专题一-函数与导数

专题一 函数与导数 第一讲 函数的图象与性质 一 选择题 1 2015 重庆高考 函数 f x log2 x2 2x 3 的定义域是 A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 2 2015 广东高考 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 A y x sin 2x B y x2 cos x C y 2x D y x2 sin x 1 2x 3 若 loga20 且 a 1 则函数 f x loga x 1 的图象大致是 4 已知 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 且 f x g x x3 x2 1 则 f 1 g 1 A 3 B 1 C 1 D 3 5 2015 唐山模拟 f x 是 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x x3 ln 1 x 则当 xf f 4 3 1 2 6 5 B f f f 1 2 4 3 6 5 C f f f 6 5 4 3 1 2 D f f f 4 3 6 5 1 2 7 2015 杭州模拟 已知函数 f x ex 1 g x x2 4x 3 若有 f a g b 则 b 的取 值范围为 A 2 2 B 2 2 2222 C 1 3 D 1 3 8 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数 若对于 x 0 都有 f x 2 f x 且当 x 0 2 时 f x ex 1 则 f 2 015 f 2 016 A 1 e B e 1 C 1 e D e 1 9 2015 唐山模拟 已知 f x Error 的值域为 R 那么 a 的取值范围是 A 1 B 1 1 2 C D 1 1 2 0 1 2 10 2015 温州模拟 已知函数 f x 的图象如图所示 则 f x 的解析式可能是 A f x x2 2ln x B f x x2 ln x C f x x 2ln x D f x x ln x 11 2015 武昌模拟 如图 直线 l 和圆 C 当 l 从 l0开始在平面上绕点 O 按逆时针方 向匀速转动 转动角度不超过 90 时 它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数 这 个函数的大致图象是 12 已知 y f x 是定义在 R 上的偶函数 对任意 x 恒有 f x 6 f x f 3 当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 0 给出下列命题 f x1 f x2 x1 x2 f 3 0 直线 x 6 是 y f x 的一条对称轴 y f x 在 9 6 上为增函数 y f x 在 9 9 上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 A B C D 二 填空题 13 设函数 f x x ex ae x x R 是偶函数 则实数 a 的值为 14 已知函数 f x ax b a 0 a 1 的定义域和值域都是 1 0 则 a b 15 2015 四川高考 某食品的保鲜时间 y 单位 小时 与储藏温度 x 单位 满足函数 关系 y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b 为常数 若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时 在 22 的保鲜时间是 48 小时 则该食品在 33 的保鲜时间是 小时 16 已知函数 y 的图象与函数 y kx 2 的图象恰有两个交点 则实数 k 的取值 x2 1 x 1 范围是 答案 1 解析 选 D 要使函数有意义 只需 x2 2x 3 0 即 x 3 x 1 0 解得 x1 故函数的定义域为 3 1 2 解析 选 D A 项 定义域为 R f x x sin 2x f x 为奇函数 故不符合 题意 B 项 定义域为 R f x x2 cos x f x 为偶函数 故不符合题意 C 项 定义 域为 R f x 2 x 2x f x 为偶函数 故不符合题意 D 项 定义域为 1 2 x 1 2x R f x x2 sin x f x x2 sin x 因为 f x f x 且 f x f x 故为非奇非 偶函数 3 解析 选 B 由 loga2 0 得 0 a 1 故函数 f x loga x 1 为减函数 故排除选项 A D 由图象平移可知 f x loga x 1 的图象可由 y logax 的图象向左平移 1 个单位得到 4 解析 选 B 用 x 代替 x 得 f x g x x 3 x 2 1 又由题意知 f x f x g x g x f x g x x3 x2 1 令 x 1 得 f 1 g 1 1 5 解析 选 C 当 x0 又 f x 是 R 上的奇函数 所以 f x f x x 3 ln 1 x x3 ln 1 x 6 解析 选 C 由 f x 1 1 f x 1 f x 知 f x 的周期为 2 所以 f x 在 1 0 上为减函数 故偶函数 f x 在 0 1 上为增函数 而 f f f f f 所以 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 f f f 即 f f f 4 5 