反比例函数知识点及经典例题

第十七章第十七章 反比例函数反比例函数 一 基础知识一 基础知识 1 定义 一般地 形如 为常数 的函数称为反比例函数 x k y kok 还可以写成 x k y kxy 1 2 反比例函数解析式的特征 等号左边是函数 等号右边是一个分式 分子是不为零的常数 也叫yk 做比例系数 分母中含有自变量 且指数为 1 kx 比例系数0 k 自变量的取值为一切非零实数 x 函数的取值是一切非零实数 y 3 反比例函数的图像 图像的画法 描点法 列表 应以 O 为中心 沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数 描点 有小到大的顺序 连线 从左到右光滑的曲线 反比例函数的图像是双曲线 为常数 中自变量 x k y k0 k0 x 函数值 所以双曲线是不经过原点 断开的两个分支 延伸部分逐0 y 渐靠近坐标轴 但是永远不与坐标轴相交 反比例函数的图像是是轴对称图形 对称轴是或 xy xy 反比例函数 中比例系数的几何意义是 过双曲线 x k y 0 kk x k y 上任意引轴轴的垂线 所得矩形面积为 0 kxyk 4 反比例函数性质如下表 的取值k图像所在象限函数的增减性 ok 一 三象限在每个象限内 值随的增大而减小yx ok 二 四象限在每个象限内 值随的增大而增大yx 5 反比例函数解析式的确定 利用待定系数法 只需一对对应值或图像上一个 点的坐标即可求出 k 6 反比例关系 与 反比例函数 成反比例的关系式不一定是反比例函数 但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系 x k y 7 反比例函数的应用 二 例题二 例题 例 1 如果函数的图像是双曲线 且在第二 四象限内 那么的 22 2 kk kxy 值是多少 解析 有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 即 x k y 0 kkxy 又在第二 四象限内 则可以求出的值 1 0 k0 k 答案 由反比例函数的定义 得 解得 0 122 2 k kk 0 2 1 1 k kk或 1 k 时函数为1 k 22 2 kk kxy x y 1 例 2 在反比例函数的图像上有三点 x y 1 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 若则下列各式正确的是 321 0 xxx A B C D 213 yyy 123 yyy 321 yyy 231 yyy 解析 可直接以数的角度比较大小 也可用图像法 还可取特殊值法 解法一 由题意得 1 1 1 x y 2 2 1 x y 3 3 1 x y 所以选 A 321 0 xxx 213 yyy 解法二 用图像法 在直角坐标系中作出的图像 x y 1 描出三个点 满足观察图像直接得到选 A 321 0 xxx 213 yyy 解法三 用特殊值法 213321321321 1 1 2 1 1 1 2 0yyyyyyxxxxxx 令 例 3 如果一次函数相交于点 的图像与反比例函数 x mn ymnmxy 3 0 那么该直线与双曲线的另一个交点为 2 2 1 解析 1 2 13 2 2 1 2 2 13 n m mn nm x x mn ynmxy解得 相交于与双曲线直线 o y x y x o y x o y x o A B C D 2 2 1 1 1 1 12 1 12 2 2 1 1 y x y x x y xy x yxy 得 解方程组双曲线为直线为 11 另一个点为 例 4 如图 在中 点是直线与双曲线在第一象AOBRt Amxy x m y 限的交点 且 则的值是 2 AOB Sm 图 解 因为直线与双曲线过点 设点的坐标为 mxy x m y AA AA yx 则有 所以 A AAA x m ymxy AAy xm 又点在第一象限 所以 A AAAA yyABxxOB 所以 而已知 myxABOBS AAAOB 2 1 2 1 2 1 2 AOB S 所以 4 m 三 练习题三 练习题 1 反比例函数的图像位于 x y 2 A 第一 二象限 B 第一 三象限 C 第二 三象限 D 第二 四象限 2 若与成反比例 与成正比例 则是的 yxxzyz A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定 3 如果矩形的面积为 6cm2 那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为 yx 4 某气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压 P kPa 是气体体积 V m3 的反比例函数 其图象如图所示 当气球内气压大于 120 kPa 时 气球将爆炸 为了安全起见 气球的体积应 A 不小于m3 B 小于m3 C 不小于m3 D 小于m3 5 4 5 4 4 5 4 5 5 如图 A C 是函数的图象上的任意两点 过 A 作 x y 1 轴的垂线 垂足为 B 过 C 作 y 轴的垂线 垂足为 D 记x Rt AOB 的面积为 S1 Rt COD 的面积为 S2则 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D S1与 S2的大小关系不能确 定 6 关于 x 的一次函数 y 2x m 和反比例函数 y 的图象都经过点 A 1n x 2 1 求 1 一次函数和反比例函数的解析式 2 两函数图象的另一个交 点 B 的坐标 3 AOB 的面积 7 如图所示 一次函数y ax b的图象与反比例函数y 的图象交于 k x A B 两点 与x轴交于点 C 已知点 A 的坐标为 2 1 点 B 的坐标为 O y x A B C D m 1 2 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围 O O C C A A B B 8 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3 6 小时可将满池水全部排空 1 蓄水池的容积是多少 2 如果增加排水管 使每小时的排水量达到 Q m3 那么将满池水排空 所需的时间t h 将如何变化 3 写出t与 Q 的关系式 4 如果准备在 5 小时内将满池水排空 那么每小时的排水量至少为多少 5 已知排水管的最大排水量为每小时 12m3 那么最少需多长时间可将满 池水全部排空 9 某商场出售一批名牌衬衣 衬衣进价为 60 元 在营销中发现 该衬衣的日 销售量 y 件 是日销售价 x 元的反比例函数 且当售价定为 100 元 件时 每 日可售出 30 件 1 请写出 y 关于 x 的函数关系式 2 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1800 元 则其售价应为多少元 10 如图 在直角坐标系 xOy 中 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 的图象交于 A 2 1 B 1 n 两点 m y x 1 求上述反比例函数和一次函数的表达式 2 求 AOB 的面积 四 课后作业四 课后作业 1 对与反比例函数 下列说法不正确的是 x y 2 A 点 在它的图像上 1 2 B 它的图像在第一 三象限 C 当时 0 x的增大而增大随xy D 当时 0 x的增大而减小随xy 2 已知反比例函数的图象经过点 1 2 则这个函数的图象一定 0 k yk x 经过 A 2 1 B 2 1 C 2 4 D 1 2 3 在同一直角坐标平面内 如果直线与双曲线没有交点 那么xky 1 x k y 2 和的关系一定是 1 k 2 k A 0B 0 D 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 4 反比例函数y 的图象过点 P 1 5 2 则k k x 5 点 P 2m 3 1 在反比例函数y 的图象上 则m 1 x 6 已知反比例函数的图象经过点 m 2 和 2 3 则m的值为 7 已知反比例函数的图象上两点 当时 x m y 21 2211 yxByxA 21 0 xx 有 则的取