高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题 考点预测和题型解析考点预测和题型解析 在高考中 离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本 上 有时也依赖于历年的高考真题 资料中的典型题例为背景 涉及主要问题 有 产品检验问题 射击 投篮问题选题 选课 做题 考试问题 试验 游 戏 竞赛 研究性问题 旅游 交通问题 摸球球问题 取卡片 数字和入座 问题 信息 投资 路线等问题 属于基础题或中档题的层面 高考中一定要 尽量拿满分 考题预测考题预测 离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有 产品检验问题 射击 投篮问题选题 选课 做题 考试问题 试验 游戏 竞赛 研究性问题 旅 游 交通问题 摸球球问题 取卡片 数字和入座问题 信息 投资 路线等 问题 从近几年高考试题看 离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数 方程 数列 不等式 导数 线性规划等知识主要考查能力 复习建议复习建议 1 学习概率与统计的关键是弄清分布列 期望和方差在统计中的作用 离散型随机变量的分布列的作用是 1 可以了解随机变量的所有可能取值 2 可以了解随机变量的所有取值的概率 3 可以计算随机变量在某一范围内取值的概率 2 离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律 3 离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值 是描 述随机变量集中趋势的一个特征数 4 离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中 与分散程度 知识点回顾知识点回顾 1 离散型随机变量的期望 1 若离散型随机变量的概率分布为 1 x 2 x n x P 1 p 2 p n p 则称为的数学期望 平均值 均值 nnp xpxpxE 2211 简称为期望 期望反映了离散型随机变量的平均水平 是一个实数 由的分布列唯一确定 E 随机变量是可变的 可取不同值 是不变的 它描述取值的平均状态 E 2 期望的性质 CCE 为常数 C baEbaE 为常数 ba 若 则 pnB npE 二项分布 若 则 pkg p E 1 几何分布 2 离散型随机变量的方差 1 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为 21 n xxx 321n pppp 则称 为 2 2 21 2 1 pExpExD nn pEx 2 的方差 反映随机变量取值的稳定与波动 反映随机变量取值的集中与离散的程度 是一个实数 由的分布列唯一确定 D 越小 取值越集中 越大 取值越分散 D D 的算术平均数叫做随机变量的标准差 D D 记作 注 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平 当水平相近时 再 用方差比较两个类似事件的稳定程度 2 方差的性质 0 CD为常数 C DabaD 2 为常数 ba 若 则 pnB npqD pq 1其中 二项分布 若 则 pkg 2 p q D pq 1其中 几何分布 22 EED 考点预测考点预测 根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测 考点考点 1 产品检验问题 产品检验问题 例例 1 已知 甲盒子内有 3 个正品元件和 4 个次品元件 乙盒子内有 5 个正品元件和 4 个次品元件 现从两个盒子内各取出 2 个元件 试求 取得的 4 个元件均为正品的概率 取得正品元件个数的数学期望 分析及解分析及解 I 从甲盒中取两个正品的概率为 P A 7 1 2 7 2 3 C C 从乙盒中取两个正品的概率为 P B 4 分 18 5 2 9 2 5 C C A 与 B 是独立事件 P A B P A P B 126 5 II 的分布列为 01234 P 126 6 126 32 126 53 126 30 126 5 12 分 63 124 126 5 4 126 30 3 126 53 2 126 32 1 126 6 0 E 例例 2 某车间在三天内 每天生产 10 件某产品 其中第一天 第二天分别生产出了 1 件 2 件次品 而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查 若发现有次品 则当天的产品不能通过 I 求第一天通过检查的概率 II 求前两天全部通过检查的概率 III 若厂内对车间生产的产品采用记分制 两天全不通过检查得 0 分 通过 1 天 2 天分别得 1 分 2 分 求该车间在这两天内得分的数学期望 分析及解分析及解 I 随意抽取 4 件产品检查是随机事件 而第一天有 9 件正品 第一天通过检查的概率为 5 3 4 10 4 9 1 C C P II 同 I 第二天通过检查的概率为 3 1 4 10 4 8 2 C C P 因第一天 第二天是否通过检查相互独立 所以 两天全部通过检查的概率为 5 1 3 1 5 3 21 PPP II 记得分为 则 的值分别为 0 1 2 15 4 3 2 5 2 0 P 15 8 5 2 3 1 3 2 5 3 1 P 5 1 3 1 5 3 2 P 因此 15 14 5 1 2 15 8 1 15 4 0 E 考点 2 比赛问题 例例 3 A B 两队进行篮球决赛 共五局比赛 先胜三局者夺冠 且比赛结束 根据以往 