初高中数学的异同

初高中数学的异同 知识结构总结 2009 04 24 09 42 02 来源 本站原创 文章作者 智康李老师 进入论坛 一 知识的不一样 初中数学知识面少 难度小 高中数学知识广泛 将对初中的数学知识推广和引申 也是 对初中数学知识的完善 如 高中数学将把角的概念推广到任意角 可表示包括正 负在内的 所有大小角 又如 高中要学习 立体几何 将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面 积 还将学习 排列组合 知识 以便解决排队方法种数等问题 如 三个人排成一行 有几 种排队方法 四人进行乒乓球双打比赛 有几种比赛场次 高中还将学习统计这些排列的数 学方法 在初中数学中 对一个负数开平方无意义 但高中数学却把数的概念进行推广 使数的 概念扩大到复数范围等 这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到 二 学习方法不一样 A 初中课堂教学量小 知识简单 教师通过课堂较慢的讲解速度 争取让同学们全面理 解知识点和解题方法 课后老师布置作业 然后通过大量的课堂内 外练习 课外指导达到对 知识的反反复复理解 直到学生掌握 而高中课程开设多 每天至少上六节课 自习时间三节课 这样各科学习时间将大大减少 而教师布置课外题量相对初中减少 这样集中数学学习的时间 相对比初中少 如果数学教师能像初中那样监督每个学生的作业和课外练习 就能达到像初中 那样把知识让每个学生掌握后再学习新课 B 模仿与创新的区别 初中学生模仿做题 他们模 仿老师思维推理较多 而高中随着知识的难度增加和知识面广泛 学生不能全部模仿 现在高 考数学旨在考查学生能力 避免学生高分低能 避免定势思维 提倡创新思维和学生创造能力 培养 初中学生大量地模仿给学生带来了不利的思维定势 封闭了学生的丰富 创造精神 如 学生在解决 比较 a 与 2a 的大小时要不就错 要不就答不全面 大多数学生不会分类讨论 三 学生自学能力的差异 初中学生自学能力低 大凡考试中所用的解题方法和数学思想 教师基本上已反复训练 老师把要学生自己高度深刻理解的问题 都集中表现在他的耐心的讲解和大量的训练中 而且 学生的听课只需要熟记结论就可以做题 学生不需自学 但高中的知识面广 要教师训练完高 考中的习题类型是不可能的 只有通过较少的 较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类 型习题 如果不自学 不靠大量的阅读理解 将会使学生失去这一类型习题的解法 另外 科学 在不断地发展 考试在不断地改革 高考也随着全面的改革不断地深入 数学题型的开发在不 断地多样化 近年来提出了应用型题 探索型题和开放型题 只有靠学生的自学去深刻理解和 创新才能适应现代科学的发展 四 思维习惯上不一样 初中学生由于学习数学知识的范围小 知识层次低 知识面窄 对实际问题的思维受到了 局限 就几何来说 接触的是现实生活中三维空间 但初中只学了平面几何 那么就不能对三维 空间进行严格的逻辑思维和判断 代数中数的范围只限定在实数中思维 就不能深刻地解决方 程根的类型等 高中数学知识的多元化和广泛性 将会使学生全面 细致 深刻 严密地分析 和解决问题 也将培养学生高素质思维 提高学生的思维递进性 五 定量与变量的不同 初中数学中 题目 已知和结论用常数给出的较多 一般答案是常数和定量 学生在分析 问题时 大多是按定量来分析问题 这样的思维和问题的解决过程 只能片面地 局限地解决 问题 在高中数学学习中我们将会大量地 广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和 特殊性 如 求解一元二次方程时我们采用对方程 ax2 bx c 0 a 0 的求解 讨论它是否有根 和有根时所有根的情形 使学生很快地掌握了对所有一元二次方程的解法 另外 在高中学习 中我们还会通过对变量的分析 探索出分析 解决问题的思路和解题的数学思想 高中一年级学生如何学习数学 冠县第三中学 侯红华 2011 年 7 月 20 日 09 25 对于高一学生来讲 环境可以说是全新的 新教材 新同学 新教师 新集体 学生 有一个由陌生到熟悉的适应过程 另外 经过紧张的中考复习 考取了自己理想的高中 必有些学生产生 松口气 想法 