2 3 1 2 6 5 4 3 1 2 7 解析 选 B f a 的值域为 1 由 b2 4b 3 1 解得 2 b0 时 函数 f x 的单调性 为先减后增 最小值为正 极小值点小于 1 分别对选项中各个函数求导 并求其导函数等 于 0 的正根 可分别得 1 2 1 由此可得仅函数 f x x2 ln x 符合条件 2 2 11 解析 选 C 当转动角度不超过 45 时 阴影面积增加得越来越快 图象下凸 当 转动角度超过 45 时 阴影面积增加得越来越慢 图象上凸 故选 C 12 解析 选 D 令 x 3 得 f 3 f 3 f 3 即 f 3 f 3 0 故 正确 由 f x 6 f x 知函数 y f x 是周期为 6 的偶函数 又当 x1 x2 0 3 且 x1 x2时 0 故函数 y f x 在 0 3 上为增函数 作出函数 y f x 在区间 9 9 上的大致图 f x1 f x2 x1 x2 象 如图所示 由图形 可知函数 y f x 关于直线 x 6 对称 且 f 3 f 3 f 9 f 9 0 y f x 在 9 6 上单调递减 即 是正确的 13 解析 设 g x x h x ex ae x 因为函数 g x x 是奇函数 则由题意知 函 数 h x ex ae x为奇函数 又函数 f x 的定义域为 R h 0 0 解得 a 1 答案 1 14 解析 当 a 1 时 函数 f x 单调递增 则Error 无解 当 0 a 1 时 函数 f x 单调 递减 则Error 解得Error 故 a b 3 2 答案 3 2 15 解析 由已知条件 得 192 eb b ln 192 又 48 e22k b e22k ln 192 192e22k 192 e11k 2 e11k 48 192 1 2 1 4 1 2 1 2 设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时 则 t e33k ln 192 192e33k 192 e11k 3 192 3 24 1 2 答案 24 16 解析 根据绝对值的意义 y Error x2 1 x 1 在直角坐标系中作出该函数的图象 如图中实线所示 根据图象可知 当 0 k 1 或 1 kc b B a b c C c a b D b c a 3 已知函数 f x log2x 在下列区间中 包含 f x 零点的区间是 6 x A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 4 2015 辽宁五校联考 一个人以 6 米 秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车 当他离汽 车 25 米时交通灯由红变绿 汽车开始变速直线行驶 汽车与人前进方向相同 汽车在时间 t 内的路程为 s t2米 那么 此人 1 2 A 可在 7 秒内追上汽车 B 可在 9 秒内追上汽车 C 不能追上汽车 但期间最近距离为 14 米 D 不能追上汽车 但期间最近距离为 7 米 5 已知 a b 1 0 xx B xa xb C logx a logx b D loga x logb x 1 a 1 b 6 设 1 x 2 则 2 的大小关系是 ln x x ln x x ln x2 x2 A 2 ln x x ln x x ln x2 x2 B 2 ln x x ln x x ln x2 x2 C 2 ln x x ln x2 x2 ln x x D 2 ln x2 x2 ln x x ln x x 7 某公司在甲乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为 L1 5 06x 0 15x2和 L2 2x 其中 x 为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得的最大利 润为 A 45 606 万元 B 45 6 万元 C 45 56 万元 D 45 51 万元 8 2015 成都三诊 已知函数 f x ln x 2 x 3 其中 x 表示不大于 x 的最大整数 如 1 6 1 2 1 3 则函数 f x 的零点个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 9 2015 长沙模拟 奇函数 f x 偶函数 g x 的图象分别如图 1 图 2 所示 方程 f g x 0 g f x 0 的实根个数分别为 a b 则 a b 等于 图 1 图 2 A 14 B 10 C 7 D 3 10 2015 济南模拟 已知 x0是函数 f x 2x 的一个零点 若 x1 1 x0 1 1 x x2 x0 则 A f x1 0 f x2 0 B f x1 0 C f x1 0 f x2 0 f x2 0 11 2015 唐山模拟 函数 f x e x g x ln x 若 x1 x2都满足 f x g x 则 A x1 x2 e B 1 x1 x2 e C 0 x1 x2 D x1 x2 1 1 e 1 e 12 2015 绵阳模拟 已知函数 f x Error 给出如下三个命题 f x 在 上是减函数 2 f x 在 R 上恒成立 2 3 函数 y f x 图象与直线 y 有两个交点 3 其中真命题的个数为 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 二 填空题 13 2015 徐州 连云港 宿迁联考 设函数 f x Error 则 f f 1 的值为 14 2015 威海模拟 