解三角形大题及答案

1 2013 大纲 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c abc abcac I 求B II 若 31 sinsin 4 AC 求C 2 2013 四川 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 且 2 3 2coscossin sincos 25 AB BABBAC 求cos A的值 若4 2a 5b 求向量BA 在BC 方向上的投影 3 2013 山东 设 ABC的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 6ac 2b 7 cos 9 B 求 a c 的值 求sin AB 的值 4 2013 湖北 在ABC 中 角A B C对应的边分别是a b c 已知 cos23cos1ABC I 求角A的大小 II 若ABC 的面积5 3S 5b 求sinsinBC的值 5 2013 新课标 ABC在内角 A B C的对边分别为 a b c 已知cossinabCcB 求B 若2b 求 ABC面积的最大值 6 2013新课标1 如图 在 ABC中 ABC 90 AB BC 1 P为 ABC内一点 BPC 90 3 1 若 PB 求 PA 2 若 APB 150 求 tan PBA 1 2 7 2013 江西 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosC conA sinA 3 cosB 0 1 求角 B 的大小 2 若 a c 1 求 b 的取值范围 33 2013 大纲 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c abc abcac I 求B II 若 31 sinsin 4 AC 求C 答案 4 2013 年高考四川卷 理 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 且 2 3 2coscossin sincos 25 AB BABBAC 求cos A的值 若4 2a 5b 求向量BA 在BC 方向上的投影 答案 解 由 2 3 2coscossinsincos 25 AB BABBAC 得 3 cos1 cossinsincos 5 ABBABBB 即 3 coscossinsin 5 ABBABB 则 3 cos 5 ABB 即 3 cos 5 A 由 3 cos 0 5 AA 得 4 sin 5 A 由正弦定理 有 sinsin ab AB 所以 sin2 sin 2 bA B a 由题知ab 则AB 故 4 B 根据余弦定理 有 2 22 3 4 252 5 5 cc 解得1c 或7c 舍去 故向量BA 在BC 方向上的投影为 2 cos 2 BAB 35 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 设 ABC的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 6ac 2b 7 cos 9 B 求 a c 的值 求sin AB 的值 答案 解 由余弦定理 222 2cosbacacB 得 2 2 2 1cos bacacB 又 6ac 2b 7 cos 9 B 所以 9ac 解得 3a 3c 在 ABC中 2 4 2 sin1 cos 9 BB 由正弦定理得 sin2 2 sin 3 aB A b 因为a c 所以A为锐角 所以 2 1 cos1 sin 3 AA 因此 10 2 sin sincoscossin 27 ABABAB 36 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 已知函数 4cossin 0 4 f xxx 的最小正周期为 求 的值 讨论 f x在区间 0 2上的单调性 答案 解 2 4 2sin 2 12cos2 sin2 cos sincos22 xxxxxx 1 2 2 所以1 2 4 2sin 2 xxf 解得 令时 当 824 2 4 4 4 2 2 0 xxxx 所以 28 8 0 上单调递减 上单调递增 在在 xfy 37 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 已知函数 sin 0 0 f xx 的周期为 图像的一个对称中心为 0 4 将函数 f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标不变 在将所得图像向右平移 2 个单位长度后得到函数 g x的图像 1 求函数 f x与 g x的解析式 2 是否存在 0 6 4 x 使得 0000 f xg xf x g x按照某种顺序成等差数列 若存 在 请确定 0 x的个数 若不存在 说明理由 3 求实数a与正整数n 使得 F xf xag x 在 0 n 内恰有 2013 个零点 答案 解 由函数 sin f xx 的周期为 0 得2 又曲线 yf x 的一个对称中心为 0 4 0 故 sin 2 0 44 f 得 2 所以 cos2f xx 将函数 f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 后可得cosyx 的图 象 再将cosyx 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 sing xx 当 6 4 x 时 12 sin 22 x 1 0cos2 2 x 所以sincos2sin cos2xxxx 问题转化为方程2cos2sinsin cos2xxxx 在 6 4 内是否有解 设 sinsincos22cos2G xxxxx 6 4 x 则 coscos cos22sin2 2sin G xxxxxx 因为 6 4 x 所以 0G x G x在 6 4 内单调递增 又 1 0 64 G 2 0 42 G 且函数 G x的图象连续不断 故可知函数 G x在 6 4 内存在唯一零点 0 x 即存在唯一的 0 6 4 x 满足题意 依题意 sincos2F xaxx 令 sincos20F xaxx 当sin0 x 即 xkkZ 时 cos21x 从而 xkkZ 不是方程 0F x 的解 所 以方程 0F x 等价于关于x的方程 cos2 sin x a x xkkZ 现研究 0 2 x U时方程解的情况 令 cos2 sin x h x x 0 2 x U 则问题转化为研究直线ya 与曲线 yh x 在 0 2 x U的交点情况 2 2 cos 2sin1 sin xx h x x 令 0h x 得 2 x 或 3 2 x 当x变化时 h x和 h x 变化情况如下表 x 0 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 h x 0 0 h xZ 1 Z 当0 x 且x趋近于0时 h x趋向于 当x 且x趋近于 时 h x趋向于 当x 且x趋近于 时 h x趋向于 当2x 且x趋近于2 时 h x趋向于 故当1a 时 直线ya 与曲线 yh x 在 0 内有无交点 在 2 内有2个交点 当1a 时 直线ya 与曲线 yh x 在 0 内有2个交点 在 2 内无交点 当11a 时 直线ya 与曲线 yh x 在 0 内有2个交点 在 2 内有2个交 点 由函数 h x的周期性 可知当1a 时 直线ya 与曲线 yh x 