入学后无紧迫感 也有些学生有畏惧心理 他们在入学前 就耳闻高中数学很难学 高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念 如映射 集合 异面直线等 使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面 以上这些因素都严重影响高一新 生的学习质量 那么怎样才能学好高中数学呢 努力提高自己的能力 改进学法 培养良 好的学习习惯 一 课前认真预习 预习是在课前 独立地阅读教材 自己去获取新知识的一个重要环节 课前预习未讲授的 新课 首先把新课的内容都要仔细地阅读一遍 通过阅读 分析 思考 了解教材的知识 体系 重点 难点 范围和要求 对于数学概念和规律则要抓住其核心 以及与其它数学 概念和规律的区别与联系 把教材中自己不懂的疑难问题记录下来 对已学过的知识 如 果忘了 课前预习时可及时补上 这样 上课时就不会感到困难重重了 然后再纵观新课 的内容 找出各知识点间的联系 掌握知识的脉络 绘出知识结构简图 同时还要阅读有 关典型的例题并尝试解答 把解答书后习题作为阅读效果的检查 并从中总结出解题的一 般思路和步骤 有能力的同学还可以适当阅读相关内容的课外书籍 二 课堂上专心听讲 课堂专心听讲是学生学习的重要方法 因为在课堂上 老师都会反复讲教学过程中的 重点 难点和容易出错的地方 老师还可能会补充书上没有的知识点 当然我们不是消极 被动地听 而是主观上积极努力地听 比如我们在听课时可对所学内容提出质疑 下课后 再征求老师的意见 以便形成自己的观点 一般来说 老师在讲新课前 一般都用五分钟 来复习上一节课所讲的内容 或者把今天要讲的材料引个头 概述讲课的目的 或者预习 概叙要阐述的问题 如果我们能很快地记下教师在最初五分钟里所讲的主要内容 那么 它将是最有价值的笔记的一部分 或许会提高整堂课的听课效率 而一堂课的最后五分钟 也是很重要的 因为大部分教师会在这段时间总结本节课所讲的主要内容 这时我们一定 要认真听讲 与老师一起复习 对笔记进行补缺补漏 三 及时做作业 定期整理学习笔记 在学习过程中 通过对所学知识的回顾 对照预习笔记 听课笔记 作业 达标检测 教 科书和参考书等材料加以补充 归纳 使所学的知识达到系统 完整和高度概括的水平 学习笔记要简明 易看 一目了然 符合自己的特点 做到定期按知识本身的体系加以归 类 整理出总结性的学习笔记 以求知识系统化 把这些思考的成果及时保存下来 以后 再复习时 就能迅速地回到自己曾经达到的高度 在学习时如果轻信自己的记忆力 不做 笔记 则往往会在该使用时却想不起来了 很可惜的 四 课后学会对类似知识点的归纳 总结 我们常说 学习的过程就是把书由薄变厚 再由厚变薄的过程 我们前面所说的正是告诉 大家怎样才能把书由薄变厚 但把书由薄变厚并不是我们的目的 太厚了 就会超负荷 承载不起 大千世界 纷繁复杂 但在哲学家看来 无非是物质或精神 而在生物学家看 来 无非是动物或植物 可见 只要我们学会发现其共性 找出其本质 便都可化繁为简 化难为易 学习也正如此 我们若学会了对类似知识点的归纳 总结 那么繁杂的物理内 容便化成了简单的几个部分 学习起来自然就会轻轻松松 游刃有余 例如 在学习函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 它们的定义方式都是一样的 而那 么多的概念 却几乎都是相通的 只要我们掌握了函数概念的实质 所有的便不都迎刃而 解了 复习总结提高对学过的知识 做过的练习 如果不及时复习 不会归纳总结 就容 易出现知识之间的割裂而形成孤立地 呆板地学习数学知识的倾向 五 学会调整自己的情绪 注重感情投资 我们都知道 感情的力量是神奇的 它在学习中的作用犹如化学中的催化剂 对一个 学生而言 能试着喜欢自己的老师 那将会终生受益非浅 学习的过程本就是艰辛的 甚 至在大多数学生看来是个单调 枯燥的过程 如果再有情感的反面效应 那么什么样的方 法都将是徒劳无效的 如果我们能在枯燥的学习过程中寓于神奇的感情力量 那么 我们 的学习生涯不就其乐无穷了吗 函数 function 表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系 函数 f 中对应输入值的 输出值 x 的标准符号为 f x 