置换群与对称群精选ppt课件.ppt

1 6置换群 1 6PermutationGroup 群G的全体置换作成的群叫n次对称群Sn 置换群是n次对称群Sn的子群 由Cayley定理 任一个有限群必与一个置换群同构 因此 需要对置换群作进一步的详细讨论 本节 我们将把置换群分解为循环的乘积 并得到置换群的一些初步性质 1 6 1置换的循环分解 CyclicResolvingofPermutation 在前面我们知道 一个置换 可以表示成如下的形式 其中i1i2 in是1 2 n的一个排列 Def 设 是一个n次置换 满足 1 i1 i2 i2 i3 ir i1 2 保留1 2 n中的其余元素不变 则称 为长度为r的循环 或称r阶循环 记为 i1i2 ir 例如是一个长度为4的循环 或称4阶循环 两个循环 i1i2 ir j1j2 js 称为不相交的 如果对任何的k l 都有ik jl两个置换的乘积一般是不可交换的 但是可以证明 两个不相交的循环的乘积是可交换的 Th1任一个n次置换 都可以分解为两两不相交的循环的乘积 而且这种分解式除因子的次序不同外是唯一的 证明 先证明分解式的存在性 从 1 2 n 中任选一个数作为i1 依次求出 i1 i2 i2 i3 直至这个序列中第一次出现重复 这个第一次出现重复的数必然是i1 即存在ir 使 ir i1 于是得到循环 1 i1i2 ir 然后再取j1 i1i2 ir 重复以上步骤可得 2 j1j2 js 并且由映射的定义知 1与 2无公共元素 如此下去 直至每一个元素都在某一个循环中 因而得到的分解式 1 2 k 再证明分解式的唯一性 若 有两个不同的分解式 则一定出现两个数码i j 在一个分解式中j紧接着i出现 而在另一个分解式中紧接着i的不是j 这表明 从第一个分解式得 i j 而从第二个分解式得 i j 矛盾 例 1 6 2置换的对换分解 TranspositionResolvingofPermutation Def 长度为2的循环 称为对换 ab Th2任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积 1 1 s而且的个数s的奇偶性由 唯一确定 与分解方法无关 证明 由于每一个循环 i1i2 ir 都可以写成对换的乘积 i1i2 ir i1i2 i1i3 i1ir 它是r 1个对换的乘积 因此 任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积 再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性 证明的基本思想是用一对对换 ab 右乘 令N 表示分解式中所含对换的个数 则N ab 与N 有相反奇偶性 并注意到N 0 这里 是恒等变换 即可 为了证明N ab 与N 有相反奇偶性 我们注意有下述等式 ac1c2 ch bd1d2 dk ab ac1 chbd1 dk ac1 chbd1 dk ab ac1c2 ch bd1d2 dk 事实上 由于 ab 1 ab 从而第一个等式可由第二个等式右乘 ab 得到 对于第二个等式 可以从它们作用到1 2 n的每一个数码上的像来验证 由于上述两个等式 若 ab 右乘 且a b在 的同一个循环中出现 则N ab N 1 若a b在 的不同循环中出现 则N ab N 1 总之 N ab N 1 今设有一个表示成m个对换的乘积的表示式 ab cd pq 由于 ab 1 ab 从而 pq cd ab e 但是 N e 0 故N 1 1 1 0 因此m与N 有相同的奇偶性 证毕例 置换 如果可以分解为偶数个 奇数个 对换的乘积 则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个数都是偶数 奇数 此时 称置换 为偶置换 奇置换 置换 的乘积的性质 1 两个偶置换的乘积是偶置换 2 两个奇置换的乘积是偶置换 3 一个偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换 例令An Sn 是偶置换 则恒等置换e An 又 An An 封闭性 注意到 1 e 从而 和 1有相同的奇偶性 因此 An 1 An 有逆元 可见