指数等于的正惯性指数等于 21n xxxf f 它的秩 它的秩 证明 证明 充分性 设的正惯性指数等于它的秩 都是 r 则负惯性指数为零 于是f 可经过线性变换 X CY 变成f 21n xxxf 2 2 2 2 1r yyy 从而对任一组实数 由 X CY 可得 Y C 1X 即有相应的实数 n xxx 21 nr yyy 1 使 0 21n xxxf 2 2 2 2 1r yyy 即为半正定的 f 必要性 设为半正定的 则的负惯性指数必为零 否则 可经过线性变换fff X CY 化为 s r 21n xxxf 22 1 2 2 1rss yyyy 于是当 yr 1 其余 yi 0 时 由 X CY 可得相应的值 带入上式则得