苏教版《全等三角形》知识点总结+习题+单元测试题

第一章第一章 三角形全等三角形全等 1 1 全等三角形的定义 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 理解 全等三角形形状形状与大小大小完全相等 与位置位置无关 一个三角形经过平移 翻折 旋转平移 翻折 旋转后得到的三角形 与原三角形仍然全等全等 三角形全等不因位置发生变化而改变 2 2 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等对应边相等 对应角相等 理解 长边对长边 短边对短边 最大角对最大角 最小角对最小角 对应角的对边为对应边 对应边对的角为对应角 全等三角形的周长相等周长相等 面积相等面积相等 全等三角形的对应边对应边上的对应中线 角平分线 高线对应中线 角平分线 高线分别相等相等 3 3 全等三角形的判定 全等三角形的判定 边角边公理边角边公理 SAS SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理角边角公理 ASA ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论推论 AAS AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理边边边公理 SSS SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边公理斜边 直角边公理 HL HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4 4 证明两个三角形全等的基本思路 证明两个三角形全等的基本思路 已知两边 找第三边 SSS 找夹角 SAS 找是否有直角 HL 已知一边一角 找一角 AAS 或 ASA 找夹边 SAS 已知两角 找夹边 ASA 找其它边 AAS 例题评析例题评析 例例 1 1 已知 如图 点 D E 在 BC 上 且 BD CE AD AE 求证 AB AC 例例 2 2 已知 如图 A C F D 在同一直线上 AF DC AB DE BC EF 求证 ABC DEF B C D E F A A BCDE 例例 3 已知 BE CD BE DE BC DA 求证 BEC DEA DF BC 例例 4 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 例例 5 5 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 DC 边上的点 连接 BE 将 BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90 得到 DCF 连接 EF 若 BEC 60 求 EFD 的度数 例例 6 6 如图 将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠 使点B落到点 B 的位置 AB 与CD交于点E 1 试找出一个三角形与 AED全等 并加以证明 2 若AB 8 D E 3 P为线段AC上的任意一点 PG AE于G PH EC于H PG PH的值会变化吗 若变化 请说明理由 若不变化 请求出这个值 例例 7 7 已知 点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 不与 A B 重合 分别过 A B 向直线 CP 作垂 线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 AE 与 BF 的位置关系是 QE 与 QF 的数量关系是 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并给予证明 3 如 图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予 证明 B C D E FA O C E B D A 复习作业 复习作业 解答题解答题 1 1 如下图 等边 ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A B C 的距离分别为 3 4 5 则 APB 分析 由于 PA PB 不在一个三角形中 为了解决本题我们可以将 ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP 处 此时 ACP 这样 就可以利用全等三角形知识 将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出 APB 的度数 2 请你利用第 1 题的解答思想方法 解答下面问题 已知如右图 ABC 中 CAB 90 AB AC E F 为 BC 上的点且 EAF 45 求证 EF2 BE2 FC2 2 如图所示 四边形ABCD的对角线AC BD相交于点O ABC BAD 求证 1 OA OB 2 AB CD 3 如图所示 ABC ADE 且 CAD 10 B D 25 EAB 120 求 DFB和 DGB的度数 4 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF 5 已知 如图 AB AE 1 2 B E 求证 BC ED 6 如图所示 在 ABC 中 AB AC BD AC 于 D CE AB 于 E BD CE 相交于 F 求证 AF 平分 BAC 7 ABC 中 ACB 90 AC BC 6 M 点在边 AC 上 且CM 2 过 M 点作 AC 的垂线交 AB 边于 E 点 动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向 M 点运动 速度为每秒 1 个单位 当动点 P 到达 