函数 f x x 1 的零点个数为 x2 2x 1 2 3 2 15 若正数 a b 满足 2 log2a 3 log3b log6 a b 则 的值为 1 a 1 b 16 2015 苏锡常镇模拟 已知函数 f x x3 4x ax 2 恰有 2 个零点 则实数 a 的取 值范围为 答案 1 解析 选 A 使函数有意义需满足Error 解得 x 1 3 4 2 解析 选 A 比较 b 与 c 考察函数 y x 0 3 5 2 5 即 b0 幂函数 y x 在第一象 2 5 3 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 限是增函数 即 a c a c b 3 5 2 5 2 5 2 5 3 解析 选 C 因为 f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 f 4 log24 b 1 0 x 1 0 1 xb 1 0 x 1 xab 1 0 x 1 logx ab 1 0 xlogb x 故 D 成立 6 解析 选 A 1 x 2 0 1 2 2 ln x x ln x x ln x x ln x2 x2 2 x ln x x ln x x ln x x ln x x ln x2 x2 7 解析 选 B 设在甲地销售 x 辆车 则在乙地销售 15 x 辆车 获得的利润为 y 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 当 x 10 2 时 y 最大 3 06 2 0 15 但 x N 所以当 x 10 时 ymax 15 30 6 30 45 6 万元 8 解析 选 B 设 g x ln x h x 2 x 3 当 0 x 1 时 h x 3 作出图象 两 函数有一个交点即一个零点 当 2 x 3 时 h x 1 ln 2 g x 1 时 y 是增函数 y 2x也是增函 1 1 x 数 所以 f x 是增函数 因为 f x0 0 且 x1x0 所以 f x1 0 11 解析 选 D 若 x1 x2是函数 f x e x ln x 的两个零点 则 x1 x2是函数 y e x和 y ln x 的图象交点的横坐标 画函数 y e x和 y ln x 的图象如图所示 由图可 得Error 即 1 ln x1x2 1 即 x1x2ln x2 所以 ln x1x2 0 得 x1x2 1 综 1 e 上 x1x2 1 1 e 12 解析 选 B 当 x 0 时 函数 f x ex x 1 显然是增函数 当 x 0 时 函数 f x x3 2x f x x2 2 且 f 0 0 所以函数在 0 上单调递增 在 上 1 322 单调递减 f x 极大值 f 由此画出函数大致图象 故 正确 2 4 2 3 13 解析 由于 f 1 4 1 故 f f 1 f log2 2 1 4 1 4 1 4 答案 2 14 解析 令 f x 0 即 x2 2x x 1 则函数 h x x2 2x 和函数 g x 1 2 3 2 1 2 x 1 的交点个数即为函数 f x 的零点个数 如图所示 h x 与 g x 有两个交点 所以函数 3 2 f x 的零点个数为 2 答案 2 15 解析 设 2 log2a 3 log3b log6 a b k 可得 a 2k 2 b 3k 3 a b 6k 所以 108 1 a 1 b a b ab 6k 2k 23k 3 答案 108 16 解析 令 f x x3 4x ax 2 0 则有 x3 4x 2 ax 可知函数 y x3 4x 与 y 2 ax 恰有 2 个交点 如图所示 此时两函数有交点 3 个 此时 a 1 或 a 1 解 得 a 1 或 a 1 而要满足两函数的图象恰好有 2 个交点 则必有 a1 答案 1 1 第三讲 导数的简单应用 一 选择题 1 2015 丰台模拟 直线 y x 4 与曲线 y x2 x 1 所围成的封闭图形的面积为 A B C D 22 3 28 3 32 3 34 3 2 设函数 f x ax2 bx c a b c R 若 x 1 为函数 f x ex的一个极值点 则下 列图象不可能为 y f x 图象的是 3 若 f x 的定义域为 R f x 2 恒成立 f 1 2 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 4 已知常数 a b c 都是实数 f x ax3 bx2 cx 34 的导函数为 f x f x 0 的解集为 x 2 x 3 若 f x 的极小值等于 115 则 a 的值是 A B C 2 D 5 81 22 1 3 5 2015 江西八校联考 已知定义域为 R 的奇函数 f x 的导函数 f x 当 x 0 时 f x 0 若 a sin 1 f sin 1 b 3f 3 c ln 3f ln 3 则下列关于 a b c 的大 f x x 小关系正确的是 A b c a B a c b C c b a D b a c 二 填空题 6 2015 乌鲁木齐市诊断 已知 a 0 函数 f x x2 2ax ex 若 f x 在 1 1 上是单调 减函数 则 a 的取值范围是 7 函数 f x x2ex在区间 a a 1 上存在极值点 则实数 a 的取值范围为 8 2015 盐城模拟 若函数 f x ln x ax2 bx a 2b 有两个极值点 x1 x2 其中 1 2 a0 且 f x2 x2 x1 则方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 