包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域 包含所有的输出值的集合被称作值域 若先定义映射的概念 可以简单定义函数为 定义 在非空数集之间的映射称为函数 函数是位于数学领域中的一种对应关系 是从非空数集 A 到实数集 B 的对应 简单地说 甲随着乙变 甲就是乙的函数 精确地说 设 X 是一个非空集合 Y 是非空数集 f 是个对应法则 若对 X 中的每个 x 按对应法则 f 使 Y 中存在唯一的一个元素 x 与之对应 就称对应法则 f 是 X 上的一个 函数 记作 y f x 称 X 为函数 f x 的定义域 集合 y y f x x X 为其值域 Rf 值 域是 Y 的子集 x 叫做自变量 y 叫做因变量 习惯上也说 y 是 x 的函数 对应法则 定 义域是函数的两要素 编辑本段注意事项 对应法则并不等同于函数 因为运算法则并不依赖于某个定义域 它可以作用于任何 一个非空集合 如 1X1 1 X1 可以通用于任意一个算术式里一样 编辑本段与函数有关的概念 在一个变化过程中 发生变化的量叫变量 有些数值是不随变量而改变的 我们称它 们为常量 自变量 函数一个与它量有关联的变量 这一量中的任何一值都能在它量中找到对应 的固定值 因变量 函数 随着自变量的变化而变化 且自变量取唯一值时 因变量 函数 有且只 有唯一值与其相对应 函数值 在 y 是 x 的函数中 x 确定一个值 Y 就随之确定一个值 当 x 取 a 时 Y 就 随之确定为 b b 就叫做 a 的函数值 由映射定义 设 A 和 B 是两个非空集合 如果按照某种对应关系 f 对于集合 A 中的任何一个元素 a 在集合 B 中都存在唯一的一个元素 b 与之对应 那么 这样的对应 包括集合 A B 以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f 叫做集合 A 到集合 B 的映射 Mapping 记作 f A B 其中 b 称为 a 在映射 f 下的象 记作 b f a a 称为 b 关于映射 f 的原象 集合 A 中所有元素的象的集合记作 f A 则有 定义在非空数集之间的映射称为函数 函数的自变量是一种特殊的原象 因变 量是特殊的象 几何含义 函数与不等式和方程存在联系 初等函数 令函数值等于零 从几何角度看 对应的 自变量的值就是图像与 X 轴的交点的横坐标 从代数角度看 对应的自变量是方程的解 另外 把函数的表达式 无表达式的函数除外 中的 换成 再把 Y 换 成其它代数式 函数就变成了不等式 可以求自变量的范围 函数的集合论 关系 定义 如果 X 到 Y 的二元关系 f X Y 对于每个 x X 都有唯一的 y Y 使得 f 则 称 f 为 X 到 Y 的函数 记做 f X Y 当 X X1 Xn 时 称 f 为 n 元函数 其特点 前域和定义域重合 单值性 f f y y 编辑本段定义域 对应域和值域 输入值的集合 X 被称为 f 的定义域 可能的输出值的集合 Y 被称为 f 的值域 函数的 值域是指定义域中全部元素通过映射 f 得到的实际输出值的集合 注意 把对应域称作值 域是不正确的 函数的值域是函数的对应域的子集 X 都成立 则称函数 f x 在 X 上有界 如果这样的 M 不存在 就称函数 f x 在 X 上无界 函数 f x 在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界 函数的单调性 设函数 f x 的定义域为 D 区间 I 包含于 D 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2 当 x1 x2 时 恒有 f x1 f x2 则称函数 f x 在区间 I 上是单调增加的 如果对于区间 I 上任意 两点 x1 及 x2 当 x1f x2 则称函数 f x 在区间 I 上是单调减少的 单调 增加和单调减少的函数统称为单调函数 函数的奇偶性 设 f x 为一个实变量实值函数 则 f 为奇函数若下列的方程对所有实数 x 都成立 f x f x 或 f x f x 几何上 一个奇函数与原点对称 亦即其图在绕原点做 180 度旋转后不会改变 奇函数的例子有 x sin x sinh x 和 erf x 设 f x 为一实变量实值函数 则 f 