构造母子型相似解决阿氏圆题型

20192019 届初中数学总复习微专题届初中数学总复习微专题 构造母子型相似解决阿氏圆题型构造母子型相似解决阿氏圆题型 何求 2019 6 10 阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热 出题频率越来越高 成为近几 年中考填空 解答的压轴热点题型 阿氏圆题型 很多同学感觉困难 但是掌握 了特点和方法 困难就能迎刃而解 一 阿氏圆题型 一 阿氏圆题型 例 在 Rt ABC 中 AOB 90 AO 3 BO 4 O 的 半径为 2 P 为 O 上一动点 则的最小值为 1 2 PAPB 二 阿氏圆题型特点 二 阿氏圆题型特点 动点 P 在圆 圆弧 上运动且圆心 O 到动点 P 的距离 OP 与圆心 O 到定点 B 的距离 OB 的比值为定值k 求PA k PB k 1 最小值的题 型 三 阿氏圆解题方法 三 阿氏圆解题方法 初中数学解决阿氏圆问题 要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方 法 构造母子型三角形相似 结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆 题型的核心武器 步骤如下 口诀 找母作子定最值 1 找母三角形 标出半径 圆心到动点的线段 OP 与定线段 圆心到定点的线 段 OB 及其夹角 BOP 的三角形 2 作子三角形 利用标出两边的夹角 构造一条线段 使其长度与半径比为 K 构 造出子三角形 由于共角 那么母子三角形相似 3 得到去除系数 k 的线段 结合两点之间线段最短进行求解 例例 1 1 在 Rt AOB 中 AOB 90 AO 3 BO 4 O 的半径 O A B P 为 2 P 为 O 上一动点 则的最小值为 1 2 PAPB 基本思路 构造母子型三角形相似 将 1 2 PB 转化成 PE PB 1 2 只需求 PA PE 最小 结合两点之间线段最短进行求解 解 在 OB 上截取 OE 1 2 OP 连接 PE OP OB OE OP 1 2 POB EOP POB EOP PE 1 2 PB 1 PA 1 2 PB PA PE 当点 E P A 三点共线时 PA PE 最小 即 PA 1 2 PB 的最小值为 1 2 3 2 10 练习 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4 圆 B 的半径为 2 点 P 是 圆 B 上的个动点 求 PD PC 的最小值 练习 2 在正方形 ABCD 中 G 为正方形内一点 AD 4 P 为 BC 中点 且 BG BP 则的最小值是 1 2 DGGC 例例 2 2 在平面直角坐标系中 A 2 0 B 0 2 C 4 0 D 3 2 P 是 AOB 外部的第一象限内一动点 且 BPA 135 则 2PD PC 的最小值是 C D B A P P C DA B G y x C A B D O P O A B P E 练习 3 如图 已知菱形 ABCD 的边长为 4 B 60 点 E F 分别是 AB BC 的中点 点 P 在菱形内部 且 EPF 150 则的最小值为 1 2 PDPC 练习 4 练习 4 如图 菱形 ABCD 的边长为 2 ABC 为 60 A 与 BC 相切于 点 E 在 A 上任取一点 P 则 PB PD 的最小值为 2 3 拓展题 拓展 1 如图 点 A B 在 A 上 且 OA OB 12 OA OB 点 C 是 OA 的中点 点 D 在 OB 上 OD 10 动点 P 在 O 上 则的最小值为 1 2 PCPD E F A B C D P B A D C P C O B A D P 拓展 2 如图 抛物线与 x 轴交于点 A 4 0 与 y 033 2 axaaxy 轴交于点 B 在 x 轴上有一动点 E m 0 0 m 4 过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N 交抛物线于点 P 过点 P 作 PM AB 于点 M 1 求 a 的值和直线 AB 的函数表达式 2 设 PMN 的周长为 AEN 的周长为 若 求 m 的值 1 C 2 C 1 2 6 5 C C 3 如图 2 在 2 的条件下 将线段 0E 绕点 0 逆时针旋转得到 OF 旋转角为 a 0 a 90 连接 FA FB 求的最小值 2 3 FAFB y x N M P A B O E y x F N M P A B O E 附 附 阿氏圆定理 定理内容较为抽象 了解即可 一动点 P 到两定点 A B 的距离之比等于定比 m n 则 P 点的轨迹 是以定比 m n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆 这个轨迹最先由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现 该圆称为阿波罗尼斯圆 简称阿氏圆 最值二 1 已知 Rt ABC 中 ACB 90 BC 1 AC 点 P 是 AC 上的个动点 22 则 3BP AP 的最小值 A C B P 2 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 BAC 30 延长 BC 至 D 使 CD BC 连接 A