三 解答题 9 已知函数 f x ln x 其中 a R 且曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线 x 4 a x 3 2 垂直于直线 y x 1 2 1 求 a 的值 2 求函数 f x 的单调区间与极值 10 2015 日照模拟 已知函数 f x cos g x ex f x 其中 e 为自然对数的底 x 2 数 1 求曲线 y g x 在点 0 g 0 处的切线方程 2 若对任意 x 不等式 g x x f x m 恒成立 求实数 m 的取值范围 2 0 3 试探究当 x 时 方程 g x x f x 的解的个数 并说明理由 4 2 11 2015 重庆高考 设函数 f x a R 3x2 ax ex 1 若 f x 在 x 0 处取得极值 确定 a 的值 并求此时曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线 方程 2 若 f x 在 3 上为减函数 求 a 的取值范围 12 已知函数 f x x ln x g x ax3 x 1 2 2 3e 1 求 f x 的单调递增区间和最小值 2 若函数 y f x 与函数 y g x 的图象在交点处存在公共切线 求实数 a 的值 答案 1 解析 选 C 因为 x 4 x2 x 1 的解为 x 1 或 x 3 所以封闭图形的面积为 S x 4 x2 x 1 dx x2 2x 3 dx x3 x2 3x 3 1 3 1 1 33 1 32 3 2 解析 选 D 设 F x f x ex 则 F x ex f x f x 因为 x 1 是 F x 的一 个极值点 所以 F 1 0 得出 f 1 f 1 0 在选项 D 中 观察图象得 f 1 0 f 1 0 所以 f 1 f 1 0 与 f 1 f 1 0 矛盾 3 解析 选 B 构造函数 F x f x 2x 则 F x f x 2 0 所以函数 F x 在定 义域上单调递增 又 F 1 f 1 2 4 所以 f x 2x 4 的解集为 1 4 解析 选 C 依题意得 f x 3ax2 2bx c 0 的解集是 2 3 于是有 3a 0 2 3 2 3 b c 18a 函数 f x 在 x 3 处取得极小值 2b 3a c 3a 3a 2 于是有 f 3 27a 9b 3c 34 115 a 81 a 2 81 2 5 解析 选 A 令 g x xf x 则 g x f x xf x 当 x 0 时 f x 0 f x x 当 x 0 时 g x 0 当 x 0 时 函数 g x 单调递增 函数 f x 是奇函数 g x xf x 为偶函数 b 3f 3 3f 3 又 1 ln 3 2 0 sin 1ln 3 sin 1 3f 3 ln 3f ln 3 sin 1 f sin 1 即 b c a 6 解析 f x ex x2 2 1 a x 2a f x 在 1 1 上单调递减 f x 0 在 1 1 上恒成立 令 g x x2 2 1 a x 2a 则Error a 3 4 答案 3 4 7 解析 函数 f x x2ex的导数为 y 2xex x2ex xex x 2 令 y 0 则 x 0 或 x 2 当 x 2 0 时 f x 单调递减 当 x 2 和 x 0 时 f x 单调递增 0 和 2 是函数的极值点 因为函数 f x x2ex在区间 a a 1 上存在极值点 所以 a 2 a 1 或 a 0 a 1 3 a 2 或 1 ax1 大致 图象如图 那么根据对应的图形 数形结合可得 f x x1有三个实根 f x x2有两个实根 故方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 5 个 答案 5 9 解 1 对 f x 求导得 f x 1 4 a x2 1 x 由 f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于直线 y x 1 2 知 f 1 a 2 解得 a 3 4 5 4 2 由 1 知 f x ln x x 4 5 4x 3 2 则 f x x2 4x 5 4x2 令 f x 0 解得 x 1 或 x 5 因 x 1 不在 f x 的定义域 0 内 故舍去 当 x 0 5 时 f x 0 故 f x 在 5 内为增函数 由此知函数 f x 在 x 5 时取得极小值 f 5 ln 5 10 解 1 依题意得 f x sin x g x ex cos x g 0 e0cos 0 1 g x excos x exsin x g 0 1 所以曲线 y g x 在点 0 g 0 处切线方程为 y x 1 2 不等式恒成立等价于对任意 x m g x x f x min 2 0 设 h x g x x f x x 2 0 则 h x excos x exsin x sin x xcos x ex x cos x ex 1 sin x 因为 x 所以 ex x cos x 0 2 0 ex 1 sin x 0 所以 h x 0 故 h x 在上单调递增 2 0 因此当 x 时 函数 h x 取得最小值 h 2 2 2 所以 m 即实数 m 的取值范围是 2 2 3 设 H x g x xf x x 4 2 当 x 时 H x ex cos x sin x sin x xcos x0 H 0 而且函数 H x 在上是连续不断的 4 2 2 e 4 4 2 2 4 2 因此 函数 H x 在上有且只有一个零点 4 2 11 解 1 对 f x 求导得 f