第三章-直线与方程知识点及典型例题

第三章第三章 直线与方程知识点及典型例题直线与方程知识点及典型例题 1 直线的倾斜角直线的倾斜角 定义 x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 k 表示 即 k tan 斜率反映直线与轴的倾斜程度 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 k 不存在 当 90 0 时 0 k 当 180 90 时 0 k 当 90 时 k不存在 例例 如右图 直线 l1的倾斜角 30 直线 l1 l2 求直线 l1和 l2的斜率 解 k1 tan30 l1 l2 k1 k2 1 3 3 k2 3 例 例 直线的倾斜角是 053 yx A 120 B 150 C 60 D 30 过两点过两点 P1 x1 y1 P1 x1 y1 的直线的斜率公式的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 注意下面四点 1 当 21 xx 时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 2 k与P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 例例 设直线 l1经过点 A m 1 B 3 4 直线 l2经过点 C 1 m D 1 m 1 当 1 l1 l2 2 l1 l1时分别求出 m 的值 三点共线的条件 三点共线的条件 如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等 那么这三点共线 3 直线方程直线方程 点斜式 点斜式 11 xxkyy 直线斜率 k 且过点 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因l上每一点的横坐标 x y o 1 2 l1 l2 都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 斜截式 y kx b 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为b 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 直线两点 P1 x1 y1 P1 x1 y1 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点 a 0 与 y 轴交于点 0 b 即 l 与 x 轴 y 轴的 截距分别为 a b 注意 注意 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为两个截距都不为 0 或都为或都为 0 但不可能一个为但不可能一个为 0 另一个不为 另一个不为 0 其方程可设为 其方程可设为 1 xy ab 或 y kx 一般式 一般式 Ax By C 0 A B 不全为不全为 0 注意 注意 1 在平时解题或高考解题时 所求出的直线方程 一般要求写成斜截式或一般式 各式的适用范围 3 特殊式的方程如 平行于 x 轴的直线 by b 为常数 平行于 y 轴的直线 ax a 为常数 例题 例题 根据下列各条件写出直线的方程 并且化成一般式 1 斜率是 经过点 A 8 2 1 2 2 经过点 B 4 2 平行于 x 轴 3 在轴和轴上的截距分别是 xy 3 3 2 4 经过两点 P1 3 2 P2 5 4 例例 1 直线 的方程为 Ax By C 0 若直线经过原点且位于第二 四象限 则 l A C 0 B 0B C 0 B 0 A 0 C C 0 AB0 例例 2 直线 的方程为 Ax By C 0 若 A B C 满足 AB 0 且 BC 0 则 l 直线不经的象限是 l A 第一 B 第二 C 第三 D 第四 4 两直线平行与垂直两直线平行与垂直 当 111 bxkyl 222 bxkyl 时 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 5 已知两条直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1与 B1及 A2与 B2都不同时为零 若两直线相交 则它们的交点坐标是方程组的一组解 0CBA 0CBA 222 111 yx yx 两条直线的交角 两条直线的交角 两条相交直线与的夹角 两条相交直线与的夹角 是指由与相交所成的四个角中 1 l 2 l 1 l 2 l 1 l 2 l 最小的正角 又称为和所成的角 它的取值范围是 当 则有 1 l 2 l 2 0 90 21 12 1 tan kk kk 若方程组无解 21 l l 若方程组有无数解 1 l与 2 l重合 6 点的坐标与直线方程的关系点的坐标与直线方程的关系 几何元素代数表示 点 P坐标 P xo yo 直线 l方程 Ax By C 0 点 P xo yo 在直线 l 上坐标满足方程 Ax By C 0 00 yx 点 P xo yo 是 l1 l2的交点坐标 xo yo 满足方程组 0CBA 0CBA 222 