反比例函数压轴难题

第 1 页 共 15 页 中考压轴题反比例函数中考压轴题反比例函数 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2015 邵阳 如图 已知直线 y x k 和双曲线 y k 为正整数 交于 A B 两点 1 当 k 1 时 求 A B 两点的坐标 2 当 k 2 时 求 AOB 的面积 3 当 k 1 时 OAB 的面积记为 S1 当 k 2 时 OAB 的面积记为 S2 依此类推 当 k n 时 OAB 的面积记为 Sn 若 S1 S2 Sn 求 n 的值 2 2015 宁波 如图 1 点 P 为 MON 的平分线上一点 以 P 为顶点的角的两边分别与 射线 OM ON 交于 A B 两点 如果 APB 绕点 P 旋转时始终满足 OA OB OP2 我们就 把 APB 叫做 MON 的智慧角 1 如图 2 已知 MON 90 点 P 为 MON 的平分线上一点 以 P 为顶点的角的两边分 别与射线 OM ON 交于 A B 两点 且 APB 135 求证 APB 是 MON 的智慧角 2 如图 1 已知 MON 0 90 OP 2 若 APB 是 MON 的智慧角 连结 AB 用含 的式子分别表示 APB 的度数和 AOB 的面积 3 如图 3 C 是函数 y x 0 图象上的一个动点 过 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴于 A B 两点 且满足 BC 2CA 请求出 AOB 的智慧角 APB 的顶点 P 的坐标 3 2015 梅州 如图 过原点的直线 y k1x 和 y k2x 与反比例函数 y 的图象分别交于两 点 A C 和 B D 连接 AB BC CD DA 1 四边形 ABCD 一定是 四边形 直接填写结果 2 四边形 ABCD 可能是矩形吗 若可能 试求此时 k1 k2之间的关系式 若不能 说 明理由 第 2 页 共 15 页 3 设 P x1 y1 Q x2 y2 x2 x1 0 是函数 y 图象上的任意两点 a b 试判断 a b 的大小关系 并说明理由 4 2015 黄石 已知双曲线 y x 0 直线 l1 y k x k 0 过定点 F 且 与双曲线交于 A B 两点 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 直线 l2 y x 1 若 k 1 求 OAB 的面积 S 2 若 AB 求 k 的值 3 设 N 0 2 P 在双曲线上 M 在直线 l2上且 PM x 轴 求 PM PN 最小值 并 求 PM PN 取得最小值时 P 的坐标 参考公式 在平面直角坐标系中 若 A x1 y1 B x2 y2 则 A B 两点间的距离为 AB 5 2015 威海 如图 1 直线 y k1x 与反比例函数 y k 0 的图象交于点 A B 直线 y k2x 与反比例函数 y 的图象交于点 C D 且 k1 k2 0 k1 k2 顺次连接 A D B C AD BC 分别交 x 轴于点 F H 交 y 轴于点 E G 连接 FG EH 1 四边形 ADBC 的形状是 2 如图 2 若点 A 的坐标为 2 4 四边形 AEHC 是正方形 则 k2 第 3 页 共 15 页 3 如图 3 若四边形 EFGH 为正方形 点 A 的坐标为 2 6 求点 C 的坐标 4 判断 随着 k1 k2取值的变化 四边形 ADBC 能否为正方形 若能 求点 A 的坐标 若不能 请简要说明理由 6 2015 咸宁 如图 1 已知直线 y x 3 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 将直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 得到一个新函数的图象 图中的 V 形折线 1 类比研究函数图象的方法 请列举新函数的两条性质 并求新函数的解析式 2 如图 2 双曲线 y 与新函数的图象交于点 C 1 a 点 D 是线段 AC 上一动点 不包括端点 过点 D 作 x 轴的平行线 与新函数图象交于另一点 E 与双曲线交于点 P 试求 PAD 的面积的最大值 探索 在点 D 运动的过程中 四边形 PAEC 能否为平行四边形 若能 求出此时点 D 的坐标 若不能 请说明理由 7 2015 常州 如图 反比例函数 y 的图象与一次函数 y x 的图象交于点 A B 点 B 的横坐标是 4 点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点 