x 6x a ex 3x2 ax ex ex 2 3x2 6 a x a ex 因为 f x 在 x 0 处取得极值 所以 f 0 0 即 a 0 当 a 0 时 f x f x 故 f 1 f 1 从而 f x 在点 1 f 1 3x2 ex 3x2 6x ex 3 e 3 e 处的切线方程为 y x 1 化简得 3x ey 0 3 e 3 e 2 由 1 知 f x 3x2 6 a x a ex 令 g x 3x2 6 a x a 由 g x 0 解得 x1 x2 6 a a2 36 6 6 a a2 36 6 当 x x1时 g x 0 即 f x 0 故 f x 为减函数 当 x1 x0 即 f x 0 故 f x 为增函数 当 x x2时 g x 0 即 f x 0 得 x 1 e f x 的单调递增区间为 1 e 又当 x 时 f x 0 则 f x 在上单调递增 1 e 1 e f x 的最小值为 f 1 e 1 e 2 f x ln x 1 g x 3ax2 1 2 设公切点的横坐标为 x0 则与 f x 的图象相切的直线方程为 y ln x0 1 x x0 与 g x 的图象相切的直线方程为 y x 2ax 3ax2 0 1 2 3 0 2 3e Error 解之得 x0ln x0 1 e 由 1 知 x 1 e a e2 6 第四讲 导数的综合应用 1 2015 上饶模拟 已知函数 f x ex mx 2 g x mx ln x 1 求函数 f x 的单调区间 2 当 m 1 时 试推断方程 是否有实数解 g x ln x x 1 2 2 已知函数 f x aln x 1 a 0 1 当 a 1 且 x 1 时 证明 f x 3 4 x 1 2 若对 x 1 e f x x 恒成立 求实数 a 的取值范围 3 2015 菏泽模拟 已知函数 f x 其中 k R e 2 718 28 是自然对数的底数 ln x k ex f x 为 f x 导函数 1 当 k 2 时 其曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若 x 0 1 时 f x 0 都有解 求 k 的取值范围 3 若 f 1 0 试证明 对任意 x 0 f x 0 上的最小值 3 若对一切的 x 0 2f x 0 上不是单调函数 求实数 t 的取值范围 t t 1 2 3 如果当 x 1 时 不等式 f x 恒成立 求实数 a 的取值范围 a x 1 答案 1 解 1 由题意可得 f x ex m 当 m 0 时 f x 0 所以当 m 0 时 函数 f x 的单调增区间为 R 当 m0 即 ex m 0 可得 x ln m 令 f x 0 时 即 ex m 0 可得 x ln m 所以当 m0 易得 g x 1 1 x 令 g x 0 可得 0 x 1 令 g x 1 故 g x 在 x 1 处取得极大值 亦即最大值 即 g x g 1 1 g x 1 令 h x ln x x 1 2 所以 h x 1 ln x x2 令 h x 0 可得 0 x e 令 h x e 故 h x 在 x e 处取得极大值 亦即最大值 h x h e 3 即证 ln x 2 0 4 x 4 4 x 1 令 m x ln x 2 4 x 1 则 m x 0 1 x 4 x 1 2 x 1 2 x x 1 2 所以 m x 在 1 上单调递增 所以 m x m 1 0 所以 ln x 2 0 4 x 1 即 f x 3 成立 4 x 1 2 由 f x x 且 x 1 e 可得 a x 1 ln x 令 h x h x x 1 ln x ln x 1 1 x ln x 2 由 1 知 ln x 1 1 0 1 x 1 x 4 x 1 x 1 2 x x 1 所以 h x 0 函数 h x 在 1 e 上单调递增 当 x 1 e 时 h x h e e 1 所以 a e 1 所以 a 的取值范围是 e 1 3 解 1 由 f x 得 f x x 0 ln x 2 ex 1 2x xln x xex 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为 f 1 1 e f 1 2 e 曲线 y f x 切线方程为 y x 1 2 e 1 e 即 y x 1 e 3 e 2 由 f x 0 得 k 令 F x 1 xln x x 1 xln x x 0 x 1 F x 0 g x e 2 1 等价于 1 x xln x0 h x 单调递增 x e 2 时 h x 0 x 单调递增 x 0 0 故 x 0 时 x ex x 1 0 即 1 ex x 1 所以 1 x xln x e 2 10 f x 恒成立 e 2 1 x2 x 4 解 1 f x 的定义域为 0 f x ln x 1 令 f x 0 得 0 x0 得 x 1 e f x 的单调递减区间是 单调递增区间为 0 1 e 1 e 2 当 0 t t 2 时 无解 1 e 当 0 t t 2 即 0 t 时 1 e 1 e 由 1 知 f x min f 1 e 1 e 当 t t 2 即 t 时 1 e 1 e f x 在区间 t t 2 上单调递增 f x min f t tln t 综上 f x min Error 3 由 2f x g x 2 得 2xln x0 a ln x x 3 2 1 2x 设 h x ln x x 3 2 1 2x 则 h x 1 x 3 2 1 2x2 3x 1 x 1 2x2 令 h x 0 得 x 1 x 舍 1 3 当 0 x0 h x 在 0 