浅谈构造等比数列求数列的通项公式

1 浅谈构造等比数列的通项公式的方法浅谈构造等比数列的通项公式的方法 摘要 由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中常见 也是较 难的问题 多分析递推公式的结构特征 构造恰当的等比数列 就能够 求这些数列的通项公式 关键词 构造 等比数列 通项公式 等比数列是最简单 最基础 最重要的数列之一 而数列的递推公 式是给出数列的一种重要方法 由数列的递推公式求数列的通项公式是 数列中比较难的问题 但在根据数列的递推公式求数列的通项公式时 如能恰当地构造等比数列将会给解决问题带来极大的方便 下面就如何 构造等比数列求数列的通项公式谈谈自己的一些办法 一 形如的类型 0 1 1 pnapan nn 例 1 已知数列的各项都是正数且 n a1 1 a 求数列的通项公式 02 1 1 2 1 2 1 nnnn naaanan n a 解 由 得02 1 1 2 1 2 1 nnnn naaanan 0 2 1 11 nnnn naanaa 0 1 nn aa nn naan2 1 1 是以 2 为公比 为首项的等比数列 n na11 1 a 1 2 n n na n a n n 1 2 二 形如的类型 1 1 paa p nn 2 例 2 已知数列中 求数列的通项公式 n a3 1 a 2 1nn aa n a 分析 利用对数性质可将指数变成倍数 从而将该递推公式 转化成等比数列的递推公式 解 由得 2 1nn aa 2 1 lglg nn aa nn aalg2lg 1 是以为首项 2 为公比的等比数列 lg n a 1 lga 1 21 1 1 3lg3lg2lg2lg n nn n aa 1 2 3 n n a 三 形如的类型qpaa nn 1 001 qpp 例 3 已知数列中 求数列的通项公 n a1 1 a13 1 nn aa n a 式 分析 是等比数列的递推公式 该题中多了常数 1 nn aa3 1 故将该递推公式转化成加一个常数成等比数列的结构 解 令 3 1 xaxa nn 变形得xaa nn 23 1 对比递推公式系数得 代入 得12 x 2 1 x 2 1 3 2 1 1 nn aa 是以为首项 3 为公比的等比数列 2 1 n a 2 3 2 1 1 a nn n a3 2 1 3 2 3 2 1 1 2 1 3 2 1 n n a 3 四 形如的类型 n nn qpaa 1 0101 qqpp 例 4 已知数列中 求数列的通项 n a1 1 a n nn aa23 1 n a 公式 分析 是等比数列的递推公式 该题中多了一个 故 nn aa3 1 n q 将该递推公式转化成加或成等比数列的结构 n xq 1 n xq 解法 1 令 2 32 1 1 n n n n xaxa 变形得 n nn xaa23 1 对比递推公式系数得 代入 得1 x 2 32 1 1 n n n n aa 是以为首项 3 为公比的等比数列 2 n n a 321 1 a 1 332 n n n a nn n a23 解法 2 由得 n nn aa23 1 1 22 3 2 1 1 n n n n aa 令 则 1 2 n n n a b1 2 3 1 nn bb 从而转化成类型三 以下略 注意 若 则类型四只能用解法 2 qp 五 形如的类型rqnpaa nn 1 001 qpp 例 5 已知数列中 求数列的通 n a1 1 a123 1 naa nn n a 项公式 分析 是等比数列的递推公式 该题中多了一个 nn aa3 1 12 n 4 故将该递推公式转化成加或成等比数列yxn ynx 1 的结构 解 令 1 3 1 ynxayxna nn 变形得yxxnaa nn 2323 1 对比递推公式系数得 123 22 yx x 解得 代入 得 2 1 y x 2 1 32 1 nana nn 是以为首项 3 为公比的等比数列 2 1 nan32 11 1 a nn n na3332 1 1 13 na n n 六 形如的类型srnqnpaa nn 2 1 0001 rqpp 例 6 已知数列中 求数列 n a1 1 a1223 2 1 nnaa nn 的通项公式 n a 分析 是等比数列的递推公式 该题中多了一个 nn aa3 1 故将该递推公式转化成加或122 2 nnzynxn 2 成等比数列的结构 znynx 1 1 2 解 令 1 1 3 22 1 znynxazynxna nn 变形得zyxnxyxnaa nn 233 62 23 2 1 对比递推公式系数得 1233 262 22 zyx xy x 5 解得 代入 得 5 4 1 z y x 5 1 4 1 354 22 1 nnanna nn 是以 5 1 4 1 2 nnan65 11 4 11 2 1 a 为首项 3 为公比的等比数列 nn n nna32365 1 4 1 12 2232 2 nna n n 七 形如类型 nnn qapaa 12 00 qp 例 7 数列中 求数列的通项公 n a nnn aaaaa 1221 1 1 n a 式 分析 与前面的类型不同的是前面的递推公式都是相邻两项 的关系 而该题却是相邻三项的关系 因此将相邻两项的线性 运算看成一个整体构造等比数列 解 设 112nnnn xaayxaa 变形得 对比递推公式的系数 令 nnn xyaaxya 12 解得 或 1 1 xy xy 2 51 2 51 y x 2 51 2 51 y x I 当时 2 51 2 51 y x 2 51 2 51 2 51 112nnnn aaaa 是以为公比的等比数列 2 51 1nn aa 2 51 由等比数列的通项公式得 6 1 121 2 51 2 51 2 51 n nn aaaa II 当时 2 51 2 51 y x 2 51 2 51 2 51 112nnnn aaaa 是以为公比的等比数列 2 51 1nn aa 2 51 由等比数列的通项公式得 1 121 2 51 2 51 2 51 n nn aaaa 得 1 12 1 12 2 51 2 51 2 51 2 51 5 nn n aaaaa 2 51 2 51 2 51 2 51 5 1 1 12 1 12 nn n aaaaa 将代入上式化简得1 1 21 aa 这就是著名的斐波拉契数列的通项公式