且在直线 AB 的上方 1 若点 P 的坐标是 1 4 直接写出 k 的值和 PAB 的面积 2 设直线 PA PB 与 x 轴分别交于点 M N 求证 PMN 是等腰三角形 3 设点 Q 是反比例函数图象上位于 P B 之间的动点 与点 P B 不重合 连接 AQ BQ 比较 PAQ 与 PBQ 的大小 并说明理由 第 4 页 共 15 页 8 2015 玉林 已知 一次函数 y 2x 10 的图象与反比例函数 y k 0 的图象相交 于 A B 两点 A 在 B 的右侧 1 当 A 4 2 时 求反比例函数的解析式及 B 点的坐标 2 在 1 的条件下 反比例函数图象的另一支上是否存在一点 P 使 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形 若存在 求出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理 由 3 当 A a 2a 10 B b 2b 10 时 直线 OA 与此反比例函数图象的另一支交于 另一点 C 连接 BC 交 y 轴于点 D 若 求 ABC 的面积 9 2015 漳州 理解 数学兴趣小组在探究如何求 tan15 的值 经过思考 讨论 交流 得到以下思路 思路一 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 ABC 30 延长 CB 至点 D 使 BD BA 连 接 AD 设 AC 1 则 BD BA 2 BC tanD tan15 2 思路二 利用科普书上的和 差 角正切公式 tan 假设 60 45 代入差角正切公式 tan15 tan 60 45 2 第 5 页 共 15 页 思路三 在顶角为 30 的等腰三角形中 作腰上的高也可以 思路四 请解决下列问题 上述思路仅供参考 1 类比 求出 tan75 的值 2 应用 如图 2 某电视塔建在一座小山上 山高 BC 为 30 米 在地平面上有一点 A 测得 A C 两点间距离为 60 米 从 A 测得电视塔的视角 CAD 为 45 求这座电 视塔 CD 的高度 3 拓展 如图 3 直线 y x 1 与双曲线 y 交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 将直 线 AB 绕点 C 旋转 45 后 是否仍与双曲线相交 若能 求出交点 P 的坐标 若不能 请 说明理由 10 2014 枣庄 如图 一次函数 y ax b 与反比例函数 y 的图象交于 A B 两点 点 A 坐标为 m 2 点 B 坐标为 4 n OA 与 x 轴正半轴夹角的正切值为 直线 AB 交 y 轴于点 C 过 C 作 y 轴的垂线 交反比例函数图象于点 D 连接 OD BD 1 求一次函数与反比例函数的解析式 2 求四边形 OCBD 的面积 11 2014 徐州 如图 将透明三角形纸片 PAB 的直角顶点 P 落在第四象限 顶点 A B 分别落在反比例函数 y 图象的两支上 且 PB x 于点 C PA y 于点 D AB 分别与 x 轴 y 轴相交于点 E F 已知 B 1 3 第 6 页 共 15 页 1 k 2 试说明 AE BF 3 当四边形 ABCD 的面积为时 求点 P 的坐标 12 2014 淮安 如图 点 A 1 6 和点 M m n 都在反比例函数 y x 0 的图 象上 1 k 的值为 2 当 m 3 求直线 AM 的解析式 3 当 m 1 时 过点 M 作 MP x 轴 垂足为 P 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B 试判 断直线 BP 与直线 AM 的位置关系 并说明理由 13 2014 泰州 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 分别在函数 y1 x 0 与 y2 x 0 的图象上 A B 的横坐标分别为 a b 1 若 AB x 轴 求 OAB 的面积 2 若 OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形 且 a b 0 求 ab 的值 第 7 页 共 15 页 3 作边长为 3 的正方形 ACDE 使 AC x 轴 点 D 在点 A 的左上方 那么 对大于或 等于 4 的任意实数 a CD 边与函数 y1 x 0 的图象都有交点 请说明理由 14 2014 泉州 如图 直线 y x 3 与 x y 轴分别交于点 A B 与反比例函数的图象交 于点 P 2 