1 上单调递增 当 x 1 时 h x 2 a 的取值范围是 2 5 解 1 f x f 1 e2x 2 2x 2f 0 所以 f 1 f 1 2 2f 0 即 f 0 1 又 f 0 e 2 f 1 2 所以 f 1 2e2 所以 f x e2x x2 2x 2 f x e2x 2x x2 g x f x2 1 a x a ex x2 x x2 1 a x a ex a x 1 x 2 1 4 1 4 1 4 g x ex a 当 a 0 时 g x 0 函数 f x 在 R 上单调递增 当 a 0 时 由 g x ex a 0 得 x ln a x ln a 时 g x 0 g x 单调递增 综上 当 a 0 时 函数 g x 的单调递增区间为 当 a 0 时 函数 g x 的单 调递增区间为 ln a 单调递减区间为 ln a 3 设 p x ln x q x ex 1 a ln x e x p x e 时 p x 0 1 x 1 x2 q x 在 x 1 上为增函数 又 q 1 0 x 1 时 q x 0 q x 在 x 1 上为增函数 q x q 1 a 1 0 当 1 x e 时 p x q x p x q x ex 1 a e x 设 m x ex 1 a 则 m x ex 1 0 e x e x2 m x 在 x 1 上为减函数 m x m 1 e 1 a a 2 m x 0 p x e 时 p x q x p x q x 2ln x ex 1 a 2ln x ex 1 a e x 设 n x 2ln x ex 1 a 则 n x ex 1 2 x n x ex 1e 时为减函数 n x n e ee 1e 时为减函数 n x n e 2 a ee 1 0 p x 0 ln x x2 解 f x 0 得 0 x 1 解 f x 1 所以 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 2 因为函数 f x 在区间 t 0 上不是单调函数 所以Error 解得 t0 从而 g x 0 所以 g x 在 1 上单调递增 且 g x min g 1 2 所以 a 2 故 a 的取值范围为 2 高考大题专项练 一 函数与导数 A 组 1 2015 东北三校联考 已知实数 a 为常数 函数 f x xln x ax2 1 若曲线 y f x 在 x 1 处的切线过点 A 0 2 求实数 a 的值 2 若函数 y f x 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 求证 a 0 1 2 求证 f x1 1 2 2 2015 长沙模拟 若函数 f x 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数 且 F x 在 f x x I 上是减函数 则称 y f x 是 I 上的 单反减函数 已知 f x ln x g x 2x aln x a R 2 x 1 判断 f x 在 0 1 上是否是 单反减函数 2 若 g x 是 1 上的 单反减函数 求实数 a 的取值范围 3 2015 郑州二模 已知函数 f x ax ln x 1 其中 a 为常数 1 试讨论 f x 的单调区间 2 若 a 时 存在 x 使得不等式 f x 成立 求 b 的取值范围 1 1 e 1 e 1 2ln x bx 2x B 组 1 2015 石家庄二模 已知函数 f x ex ax 2 e 是自然对数的底数 a R 1 求函数 f x 的单调递增区间 2 若 k 为整数 a 1 且当 x 0 时 f x 1 恒成立 其中 f x 为 f x 的导函数 k x x 1 求 k 的最大值 2 2015 汕头二模 设函数 f x ax x ln x 1 若函数 f x 在 1 上为减函数 求实数 a 的最小值 2 若存在 x1 x2 e e2 使 f x1 f x2 a 成立 求实数 a 的取值范围 3 2015 宁德质检 已知函数 f x ln x a x 1 a R 1 2 1 若 a 2 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若不等式 f x 0 f 1 2a 1 即为切线斜率 切点 P 1 a 切线方程 y a 2a 1 x 1 把 0 2 代入得 a 1 2 证明 依题意 f x 0 有两个不等实根 x1 x2 x10 1 x 当 a 0 时 g x 0 所以 g x 是增函数 不符合题意 当 a0 列表如下 1 2a x 0 1 2a 1 2a 1 2a g x 0 g x 极大值 g x max g ln 0 解得 a0 故 x1 1 x2 所以 f x1 f 1 af 1 a 1 2 即 f x1 1 2 2 解 1 由于 f x ln x 在 0 1 上是增函数 且 F x f x x ln x x F x x 0 1 时 F x 0 F x 为增函数 即 f x 在 0 1 上不是 单 1 ln x x2 反减函数 2 g x 2x aln x g x 2 x 2x2 ax 2 x2 g x 是 1 上的 单反减函数 g x 0 在 1 上恒成立 g 1 0 即 a 0 又 G x 2 在 1 上是减函数 g x x 2 x2 aln x x G x 0 在 1 上恒成立 即 0 在 1 上恒成立 4 x3 a 1 ln x x2 即 ax axln x 4 0 在 1 上恒成立 令 p x ax axln x 4 则 p x aln x Error 解得 0 a 4 综上 a 