在 0 n 内总有偶数 个交点 从而不存在正整数n 使得直线ya 与曲线 yh x 在 0 n 内恰有2013个交 点 当1a 时 直线ya 与曲线 yh x 在 0 2 U内有3个交点 由周期性 20133 671 所以671 21342n 综上 当1a 1342n 时 函数 F xf xag x 在 0 n 内恰有2013个零点 38 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 14 分 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 2ab 求证 ab 2 设 0 1 c 若abc 求 的值 答案 解 1 2 ba 2 2 ba 即 22 222 bbaaba 又 1sincos 222 2 aa 1sincos 222 2 bb 222 ba 0 ba b a 2 1 0 sinsin cos cosba 1sinsin 0coscos 即 sin1sin coscos 两边分别平方再相加得 sin221 2 1 sin 2 1 sin 0 6 1 6 5 39 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 已知函数 2cos 12 f xx x R 求 6 f 的值 若 3 cos 5 3 2 2 求2 3 f 答案 2cos2cos2cos1 661244 f 22cos 22cos 2cos2sin2 33124 f 因为 3 cos 5 3 2 2 所以 4 sin 5 所以 24 sin22sincos 25 22 7 cos2cossin 25 所以2 3 f cos2sin2 72417 252525 40 2013 年高考湖南卷 理 已知函数 2 sin cos 2sin 632 x f xxxg x I 若 是第一象限角 且 3 3 5 f 求 g 的值 II 求使 f xg x 成立的 x 的取值集合 答案 解 I 5 33 sin3 sin3sin 2 3 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 3 fxxxxxxf 5 1 cos1 2 sin2 5 4 cos 2 0 5 3 sin 2 g且 II 2 1 6 sin cos 2 1 sin 2 3 cos1sin3 xxxxxxgxf Zkkkxkkx 3 2 2 2 6 5 2 6 2 6 41 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径 一种是从 A沿直线步行到C 另一种是先从A沿索道乘缆车到B 然后从B沿直线步行到C 现有甲 乙 两位游客从A处下山 甲沿AC匀速步行 速度为min 50m 在甲出发min2后 乙从A乘 缆车到B 在B处停留min1后 再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的速度为 min 130m 山路AC长为m1260 经测量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道AB的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 答案 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根据 sinBsinC ACAB 得mC AC AB1040sin sinB 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙距离为 d 则 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd C B A 130 1040 0 t即80 t 37 35 t时 即乙出发 37 35 分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 由正弦定理 sinBsinA ACBC 得500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC m 乙从 B 出发时 甲已经走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V min m 则3 50 710500 v 3 50 710500 3 v 14 625 43 1250 v 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在 14 625 43 1250 范围内 法二 解 1 如图作BD CA于点D 设BD 20k 则DC 25k AD 48k AB 52k 由AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发x分钟后到达点M 此时甲到达N点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当x min 时 MN最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到C用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 42 2013 年高考湖北卷 理 在ABC 中 角A B C对应的边分别是a b c 已知 cos23cos1ABC I 求角A的大小 II 若ABC 的面积5 3S 5b 求sinsinBC的值 答案 解 I 由已知条件得 cos23cos1AA 2 2cos3cos20AA 解得 1 cos 2 A 角60A II 1 sin5 3 2 SbcA 4c 由余弦定理得 2 21a 2 2 2 228 sin a R A 2 5 sinsin 47 bc BC R 43 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 ABC在内角 A B C的对边分别为 a b c 已知cossinabCcB 求B 若2b 求 ABC面积的最大值 答案 C B A D M N 44 2013年高考新课标1 理 如图 在 ABC中 ABC 90 AB BC 1 P为 ABC内一 3 点 BPC 90 1 若 PB 求 PA 2 若 APB 150 求 tan PBA 1 2 答案 由已知得 PBC o 60 PBA 30o 在 PBA 中 由余弦定理得 2 PA o 11 323cos30 42 7 4 PA 7 2 设 PBA 由已知得 PB sin 在 PBA 中 由正弦定理得 oo 3sin sin150sin 30 化简得 3cos4sin tan 3 4 tanPBA 3 4 45 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 本题共有 2 个小题 第一小题满分 4 分 第 二小题满分 9 分 在平面直角坐标系xOy中 点A在y轴正半轴上 点 n P在x轴上 其横坐标为 n x 且 n x 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 记 1nnn P AP nN 1 若 3 1 arctan 3 求点A的坐标 2 若点A的坐标为 0 8 2 求 n 的最大值及相应n的值 解 1 2 答案 解 1 设 0 At 根据题意 1 2n n x 由 3 1 arctan 3 知 3 1 tan