M 点时 运动停止 连接 EP EC 在此过程中 当 t 为何值时 EPC 的面积为 10 将 EPC 沿 CP 翻折后 点 E 的对应点为 F 点 当 t 为何值时 PF EC 8 在 ABC 中 ABC 90 分别以边AB BC CA 向 ABC 外作正方形ABHI 正方形BCGF 正方形CAED 连接GD AG BD 如图 1 求证 AG BD 如图 2 试说明 S ABC S CDG 提示 正方形的四条边相等 四个角均为直角 图 1 图 2 A C B E M P F A C B E M P A C B F G ED I H A C B F G ED I H 全等三角形全等三角形 单元测试题单元测试题 姓名姓名 班级班级 得分得分 一 填空题一 填空题 4 10 4 10 40 分分 1 在 ABC 中 AC BC AB 且 ABC DEF 则在 DEF 中 填边 2 已知 ABC A B C A A B B C 70 AB 15cm 则 C A B 3 如图 1 ABD BAC 若 AD BC 则 BAD 的对应角是 4 如图 2 在 ABC 和 FED AD FC AB FE 当添加条件 时 就可得到 ABC FED 只需填写一个你认为正确的条件 5 如图 3 在 ABC 中 AB AC AD BC 于 D 点 E F 分别为 DB DC 的中点 则图中共有全等 三角形 对 6 如图 4 BE CD 是 ABC 的高 且 BD EC 判定 BCD CBE 的依据是 A DE CB 图 4 7 如图 5 ABC 中 C 90 CD AB 于点 D AE 是 BAC 的平分线 点 E 到 AB 的距离等于 3cm 则 CF cm 8 如图 6 在 ABC 中 AD DE AB BE A 80 则 CED 9 P 是 AOB 平分线上一点 CD OP 于 F 并分别交 OA OB 于 CD 则 CD P 点到 AOB 两 边距离之和 填 或 10 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线 AB 12 AC 8 则中线 AD 的取值范围是 二 选择题 二 选择题 每小题每小题 5 分 共分 共 30 分分 11 下列命题中 形状相同的两个三角形是全等形 在两个三角形中 相等的角是对应角 相等的 边是对应边 全等三角形对应边上的高 中线及对应角平分线分别相等 其中真命题的个数有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 A B C D E 图 1图 2图 3 图 5 图 6 12 如图 7 已知点 E 在 ABC 的外部 点 D 在 BC 边上 DE 交 AC 于 F 若 1 2 3 AC AE 则有 A ABD AFD B AFE ADC C AEF DFC D ABC ADE 13 下列条件中 不能判定 ABC A B C 的是 A AB A B A A AC A C B AB A B A A B B C AB A B A A C C D A A B B C C 14 如图 8 所示 结论 90EF BC AEAF EMFN CDDN FANEAM ACNABM 其中正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 15 全等三角形又叫做合同三角形 平面内的合同三角形分为真正合同三 角形与镜面合同三角形 假设 ABC 和 A1B1C1是全等 合同 三角形 点 A 与点 A1对应 点 B 与点 B1对应 点 C 与点 C1对应 当沿周界 A B C A 及 A1 B1 A1环绕时 若运动方向相同 则称它们是真正合同三角形 如图 9 若运动方向相反 则称它们是镜面合同三角形 如图 10 两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合 两个镜面合同三角形要重合 则必 须将其中一个翻转 180 如图 11 下列各组合同三角形中 是镜面合同三角形的是 16 如图 12 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 64 且 BD CD 9 7 则点 D 到 AB 边的距离为 A 18 B 32 C 28 D 24 三 解答下列各题 三 解答下列各题 17 18 题各题各 8 分 分 19 22 题各题各 10 分 分 23 题题 24 题各题各 12 分 共分 共 80 分分 17 如图 13 点 A B C D 在同一条直线上 AB DC AE DF AE DF 求证 EC FB 18 如图 14 AE 是 BAC 的平分线 AB AC 若点 D 是 AE 上任意一点 则 ABD ACD 若点 D 是 AE 反向延长线上一点 结论还成立吗 试说明你的猜想 A CDB 图 12 E C B D F A 图 7 图 8 图 13 19 如图 15 在一次军事演习中 红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内 到铁路到公路的距离相等 且 离铁路与公路交叉处 B 点 700 米 如果你是红方的指挥员 请你在图 16 所示的作战图上标出蓝方指挥部的 位置 并简要说明画法和理由 20 如图 17 A B 两建筑物位于河的两岸 要测得它们之间的距离 可以从 B 点出发沿河岸画一条射 线 BF 在 BF 上截取 BC CD 过 D 作 DE AB 使 E C A 在同一直线上 则 DE 的长就是 A B 之间 的距离 请你说明道理 B A C D E A B 图 14 图图 16 图图 15 图 17 21 如图 18 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F ABC 面积是 28 AB 20cm AC 8cm 求 DE 的长 2 cm 22 如图 19 AD 平分 BAC DE AB 于 E D