的取值范围为 0 4 3 解 1 由已知得函数 f x 的定义域为 x x 1 f x a 1 x 1 ax a 1 x 1 当 a 0 时 f x 0 在定义域内恒成立 f x 的单调递增区间为 1 当 a1 1 a 当 x 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 1 1 1 a 1 a f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 1 1 1 a 1 1 a 2 由 1 知当 a 时 f x 的单调递增区间为 1 e 单调递减区间为 e 1 1 e 所以 f x max f e ln e 1 0 e 1 e 所以 f x f e ln e 1 恒成立 当 x e 时取等号 e e 1 令 g x 则 g x 2ln x bx 2x 1 ln x x2 当 1 x0 当 x e 时 g x 0 时 f x 0 恒成立 所以 f x 在区间 上单调递增 若 a 0 当 x ln a 时 f x 0 f x 在 ln a 上单调递增 综上 当 a 0 时 f x 的单调递增区间为 当 a 0 时 f x 的单调递增区间为 ln a 2 由于 a 1 所以f x 1 k x ex 1 0 时 ex 1 0 故 k x ex 1 x 1 k0 则 x 1 ex 1 g x 1 xex 1 ex 1 2 ex ex x 2 ex 1 2 函数 h x ex x 2 在 0 上单调递增 而 h 1 0 所以 h x 在 0 上存在唯一的零点 故 g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当 x 0 时 g x 0 所以 g x 在 0 上的最小值为 g 由 g 0 可得 e 2 所以 g 1 2 3 由于 式等价于 k g 故整数 k 的最大值为 2 2 2015 汕头二模 设函数 f x ax x ln x 1 若函数 f x 在 1 上为减函数 求实数 a 的最小值 2 若存在 x1 x2 e e2 使 f x1 f x2 a 成立 求实数 a 的取值范围 解 1 由已知得 x 0 x 1 因 f x 在 1 上为减函数 故 f x a 0 在 1 上恒成立 ln x 1 ln x 2 所以当 x 1 时 f x max 0 又 f x a 2 a 2 a ln x 1 ln x 2 1 ln x 1 ln x 1 ln x 1 2 1 4 故当 即 x e2时 f x max a 1 ln x 1 2 1 4 所以 a 0 于是 a 故 a 的最小值为 1 4 1 4 1 4 2 命题 若存在 x1 x2 e e2 使 f x1 f x2 a 成立 等价于 当 x e e2 时 有 f x min f x max a 由 1 当 x e e2 时 f x max a f x max a 1 4 1 4 问题等价于 当 x e e2 时 有 f x min 1 4 当 a 时 由 1 知 f x 在 e e2 上为减函数 1 4 则 f x min f e2 ae2 故 a e2 2 1 4 1 2 1 4e2 当 a 矛盾 1 4 a 0 即 0 a 由 f x 的单调性和值域知 1 4 存在唯一 x0 e e2 使 f x 0 且满足 当 x e x0 时 f x 0 f x 为增函数 所以 fmin x f x0 ax0 x0 e e2 x0 ln x0 1 4 所以 a 1 ln x0 1 4x0 1 ln e2 1 4e 1 2 1 4 1 4 与 0 a 矛盾 1 4 综上得 a 的取值范围为 1 2 1 4e2 3 2015 宁德质检 已知函数 f x ln x a x 1 a R 1 2 1 若 a 2 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若不等式 f x 0 f x 在 1 上单调递增 f x f 1 0 a 0 不合题意 ii 当 a 2 即 0 1 时 2 a f x 0 在 1 上恒成立 2 ax 2x a x 2 a 2x f x 在 1 上单调递减 有 f x f 1 0 a 2 满足题意 iii 若 0 a1 时 由 f x 0 可得 1 x 由 f x 2 a 2 a 2 a f x 在上单调递增 在上单调递减 1 2 a 2 a f f 1 0 2 a 0 a0 e 2 x x 2 e x g x 在 2 上单调递增 g e 0 当 x 2 e 时 g x 0 即 x 2 e 2 ln x ex 20 即 x 2 e 2 ln x ex 2 xe 2 综上所述 当 a 2 e 时 ea 2ae 2 专题复习检测卷 一 函数与导数 一 选择题 1 log29 log34 A B C 2 D 4 1 4 1 2 2 2015 浙江五校联考 已知函数 y f x x 是偶函数 且 f 2 1 则 f 2 A 1 B 1 C 5 D 5 3 已知 a 0 20 3 b log0 23 c log0 24 则 A a b c B a c b C b c a D c b a 4 2015 金华十校联考 已知函数 f x loga 2x b 1 的部分图象如图所示 则 a b 所 满足的关系为 A 0 b 1 a 1 B 0 a 1 b 1 C 0 b a 1 1 D 0 a 1 b 10 2 a 0 若 g x ax 1 求 a 的取值范围 20 2015 烟台二模 已知函数 f x ex g x ax2 bx c a 0 1 若 f x 