111 yx yx 7 两条直线的位置关系的判定公式两条直线的位置关系的判定公式 A1B2 A2B1 0 方程组有唯一解两直线相交 0CBCB 0BABA 1221 1221 或 A1C2 A2C1 0 无解两直线平行 0CBCB 0BABA 1221 1221 或 A1C2 A2C1 0 有无数个解两直线重合 两条直线垂直的判定条件 两条直线垂直的判定条件 当A1 B1 A2 B2满足 时l1 l2 答 答 A1A2 B1B2 0 经典例题 经典例题 例 1 已知两直线 l1 x 1 m y 2 m 和 l2 2mx 4y 16 0 m 为何值时 l1与 l2 相交 平行 解 例 2 已知两直线 l1 3a 2 x 1 4a y 8 0 和 l2 5a 2 x a 4 y 7 0 垂直 求 a 值 解 例 3 求两条垂直直线 l1 2x y 2 0 和 l2 mx 4y 2 0 的交点坐标 解 例 4 已知直线 l 的方程为 1 2 1 xy 1 求过点 2 3 且垂直于 l 的直线方程 2 求过点 2 3 且平行于 l 的直线方程 8 两点间距离公式 两点间距离公式 设 A x1 y1 B x2 y2 是平面直角坐标系中的两个点 则 AB 2 12 2 12 yyxx 9 点到直线距离公式 点到直线距离公式 一点 P xo yo 到直线 l Ax By C 0 的距离 22 oo BA CBA d yx 10 两平行直线距离公式两平行直线距离公式 例 已知两条平行线直线 l1和 l2的一般式方程为 l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 则 l1与 l2的距离为 22 21 BA CC d 例 1 求平行线 l1 3x 4y 12 0 与 l2 ax 8y 11 0 之间的距离 例 2 已知平行线 l1 3x 2y 6 0 与 l2 6x 4y 3 0 求与它们距离相等的平行线方程 11 直线系方程直线系方程 已知两条直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1与 B1及 A2与 B2都不同时为零 若两直线相交 则过它们的交点直线方程可以表示为 l A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 或者 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 都可以 例例 1 直线 直线 l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 所经过的定点为 m R 例例 2 求满足下列条件的直线方程 1 经过点 P 2 3 及两条直线 l1 x 3y 4 0 和 l2 5x 2y 1 0 的交点 Q 2 经过两条直线 l1 2x y 8 0 和 l2 x 2y 1 0 的交点且与直线 4x 3y 7 0 平行 3 经过两条直线 l1 2x 3y 10 0 和 l2 3x 4y 2 0 的交点且与直线 3x 2y 4 0 垂直 解 解 12 中点坐标公式 已知中点坐标公式 已知两点两点 P1 x1 y1 P1 x1 y1 则线段的中点 M 坐标为 2 21 xx 2 21 yy 例例 已知点 A 7 4 B 5 6 求线段 AB 的垂直平分线的方程 1313 对称问题 对称问题 关于点对称的两条直线一定是平行直线 且这个点到两直线的距离相等 关于某直线对称的两条直线性质 若两条直线平行 则对称直线也平行 且两直线到对称直线 距离相等 若两条直线不平行 则对称直线必过两条直线的交点 且对称直线为两直线夹角的角平分线 点关于某一条直线对称 用中点表示两对称点 则中点在对称直线上 方程 过两对称点 的直线方程与对称直线方程垂直 方程 可解得所求对称点 注 曲线 直线关于一直线对称的解法 y 换 x x 换 y 例 曲线 f x y 0 关于直bxy 线 y x 2 对称曲线方程是 f y 2 x 2 0 曲线 C f x y 0 关于点 a b 的对称曲线方程是 f a x 2b y 0 例 1 已知直线 l 2x 3y 1 0 和点 P 1 2 1 分别求 点 P 1 2 关于 x 轴 y 轴 直线 y x 原点 O 的对称点 Q 坐标 2 分别求 直线 l 2x 3y 1 0 关于 x 轴 y 轴 直线 y x 原点 O 的对称的直线方程 3 求直线 l 关于点 P 1 2 对称的直线方程 4 求 P 1 2 关于直线 l 轴对称的直线方程 例 2 点 P 1 2 关于直线 l x y 2 0 的对称点的坐标为 例 3 已知圆 C1 x 1 2 y 1 2 1 与圆 C2关于直线 x y 1 0 对称 则圆 C2的方程为 A x 2 2 y 2 2 1 B x 2 2 y 2 2 1 C x 2 2 y 2 2 1 D x 2 2 y 2 2 1 基础训练基础训练 A A 组组 一 选择题 1 设直线的倾斜角为 且 0axbyc sincos0 则满足 a b A B 1 ba1 ba C D 0 ba0 ba 2 过点且垂直于直线 的直线方程为 1 3 P 032 yx A B 012 yx052 yx C D 052 yx072 