1 1 求该反比例函数的关系式 2 设 PC y 轴于点 C 点 A 关于 y 轴的对称点为 A 求 A BC 的周长和 sin BA C 的值 对大于 1 的常数 m 求 x 轴上的点 M 的坐标 使得 sin BMC 15 2014 春 慈溪市期末 如图 直线 y x 1 与 x y 轴分别交于 A B 两点 P a b 为双曲线 y x 0 上的一动点 PM x 轴与 M 交线段 AB 于 F PN y 轴于 N 交 线段 AB 于 E 1 求 E F 两点的坐标 用 a b 的式子表示 2 当 a 时 求 EOF 的面积 3 当 P 运动且线段 PM PN 均与线段 AB 有交点时 探究 BE EF FA 这三条线段是否能组成一个直角三角形 说明理由 EOF 的大小是否会改变 若不变 求出 EOF 的度数 若会改变 请说明理由 16 2014 秋 渝中区校级月考 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD E 是 BC 上一点 AED 90 AB 6 SIN AEB 矩形 ABCD 的点 B 与 O 重合 BC 在 x 轴上 现有一张硬纸片 MGN MGN 90 点 M 在 x 轴上 点 G 在 ED 上 NG 3 N 与 E 重 合 现将 MGN 以每秒 1 个单位的速度沿 EB 方向在 x 轴上匀速移动 同时 点 P 从 A 点 出发 以每秒 1 个单位的速度沿 AD 方向向点 D 匀速移动 点 Q 为直线 GN 与线段 AE 的 交点 连接 QP 当点 P 到达终点 D 时 MGN 和点 P 同时停止运动 设运动时间 x 秒 第 8 页 共 15 页 1 若反比例函数的图象经过点 D 求该反比例函数的解析式 2 在整个运动过程中 设 MGN 与 ABE 重叠部分的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 3 在整个运动过程中 是否存在点 P 使 APQ 为等腰三角形 若存在 求出 x 的值 若不存在 说明理由 17 2013 湖州 如图 O 为坐标原点 点 B 在 x 轴的正半轴上 四边形 OACB 是平 行四边形 sin AOB 反比例函数 y k 0 在第一象限内的图象经过点 A 与 BC 交于点 F 1 若 OA 10 求反比例函数解析式 2 若点 F 为 BC 的中点 且 AOF 的面积 S 12 求 OA 的长和点 C 的坐标 3 在 2 中的条件下 过点 F 作 EF OB 交 OA 于点 E 如图 点 P 为直线 EF 上的一个动点 连接 PA PO 是否存在这样的点 P 使以 P O A 为顶点的三角形是直 角三角形 若存在 请直接写出所有点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 18 2013 镇江 通过对苏科版八 下 教材一道习题的探索研究 我们知道 一次函数 y x 1 的图象可以由正比例函数 y x 的图象向右平移 1 个单位长度得到类似的 函数 的图象是由反比例函数的图象向左平移 2 个单位长度得 到 灵活运用这一知识解决问题 如图 已知反比例函数的图象 C 与正比例函数 y ax a 0 的图象 l 相交于点 A 2 2 和点 B 1 写出点 B 的坐标 并求 a 的值 2 将函数的图象和直线 AB 同时向右平移 n n 0 个单位长度 得到的图象分别 记为 C 和 l 已知图象 C 经过点 M 2 4 第 9 页 共 15 页 求 n 的值 分别写出平移后的两个图象 C 和 l 对应的函数关系式 直接写出不等式的解集 19 2013 义乌市 如图 1 所示 已知 y x 0 图象上一点 P PA x 轴于点 A a 0 点 B 坐标为 0 b b 0 动点 M 是 y 轴正半轴上 B 点上方的点 动点 N 在射线 AP 上 过点 B 作 AB 的垂线 交射线 AP 于点 D 交直线 MN 于点 Q 连接 AQ 取 AQ 的中点为 C 1 如图 2 连接 BP 求 PAB 的面积 2 当点 Q 在线段 BD 上时 若四边形 BQNC 是菱形 面积为 2 求此时 P 点的坐标 3 当点 Q 在射线 BD 上时 且 a 3 b 1 若以点 B C N Q 为顶点的四边形是平行 四边形 求这个平行四边形的周长 20 2013 盐城模拟 如图 1 已知点 A a 0 B 0 b 且 a b 满足 ABCD 的边 AD 与 y 轴交于点 E 且 E 为 AD 中点 双曲线 经过 C D 两点 1 求 k 的值 2 点 P 在双曲线上 点 Q 在 y 轴上 若以点 A B P Q 