的图象与 g x 的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上 且在该点处两条曲 线的切线互相垂直 求 b 和 c 的值 2 若 a c 1 b 0 试比较 f x 与 g x 的大小 并说明理由 21 2015 商丘二模 已知函数 f x ln x 1 ax2 x a R 1 当 a 时 求函数 y f x 的单调区间 1 4 2 若对任意实数 b 1 2 当 x 1 b 时 函数 f x 的最大值为 f b 求 a 的取值范 围 22 2015 济宁模拟 已知函数 f x ex ax a 其中 a R e 是自然对数的底数 e 2 718 28 1 当 a e 时 求函数 f x 的极值 2 当 0 a 1 时 求证 f x 0 3 求证 对任意正整数 n 都有 0 b 0 clog0 24 所以 a b c 4 解析 选 B 因为 u x 2x b 1 是增函数 且函数 f x loga 2x b 1 的图象呈上 升趋势 所以 a 1 又由图象知 1 f 0 0 所以 1 logab 0 a 1 b 1 5 解析 选 C 法一 当 x 3 和 x 5 时 函数均没有意义 故可以排除选项 B D 当 x 4 时 函数有意义 可排除选项 A 故选 C 法二 由Error 得Error 故函数定义域为 2 3 3 4 6 解析 选 B 由函数 f x 是定义在 R 上的增函数 故函数 f x 的图象在 0 上 是增函数 在 0 上是减函数 f x 1 是函数 f x 的图象向右平移 1 个单位 由此可 得函数 y f x 1 1 的图象在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 观察图象 可知选 B 7 解析 选 B 当 x 0 时 F x f x x 即 F x x2 x 有两个零点为 0 1 又 F x f x x 是 R 上的奇函数 所以当 x0 y 为单调函数 所以函数在区间有极值点 即 a x 1 e e f f e 0 代入解得 1 ae 0 a2 a 1 0 a e 0 解得 1 e 1 a e e 1 e a 1 e e a0 f x ln x 1 2ax 由于函数 f x 有两个极值点 则 f x 0 有两个不等的正根 显然 a 0 时不合题意 必有 a 0 令 g x ln x 1 2ax g x 2a 令 g x 0 得 x 故 g x 在上单调递增 在 1 x 1 2a 0 1 2a 上单调递减 所以 g x 在 x 处取得极大值 即 f ln 0 所以 0 a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 2 13 解析 y f x xex f x 1 x ex 令 f x 0 x 1 此时 f 1 1 e 函数 y xex在其极值点处的切线方程为 y 1 e 答案 y 1 e 14 解析 f x aln x x f x 1 a x 又 f x 在 2 3 上单调递增 1 0 在 x 2 3 上恒成立 a x a x max 2 a 2 答案 2 15 解析 依题 f x 2ax b 所以不等式 f x f x 恒成立 等价于 ax2 bx 2a 2ax b 即 ax2 b 2a x 2a b 0 恒成立 则Error 解得 4 即的最大 b2 a2 b2 a2 值为 4 答案 4 16 解析 由题可知 y 2f x 的函数是一个复合函数 所以 f x 的单调性与函数 y 的 单调性一致 y 2f x 的图象经过点 0 1 和点 2 1 将点的坐标代入 于是有 1 2f 0 1 2f 2 解得 f 0 0 f 2 0 即当 x0 当 2 x 时 f x 0 时 f x 的单调递减区间是 3m m 若 f x 在区间 2 3 上是减函数 则Error 解得 m 3 当 m0 f x 单调递增 2k 4 2k 3 4 x f x 0 f x 单调递减 2k 3 4 2k 7 4 函数 f x 的单调递增区间为 k Z 函数 f x 的单调递减区间为 2k 4 2k 3 4 k Z 2k 3 4 2k 7 4 2 令 g x f x kx exsin x kx 即 g x 0 恒成立 而 g x ex sin x cos x k 令 h x ex sin x cos x h x ex sin x cos x ex cos x sin x 2excos x x h x 0 h x 在上单调递增 1 h x e 0 2 0 2 2 当 k 1 时 g x 0 g x 在上单调递增 g x g 0 0 符合题意 0 2 当 k e 时 g x 0 g x 在上单调递减 g x g 0 0 与题意不合 2 0 2 当 1 k e 时 g x 为一个单调递增的函数 而 g 0 1 k0 2 2 2 由零点存在性定理 必存在一个零点 x0 使得 g x0 0 当 x 0 x0 时 g x 0 从而 g x 在 x 0 x0 上单调递减 从而 g x g 0 与题意不合 综上所述 k 的取值范围为 1 19 解 1 令 p x f x ex x 1 p x ex 1 在 1 0 内 p x 0 p x 单调递减 在 0 内 p x 0 p x 单调递增 所以 p x 的最小值为 p 0 0 即 f x 0 所以 f x 在 1 内单调递增 即 f x f 1 0 2 令 h x g x ax 1 则 h x e x a 2 x 1 令 q x e x a q x 2 x 1 1 ex 2 x 1 2 由 1 得 q x 0 则