椭圆常见题型总结

第 1 页 共 10 页 椭圆常见题型总结 1 1 椭圆中的焦点三角形 椭圆中的焦点三角形 通常结合定义 正弦定理 余弦定理 勾股定理来解决 椭圆上一点和焦点 为顶点的 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 1 0 cF 2 0 cF 中 则当为短轴端点时最大 且 12 PFF 12 FPF P 12 2PFPFa 22 2 1212 2cos4cPFPFPF PF 短轴长 1 2 12 1 sin 2 PF F SPF PF 2 tan 2 b b 2 2 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆交于ykxb 22 22 1 0 xy ab ab 两点 则 1122 A x yB xy 222 12121 2 114ABkxxkxxx x 3 3 椭圆的中点弦 椭圆的中点弦 设是椭圆上不同两点 1122 A x yB xy 22 22 1 0 xy ab ab 是线段的中点 可运用点差法点差法可得直线斜率 且 00 M xyABAB 2 0 2 0 AB b x k a y 4 4 椭圆的离心率 椭圆的离心率 范围 越大 椭圆就越扁 01e e 求椭圆离心率时注意运用 c a e 222 cba 5 5 椭圆的焦半径 椭圆的焦半径 若是离心率为的椭圆上任一点 焦 00 P xye 22 22 1 0 xy ab ab 第 2 页 共 10 页 点为 则焦半径 1 0 cF 2 0 cF 10 PFaex 10 PFaex 6 6 椭圆标准方程的求法 椭圆标准方程的求法 定义法 根据椭圆定义 确定 值 结合焦点位置直接写出椭圆方程 2 a 2 b 待定系数法 根据焦点位置设出相应标准方程 根据题中条件解出 从而求出 2 a 2 b 标准方程 在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 22 1AxBy 椭圆方程的常见题型椭圆方程的常见题型 1 点到定点的距离和它到定直线的距离之比为 则点的轨迹方程P 4 0 F10 x 1 2P 为 2 已知轴上一定点 为椭圆上的动点 则 AQ 中点的轨迹方程x 1 0 AQ 2 2 1 4 x y M 是 3 平面内一点到两定点 的距离之和为 10 则的轨迹为 M 2 0 5 F 2 0 5 FM A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段 4 经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆为 2 3 22 9436xy A B C D 22 1 1510 xy 22 1 1015 xy 22 1 510 xy 22 1 105 xy 5 已知圆 从这个圆上任意一点向轴做垂线段 则线段的中点 22 1xy Py 1 PP 1 PP 的轨迹方程是 M A B C D 22 41xy 22 41xy 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 y x 6 设一动点到直线的距离与它到点的距离之比为 则动点的轨迹方P3x 1 0 A3P 第 3 页 共 10 页 程是 A B C D 22 1 32 xy 22 1 32 xy 22 1 1 32 xy 22 1 23 xy 7 动圆 P 与圆内切与圆外切 求动圆圆心的 22 1 4 81Cxy 22 2 4 1Cxy P 的轨迹方程 8 已知动圆 C 过点 A 且与圆相内切 则动圆圆心的轨迹 2 0 22 2 2 64Cxy 方程为 9 已知椭圆的焦点在轴上 焦距等于 4 并且经过点 则椭圆方程为 y 2 2 6 P 10 已知中心在原点 两坐标轴为对称轴的椭圆过点 则该椭圆 3 5 2 2 A 3 5 B 的标准方程为 11 设是两个定点 且 动点到点的距离是 线段的垂直平分 A B 2AB MA4MB 线 交于点 求动点的轨迹方程 lMAPP 12 若平面内一动点到两定点 之和为常数 则的轨迹是 M 1 F 2 F2aM 13 已知椭圆经过两点和 求椭圆的标准方程 2 0 0 1 14 已知椭圆的焦距是 2 且过点 求其标准方程 5 0 P 第 4 页 共 10 页 椭圆定义的应用椭圆定义的应用 1 已知 是椭圆的两个焦点 是经过焦点的弦且 若椭圆长轴长是 1 F 2 FAB 1 F8AB 求的值 10 21 F AFB 2 已知 是两个定点 若点 的轨迹是以 为焦点的椭圆 则4AB 的值可能为 PAPB 3 椭圆的两个焦点为 为椭圆上一点 若 求 22 1 259 xy 1 F 2 F 0 12 90FPF 的面积 12 FPF 4 设 是椭圆上的点 是椭圆的两个焦点 若 则 22 1 499 xy 1 F 2 F 1 2PF 2 PF 5 椭圆上一点 到焦点的距离为 是中点 则 22 1 259 xy 1 F 1 MFON 6 3 2 6 在椭圆上有一点 P 分别是椭圆的上下焦点 若 则 2 2 1 9 y x 1 F 2 F 12 2PFPF 2 PF 7 已知 为椭圆的两个焦点 过的直线交椭圆于 A B 两点 若 1 F 2 F 22 1 259 xy 1 F 则 22 12F AF B AB 第 5 页 共 10 页 8 设 为椭圆的两个焦点 P 是椭圆上的点 且 求 1 F 2 F 22 1 496 xy 12 4 3 PFPF 的面积 12 FPF 9 是方程表示焦点在轴上的椭圆的 