yx 3 已知过点和的直线与直线平行 2 Am 4 B m012 yx 则的值为 m A B C D 08 210 4 已知 则直线通过 0 0abbc axbyc A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限D 第二 三 四象限 5 直线的倾斜角和斜率分别是 1x A B 0 45 1 0 135 1 C 不存在 D 不存在 0 90 0 180 6 若方程表示一条直线 则实数满足 014 32 22 mymmxmmm A B 0 m 2 3 m C D 1 m1 m 2 3 m0 m 二 填空题 1 点 到直线的距离是 1 1 P 10 xy 2 已知直线若与关于轴对称 则的方程为 32 1 xyl 2 l 1 ly 2 l 若与关于轴对称 则的方程为 3 l 1 lx 3 l 若与关于对称 则的方程为 4 l 1 lxy 4 l 3 若原点在直线 上的射影为 则 的方程为 l 1 2 l 4 点在直线上 则的最小值是 P x y40 xy 22 xy 5 直线 过原点且平分的面积 若平行四边形的两个顶点为lABCDA 则直线 的方程为 1 4 5 0 BDl 三 解答题 1 已知直线 AxByC 0 1 系数为什么值时 方程表示通过原点的直线 2 系数满足什么关系时与坐标轴都相交 3 系数满足什么条件时只与 x 轴相交 4 系数满足什么条件时是 x 轴 5 设为直线上一点 P xy 00 AxByC 0 证明 这条直线的方程可以写成 A xxB yy 00 0 2 求经过直线的交点且平行于直线0323 0532 21 yxlyxl032 yx 的直线方程 3 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条 1 2 A 请求出这些直线的方程 4 过点作一直线 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 4 A l5 数学 数学 2 2 必修 第三章必修 第三章 直线与方程直线与方程 综合训练综合训练 B B 组组 一 选择题 1 已知点 则线段的垂直平分线的方程是 1 2 3 1 ABAB A B 524 yx524 yx C D 52 yx52 yx 2 若三点共线 则的值为 1 2 3 3 2 2 ABCm m 2 1 2 1 2 2 3 直线在轴上的截距是 x a y b 22 1 y A B C D b 2 b b2 b 4 直线 当变动时 所有直线都通过定点 13kxyk k A B 0 0 0 1 C D 3 1 2 1 5 直线与的位置关系是 cossin0 xya sincos0 xyb A 平行 B 垂直 C 斜交 D 与的值有关 a b 6 两直线与平行 则它们之间的距离为 330 xy 610 xmy A B C D 4 2 13 13 5 13 26 7 10 20 7 已知点 若直线 过点与线段相交 则直线 的 2 3 3 2 AB l 1 1 PABl 斜率的取值范围是 k A B C D 3 4 k 3 2 4 k 3 2 4 kk 或2k 二 填空题 1 方程所表示的图形的面积为 1 yx 2 与直线平行 并且距离等于的直线方程是 5247 yx3 3 已知点在直线上 则的最小值为 M a b1543 yx 22 ba 4 将一张坐标纸折叠一次 使点与点重合 且点与点重合 则 0 2 4 0 7 3 m n 的值是 nm 设 则直线恒过定点 0 为常数kkkba 1 byax 三 解答题 1 求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 的直线方程 2 2 A 1 2 一直线被两直线截得线段的中点是点 当点分0653 064 21 yxlyxlPP 别为 时 求此直线方程 0 0 0 1 3 把函数在及之间的一段图象近似地看作直线 设 yf x xa xb acb 证明 的近似值是 f c f a ca ba f bf a 4 直线和轴 轴分别交于点 在线段为边在第一象限内作等边 3 1 3 yx xy A BAB 如果在第一象限内有一点使得 和 的面积相等 ABC 1 2 P mABPABC 求的值 m 数学 数学 2 2 必修 第三章必修 第三章 直线与方程直线与方程 提高训练提高训练 C C 组组 一 选择题 1 如果直线 沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移 个单位后 lx3y1 又回到原来的位置 那么直线 的斜率是 l A B C D 1 3 3 1 3 3 2 若都在直线上 则用表示为 P abQ cd ymxk PQacm A B C D acm 1 2 m ac ac m 1 2 acm 1 2 3 直线与两直线和分别交于两点 若线段的中点为l1y 70 xy A BAB 则直线 的斜率为 1 1 M l A B C D 2 3 3 23 2 2 3 4 中 点 的中点为 重心为 则边的长为 ABC 4 1 A AB 3 2 M 4 2 PBC A B C D 54108 5 下列说法的正确的是 A 经过定点的直线都可以用方程表示 P xy 000 