为偶函数若下列的方程对所有实数 x 都成立 f x f x 几何上 一个偶函数会对 y 轴对称 亦即其图在对 y 轴为镜射后不会改变 偶函数的例子有 x x x 2 cos x 和 cosh sec x 偶函数不可能是个双射映射 函数的周期性 狄利克雷函数 设函数 f x 的定义域为 D 如果存在一个正数 l 使得对于任一 x D 有 x 士 l D 且 f x l f x 恒成立 则称 f x 为周期函数 l 称为 f x 的周期 通常我们说周期函数的周期是指最小 正周期 并非每个周期函数都有最小正周期 例如狄利克雷 Dirichlet 函数 函数的连续性 在数学中 连续是函数的一种属性 直观上来说 连续的函数就是当输入值的变化足 够小的时候 输出的变化也会随之足够小的函数 如果输入值的某种微小的变化会产生输 出值的一个突然的跳跃甚至无法定义 则这个函数被称为是不连续的函数 或者说具有不 连续性 设 f 是一个从实数集的子集射到 的函数 f 在中的某个点 c 处是连续的当且仅当以 下的两个条件满足 f 在点 c 上有定义 c 是中的一个聚点 并且无论自变量 x 在中以什么方式接近 c f x 的极限都存在且等于 f c 我们称函数到处连续或处处连续 或者简单的连续 如果它在 其定义域中的任意点处都连续 更一般地 我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的 当它在这个子集的每一点处都连续 不用极限的概念 也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性 仍然考虑函数 假设 c 是 f 的定义域中的元素 函数 f 被称为是在 c 点连续当且仅当以 下条件成立 对于任意的正实数 存在一个正实数 0 使得对于任意定义域中的 只要 x 满足 c x c 就有成立 函数的凹凸性 设函数 f x 在 I 上连续 如果对于 I 上的两点 x1 x2 恒有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 那么称 f x 是区间上的 严格 凹函数 实函数或虚函数 实函数 Real function 指定义域和值域均为实数域的函数 实函数的特性之一是可 以在坐标上画出图形 虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念 当从父类中继承的时候 虚函数和 被继承的函数具有相同的签名 但是在运行过程中 运行系统将根据对象的类型 自动地 选择适当的具体实现运行 虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段 编辑本段函数概念的发展历史 1 早期函数概念 几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 G Galileo 意 1564 1642 在 两门新科学 一书中 几乎全部包 含函数或称为变量关系的这一概念 用文字和比例的语言表达函数的关系 1673 年前后笛 卡尔 Descartes 法 1596 1650 在他的解析几何中 已注意到一个变量对另一个变量的 依赖关系 但因当时尚未意识到要提炼函数概念 因此直到 17 世纪后期牛顿 莱布尼兹建 立微积分时还没有人明确函数的一般意义 大部分函数是被当作曲线来研究的 2 十八世纪函数概念 代数观念下的函数 基本初等函数及其图像 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数称为基 本初等函数 幂函数 y x 0 为任意实数 定义域 为正整数时为 为负整数时是 0 0 为整数 当 是奇数时为 当 是偶数时为 0 p q p q 互素 作为的复合函数进行讨论 略图如图 2 图 3 指数函数 y ax a 0 a 1 定义成为 值域为 0 a 1 时是 严格单调增加的函数 即当 x2 x1 时 0 对数函数 y logax a 0 称 a 为底 定义域为 0 值域为 a 1 时是严格单调增加的 0 a 1 时是严格单减的 不论 a 为何值 对数函数的图形均过点 1 0 对数函数与指数函数互为反函数 如图 5 以 10 为底的对数称为常用对数 简记为 lgx 在科学技术中普遍使用的是以 e 为底的 对数 即自然对数 