条件 0mn 22 1mxny y 10 若方程表示椭圆 则的取值范围为 22 1 25 xy kk 11 已知的顶点在椭圆上 顶点是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外ABC 2 2 1 3 x y A 一个焦点在边上 则的周长是 BCABC 椭圆与向量有关题型椭圆与向量有关题型 例 1 已知椭圆 C 的右焦点为 右准线为 线段交 C 于点 2 2 1 2 y x FlAl AF 若 则 B3FAFB AF 例 2 已知椭圆 C 的离心率为 过右焦点且斜率为 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 Fk 的直线与 C 相交于 两点 且 则为 0 k AB3AFFB k 1 已知椭圆的焦点为 点 M 在该椭圆上 且 则点 2 2 1 4 x y 1 F 2 F 12 0MF MF M 到轴的距离为 y 第 6 页 共 10 页 2 已知 是椭圆的两个焦点 为椭圆上一点 且 1 F 2 F 22 22 1 0 xy ab ab P 若的面积为 则 12 PFPF 12 PFF 9b 3 已知椭圆 C 的右焦点为 右准线为 线段交 C 于点 22 3 1 12 yx FlAl AF 若 则 B3FAFB AF 椭圆的离心率问题椭圆的离心率问题 例 1 分别是椭圆的两个焦点 和是以为圆心 以 1 F 2 F 22 22 1 0 xy ab ab ABO 为半径的圆与该椭圆的两个交点 且是等边三角形 则椭圆的离心率为 1 OF 2 F AB 例 2 已知 是椭圆的两个焦点 点在椭圆上 且 求椭圆的离心 1 F 2 FP 0 12 60FPF 率的取值范围 1 设 分别是椭圆的左 右焦点 若在其右准线上存在点 1 F 2 F 22 22 1 0 xy ab ab P 使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 1 PF 2 F 2 在平面直角坐标系中 设椭圆的焦距为 2C 以点为圆心 xoy 22 22 1 0 xy ab ab O 为半径作圆 若过点所作圆 的两条切线相互垂直 则该椭圆的离心率为 a 2 0 a P c 第 7 页 共 10 页 3 已知椭圆的左焦点为 为椭圆的两个顶点 22 22 1 0 xy ab ab F 0 0 AaBb 若到的距离等于 则椭圆的离心率为 FAB 7 b 4 已知椭圆的左右焦点分别为 且 点 A 在椭 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 F 12 2FFc 圆上 则椭圆的离心率为 112 0AF FF 2 12 AF AFc 5 已知 是椭圆的两个焦点 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 两点 1 F 2 F 1 F 若是等腰直角三角形 则这个椭圆的离心率为 2 ABF 6 椭圆的右焦点为 其右准线与轴的交点为 在椭圆上存 22 22 1 0 xy ab ab FxA 在点满足线段的垂直平分线过点 则椭圆的离心率取值范围是 PAPF 7 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点 B 是短轴的一个端点 线段 BF 的延长线交 于点 D 且 则 C 的离心率为 2BFFD 8 以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点 且与该椭圆的右准线 22 22 1 0 xy ab ab O 交于 两点 已知是正三角形 则该椭圆的离心率是 ABOAB 9 已知 分别为椭圆的右顶点 上顶点 和左焦点 若ABC 22 22 1 0 xy ab ab 第 8 页 共 10 页 则该椭圆的离心率为 0 90ABC 10设 12 FF是椭圆的左 右焦点 为直线 3 2 a x 上一 22 22 1 0 xy Eab ab P 点 21 F PF是底角为30 的等腰三角形 则的离心率为 E A B C D 1 2 2 3 11椭圆 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分别是 F1 F2 若 22 22 1 xy ab AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形 1 椭圆的焦点为 点在椭圆上 若 则 22 1 92 xy 1 F 2 FP 1 4PF 2 PF 的大小为 12 FPF 2 是椭圆上的一点 和是焦点 若 则的面P 22 1 2516 xy 1 F 2 F 12 30FPF 12 FPF 积等于 A 3 316 B 32 4 C 32 16 D 16 2 3 3 是椭圆上的一点 和为左右焦点 若 P 22 1 259 xy 1 F 2 F 12 60FPF 第 9 页 共 10 页 1 求的面积 2 求点的坐标 12 FPF P 焦半径问题焦半径问题 椭圆的左右焦点分别为 点在椭圆上 如果线段的中点在 22 1 123 xy 1 F 2 FP 1 PF 轴上 那么是的的 倍 y 1 PF 2 PF 椭圆的中点弦问题椭圆的中点弦问题 例 1 已知椭圆与直线相交于 两点 是 22 1 0 axbyab 10 xy ABC 的中点 若 的斜率为 求椭圆方程 AB2 2AB OC 2 2 第 10 页 共 10 页 1 直线 交椭圆于 A B 两点 中点的坐标是 则直线 的