yyk xx 00 B 经过定点的直线都可以用方程表示 bA 0ykxb C 不经过原点的直线都可以用方程表示 x a y b 1 D 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程 222111 yxPyxP 表示 yyxxxxyy 121121 6 若动点到点和直线的距离相等 则点的轨迹方程为 P 1 1 F340 xy P A B 360 xy 320 xy C D 320 xy 320 xy 二 填空题 1 已知直线与关于直线对称 直线 则的斜率是 32 1 xyl 2 l 1 lxy 3 l 2 l 3 l 2 直线上一点的横坐标是 若该直线绕点逆时针旋转得直线 10 xy P3P 0 90l 则直线的方程是 l 3 一直线过点 并且在两坐标轴上截距之和为 这条直线方程是 3 4 M 12 4 若方程表示两条直线 则的取值是 022 22 yxmyxm 5 当时 两条直线 的交点在 象限 2 1 0 k1 kykxkxky2 三 解答题 1 经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么 3 5 M 2 求经过点的直线 且使 到它的距离相等的直线方程 1 2 P 2 3 A 0 5 B 3 已知点 点在直线上 求取得 1 1 A 2 2 BPxy 2 1 22 PBPA 最小值时点的坐标 P 4 求函数的最小值 22 2248f xxxxx 第三章第三章 直线和方程直线和方程 答案答案 基础训练基础训练 A A 组组 一 选择题 1 D tan1 1 1 0 a kab ab b 2 A 设又过点 则 即20 xyc 1 3 P 230 1cc 210 xy 3 B 4 C 4 2 8 2 m km m 0 0 acac yxk bbbb 5 C 垂直于轴 倾斜角为 而斜率不存在1x x 0 90 6 C 不能同时为 22 23 mmmm 0 二 填空题 1 3 2 2 1 1 13 2 22 d 2 234 23 23 23 lyxlyxlxy 3 250 xy 1 01 2 1 2 2 202 kkyx 4 可看成原点到直线上的点的距离的平方 垂直时最短 8 22 xy 4 2 2 2 d 5 平分平行四边形的面积 则直线过的中点 2 3 yx ABCDBD 3 2 三 解答题 1 解 1 把原点代入 得 2 此时斜率存在且不为零 0 0 AxByC 00C 即且 3 此时斜率不存在 且不与轴重合 即且 0A 0B y0B 0C 4 且0 AC 0B 5 证明 在直线上 00 P xy AxByC 0 0000 0 AxByCCAxBy 00 0A xxB yy 2 解 由 得 再设 则 2350 3230 xy xy 19 13 9 13 x y 20 xyc 47 13 c 为所求 47 20 13 xy 3 解 当截距为时 设 过点 则得 即 0ykx 1 2 A2k 2yx 当截距不为时 设或过点 01 xy aa 1 xy aa 1 2 A 则得 或 即 或3a 1a 30 xy 10 xy 这样的直线有条 或 32yx 30 xy 10 xy 4 解 设直线为交轴于点 交轴于点 4 5 yk x x 4 5 0 k y 0 54 k 1416 5545 402510 2 Skk kk 得 或 2 2530160kk 2 2550160kk 解得或 2 5 k 8 5 k 或为所求 25100 xy 85200 xy 第三章 直线和方程 综合训练 B 组 一 选择题 1 B 线段的中点为垂直平分线的 AB 3 2 2 2k 3 2 2 4250 2 yxxy 2 A 2321 1 322 3 2 ABBC m kkm 3 B 令则0 x 2 yb 4 C 由得对于任何都成立 则13kxyk 3 1k xy kR 30 10 x y 5 B cossinsin cos 0 6 D 把变化为 则330 xy 6260 xy 22 1 6 7 10 20 62 d 7 C 3 2 4 PAPBlPAlPB kkkkkk 或 二 填空题 1 方程所表示的图形是一个正方形 其边长为21 yx2 2 或724700 xy 724800 xy 设直线为 22 5 7240 3 70 80 247 c xycdc 或 3 的最小值为原点到直线的距离 3 22 ba 1543 yx 15 5 d 4 点与点关于对称 则点与点 44 5 0 2 4 0 12 2 yx 7 3 m n 也关于对称 则 得12 2 yx 37 12 2 22 31 72 nm n m 23 5 21 5 m n 5 变化为 1 1 k k 1 byax 1 10 axka ya xyky 对于任何都成立 则aR 0 10 xy ky 三 解答题 1 解 设直线为交轴于点 交轴于点 2 2 yk x x 2 2 0 k y 0 22 k 122 2221 421 2 Skk kk 得 或 2 2320kk 2 2520kk 解得或 或为所求 1 2 k 2k 320 xy 220 xy 2 解 由得两直线交于 记为 则直线 460 3560 xy xy 24 18 23 23 24 18 23 23 A AP 垂直于所求