高考数学专题讲义函数性质

第三讲第三讲 函数性质函数性质 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 江苏 设函数定义在实数集上 它的图像关于直线对称 且当时 f x1x 1x 则有 B 31 x f x 132 323 fff 231 323 fff 213 332 fff 321 233 fff 2 江苏 设是奇函数 则使的的取值范围是 A 2 lg 1 f xa x 0f x x 10 01 0 0 1 3 安徽卷 定义在上的函数既是奇函数 又是周期函数 是它的一个正周R f xT 期 若将方程在闭区间上的根的个数记为 则可能为 0f x TT nn A 0B 1C 3D 5 4 北京 对于函数 lg 21 f xx 2 2 f xx cos 2 f xx 判断如下三个命题的真假 命题甲 是偶函数 2 f x 命题乙 在上是减函数 在上是增函数 f x 2 命题丙 在上是增函数 2 f xf x 能使命题甲 乙 丙均为真的所有函数的序号是 5 辽宁 已知与是定义在上的连续函数 如果与仅当时 f x g xR f x g x0 x 的函数值为 0 且 那么下列情形不可能出现的是 f xg x A 0 是的极大值 也是的极大值 B 0 是的极小值 也是的极 f x g x f x g x 小值 C 0 是的极大值 但不是的极值 D 0 是的极小值 但不是的 f x g x f x g x 值 6 天津卷 若函数在区间内单调递增 则 1 0 log 3 aaaxxxf a 0 2 1 a的取值范围是 1 4 3 高考要考什么高考要考什么 一 单调性 单调性 1 1 定义 定义 一般地 1 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个 自变量的值x1 x2 2 当x1 x2时 3 都有f x1 f x2 或都有f x1 f x2 那么就说 4 f x 在这个区间上是增函数 或减函数 要注意定义引申 要注意定义引申 1 2 4 3 1 3 4 2 如 是定义在上的递减区间 且0 x1 x2是方程x2 ax 2 0 的两非零实根 x1 x2 a 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a x1x2 2 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意a A 及 t 1 1 恒成立 当且仅当 m2 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 即 m2 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 设g t m2 tm 2 mt m2 2 方法一 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意a A 及 t 1 1 恒成立 其取值范围是 m m 2 或 m 2 方法二 当 m 0 时 显然不成立 当 m 0 时 m 0 m 0 或 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意a A 及 t 1 1 恒成立 其取 值范围是 m m 2 或 m 2 点晴点晴 利用导数研究函数的单调性和最值利用导数研究函数的单调性和最值 在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和 方法化归为基本问题来解决方法化归为基本问题来解决 变式 设函数 其中 1 1 ax f x x aR 1 解不等式 1f x 2 求的取值范围 使在区间上是单调减函数 a f x 0 解 1 不等式即为 1f x 11 10 11 ax ax xx 当时 不等式解集为1a 10 当时 不等式解集为1a 11 当时 不等式解集为1a 1 0 2 在上任取 则 0 12 xx 12 12 12 1212 111 1111 axxaxax f xf x xxxx 121212 00 10 10 xxxxxx 所以要使在递减即 只要即 f x 0 12 0f xf x 10a 1a 故当时 在区间上是单调减函数 1a f x 0 范例范例 3 3 已知函数的定义域为 且同时满足 恒成立 f x 0 1 1 3f 2f x 若 则有 1212 0 0 1xxxx 1212 2f xxf xf x 1 试求函数的最大值和最小值 f x 2 试比较与的大小N N 1 2n f 1 2 2n n 3 某人发现 当x n N 时 有f x 2x 2 由此他提出猜想 对一切x 0 1 都有 1 2n 请你判断此猜想是否正确 并说明理由 22f xx 解 1 设 0 x1 x2 1 则必存在实数t 0 1 使得x2 x1 t 由条件 得 f x2 f x1 t f x1 f t 2 f x2 f x1 f t 2 由条件 得 f x2 f x1 0 故当 0 x 1 时 有f 0 f x f 1 又在条件 中 令x1 0 x2 1 得f 1 f 1 f 0 2 即f 0 2 f 0 2 故函数f x 的最大值为 3 最小值为 2 2 解 在条件 中 令x1 x2 得f 2f 2 即f 2 f 2 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 2 1 2n 1 故当n N 时 有f 2 f 2 f 2 f 2 1 2n 1 2 1 2n 1 1 22 1 2n 2 1 2n 1 20 1 2n 即f 2 1 2n 1 2n 又f f 1 3 2 1 20 1 20 所以