为顶点的四边形是平行 四边形 试求满足要求的所有点 P Q 的坐标 第 10 页 共 15 页 3 以线段 AB 为对角线作正方形 AFBH 如图 3 点 T 是边 AF 上一动点 M 是 HT 的 中点 MN HT 交 AB 于 N 当 T 在 AF 上运动时 的值是否发生改变 若改变 求 出其变化范围 若不改变 请求出其值 并给出你的证明 21 2013 成都模拟 在平面直角坐标系中 函数 y m 0 的图象经过点 A 1 4 B a b 其中 a 1 过点 A 作 x 轴的垂线 垂足为 C 过点 B 作 y 轴的垂线 垂足为 D AC 与 BD 相交于点 M 连接 AB AD BC CD 1 求 m 的值 2 求证 CD AB 3 当 AD BC 时 求直线 AB 的函数解析式 22 2013 柳州模拟 如图 在平面直角坐标系中 直线 y kx 和双曲线在第一象 限相交于点 A 1 2 点 B 在 y 轴上 且 AB y 轴 有一动点 P 从原点出发沿 y 轴以每 秒 1 个单位的速度向 y 轴的正方向运动 运动时间为 t 秒 t 0 过点 P 作 PD y 轴 交 直线 OA 于点 C 交双曲线于点 D 1 求直线 y kx 和双曲线的函数关系式 第 11 页 共 15 页 2 设四边形 CDAB 的面积为 S 当 P 在线段 OB 上运动时 P 不与 B 点重合 求 S 与 t 之间的函数关系式 3 在图中第一象限的双曲线上是否存在点 Q 使以 A B C Q 四点为顶点的四边形 是平行四边形 若存在 请求出此时 t 的值和 Q 点的坐标 若不存在 请说明理由 23 2013 秋 江岸区校级月考 如图 一次函数 y ax b 与反比例函数 y x 0 的图 象交于点 A B 与 x y 轴交于 C D 且满足 a 2 0 1 求反比例函数解析式 2 当 AB BC 时 求 b 的值 3 如图 2 当 b 2时 连 OA 将 OA 绕点 O 逆时针旋转 60 使点 A 与点 P 重合 以点 P 为顶点作 MPN 60 分别交直线 AB 和 x 轴于点 M N 求证 PM 平分 AMN 24 2012 北海 如图 在平面直角坐标系中有 Rt ABC A 90 AB AC A 2 0 B 0 1 C d 2 1 求 d 的值 2 将 ABC 沿 x 轴的正方向平移 在第一象限内 B C 两点的对应点 B C 正好落在某 反比例函数图象上 请求出这个反比例函数和此时的直线 B C 的解析式 3 在 2 的条件下 直线 BC 交 y 轴于点 G 问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数 图象上的点 P 使得四边形 PGMC 是平行四边形 如果存在 请求出点 M 和点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 第 12 页 共 15 页 25 2012 泰州 如图 已知一次函数 y1 kx b 图象与 x 轴相交于点 A 与反比例函数 的图象相交于 B 1 5 C d 两点 点 P m n 是一次函数 y1 kx b 的图 象上的动点 1 求 k b 的值 2 设 1 m 过点 P 作 x 轴的平行线与函数的图象相交于点 D 试问 PAD 的 面积是否存在最大值 若存在 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 3 设 m 1 a 如果在两个实数 m 与 n 之间 不包括 m 和 n 有且只有一个整数 求实数 a 的取值范围 26 2012 淄博 如图 正方形 AOCB 的边长为 4 反比例函数的图象过点 E 3 4 1 求反比例函数的解析式 2 反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D 直线过点 D 与线段 AB 相交于 点 F 求点 F 的坐标 3 连接 OF OE 探究 AOF 与 EOC 的数量关系 并证明 27 2012 广安模拟 如图所示 在同一直角坐标系 xOy 中 有双曲线 直线 y2 k2x b1 y3 k3x b2 且点 A 2 5 点 B 6 n 在双曲线的图象上 1 求 y1和 y2的解析式 2 若 y3与直线 x 4 交于双曲线 且 y3 y2 求 y3的解析式 第 13 页 共 15 页 3 直接写出的解集 28 2012 南安市质检 如图 已知双曲线 k 为常数 与直线 l 相交于 A B 两 点 第一象限内的点 M 点 M 在 A 的左侧 是双曲线上的一动点 设直线 AM BM 分别与 y 轴交于 P Q 两点