记作 lnx 三角函数 见表 2 正弦函数 余弦函数如图 6 图 7 所示 反三角函数 见表 3 双曲正 余弦如图 8 双曲函数 双曲正弦 ex e x 双曲余弦 ex e x 双曲正切 ex e x ex e x 双曲余切 ex e x ex e x 编辑本段按照未知数次数分类 常函数 x 取定义域内任意数时 都有 y C C 是常数 则函数 y C 称为常函数 其图像是平行于 x 轴的直线或直线的一部分 一次函数 I 定义与定义式 自变量 x 和因变量 y 有如下关系 y kx b k b 为常数 k 0 则称 y 是 x 的一次函数 特别地 当 b 0 时 即 y kx 时 y 是 x 的正比例函数 II 一次函 数的性质 y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例 比值为 k 即 y x k III 一次函数的 图象及性质 1 作法与图形 通过如下 3 个步骤 1 列表 一般找 4 6 个点 2 描 点 3 连线 可以作出一次函数的图象 用平滑的曲线连接 2 性质 在一次函数图 象上的任意一点 P x y 都满足等式 y kx b 3 k b 与函数图象所在象限 当 k 0 时 直线必通过一 三象限 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 直线必通过一 二象限当 b0 时 直线只通过一 三象限与原点 当 k0 时 开口方向向上 a0 时 抛物线向上开口 当 a0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b 2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b 2 4ac0 时 函数在 x b 2a 处取得最小值 f b 2a 4ac b 2 4a 在 x x b 2a 上是增函数 抛物线的开口向上 函数的值域是 x x 4ac b 2 4a 相反不 变 当 b 0 时 抛物线的对称轴是 y 轴 这时 函数是偶函数 解析式变形为 y ax 2 c a 0 二次函数与一元二次方程 特别地 二次函数 以下称函数 y ax 2 bx c 当 y 0 时 二次函数为关于 x 的一元二次方程 以下称方程 即 ax 2 bx c 0 此时 函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根 1 二次函数 y ax 2 y a x h 2 y a x h 2 k y ax 2 bx c 各式中 a 0 的图象形 状相同 只是位置不同 它们的顶点坐标及对称轴如下表 解析式 y ax 2 y a x h 2 y a x h 2 k y ax 2 bx c 对应顶点坐标 0 0 h 0 h k b 2a 4ac b 2 4a 对应对称轴 x 0 x h x h x b 2a 当 h 0 时 y a x h 2 的图象可由抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位得到 当 h0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位 就可 以得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向下移动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h0 时 将抛物线向左平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k0 时 开口向上 当 a0 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而减小 函数是 减函数 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而增大 函数是增函数 若 a0 图象与 x 轴交于两点 A x 0 和 B x 0 其中的 x1 x2 是一元二 次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根 这两点间的距离 AB x x 另外 抛物线上任何一对对称点的距离可