成绩 每场中 A 队胜的概率为 设各场比赛的胜负相互独立 3 2 1 求 A 队夺冠的概率 2 设随机变量 表示比赛结束时的场数 求 E 分析及解分析及解 1 A 队连胜 3 场的概率为 3 1 3 2 P 打 4 场胜 3 场的概率为 332 32 3 2 3 2 3 1 3 2 CP 打 5 场胜 3 场的概率为 3 2 3 2 3 1 3 2 4232 43 CP 又以上事件是互斥的 A 队获胜的概率为 P P1 P2 P3 81 64 2 A 队连胜 3 场或 B 队连胜 3 场 3 1 3 1 3 2 3 33 P 27 10 3 1 3 2 3 2 4 31 3 3 CP 27 8 3 2 3 1 5 222 4 CP 27 107 27 8 5 27 10 4 3 1 3 E 例例 4 两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则 即先胜三局的队获胜 比赛到此也就 结束 假设按原定队员组合 较强队每局取胜的概率为 0 6 若前四局出现 2 比 2 的平 局情况 较强队就换人重新组合队员 则其在决赛局中获胜的概率为 0 7 设比赛结束 时的局数为 求的概率分布 求 E 分析及解分析及解 3 4 5 2800 0 4 06 0 3 33 P 3744 0 4 04 06 06 06 0 4 21 3 22 3 CCP 3456 0 3 04 06 04 06 0 5 222 4 222 4 CCP 的概率分布为 345 P0 28000 37440 3456 E 3 0 2800 4 0 3744 5 0 3456 4 0656 考点 3 射击 投篮问题 例例 5 甲 乙两人各射击 1 次 击中目标的概率分别是和 假设两人射击是否击中 3 2 4 3 标 相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目标 相互之间没有影响 1 甲射击 4 次 至少有一次未击中目标的概率 2 求两人各射击 4 次 甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率 3 假设某人连续 2 次未击中目标 则中止其射击 问 乙恰好射击 5 次后 被中止 射击的概率是多少 分析及解分析及解 1 甲至少一次未击中目标的概率 P1是 81 65 3 1 3 2 1 0 1 4 3 2 1 04 444441 PPPPPP 2 甲射击 4 次恰击中 2 次概率为 27 8 3 1 3 2 222 42 CP 乙射击 4 次恰击中 3 次概率为 64 27 4 1 4 3 33 43 CP 由乘法公式得 8 1 64 27 27 8 32 PPP 3 乙恰好 5 次停止射击 则最后两次未击中 前三次或都击中或第一与第二次恰有 一次击中 第三次必击中 故所求概率为 1024 45 4 1 4 3 4 1 4 3 321 2 23 CP 例例 6 甲 乙两人玩投篮游戏 规则如下 两人轮流投篮 每人至多投 2 次 甲先投 若有人投中即停止投篮 结束游戏 已知甲每次投中的概率为 乙每次投中的概率 4 1 为求 3 1 1 乙投篮次数不超过 1 次的概率 2 记甲 乙两人投篮次数和为 求 的分布列和数学期望 分析及解分析及解 记 甲投篮投中 为事件 A 乙投篮投中 为事件 B 解法一 乙投篮次数不超过 1 次 包括三种情况 一种是甲第 1 次投篮投中 另一种 是甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中 再一种是甲 乙第 1 次投篮均未投中而 甲第 2 次投篮投中 所求的概率是 P P A ABABA ABAPBAPAP APBPAPBPAPAP 8 5 4 1 3 2 4 3 3 1 4 3 4 1 答 乙投篮次数不超过 1 次的概率为 8 5 解法二 乙投篮次数不超过 1 次 的对立事件是 乙投篮 2 次 所以 所求的概率 是 1ABAPP 1APBPAP 8 5 4 3 3 2 4 3 1 答 乙投篮次数不超过 1 次的概率为 8 5 2 甲 乙投篮总次数 的取值 1 2 3 4 8 1 4 1 3 2 4 3 3 4 1 3 1 4 3 2 4 1 1 APBPAPABAPP BPAPBAPP APP 8 3 4 3 3 2 4 3 4 APBPAPABAPP 甲 乙投篮次数总和 的分布列为 1 2 3 4 P 4 1 4 1 8 1 8 3 甲 乙投篮总次数 的数学期望为 8 21 8 3 4 8 1 3 4 1 2 4 1 1 E 答 甲 乙投篮次数总和 的数学期望为 8 21 考点 4 选题 选课 做题 考试问题 例例 7 甲乙两人独立解某一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为 0 6 被甲或乙解 出的概率为 0 92 求 1 求该题被乙独立解出的概率 2 求解出该题的人数 的数学期望和方差 分析及解分析及解 1 记甲 乙分别解出此题的事件记为 A B 设甲独立解出此题的概率为 P1 乙独立解出此题的概率为 P2 则 P A P1 0 6 P B P2 P A B 1 P BA 1 1 P1 1 P2 P1 P2 P1 P2 0 92 0 6 P2 0 6P2 0 92 则 0 4P2 0 32 即 P2 0 8 2 P 0 P P 0 4 0 2 0 08AB P 1 P A P P P B 0 6 0 2 0 4 0 8 0 44BA P 2 P A P B 0 6 0 8 0 48 的概率分布为 012 P0 080 440 48 E 0 0 08 1 0 44 2 0 48 0 44 0 96 1 4D 0 1 4 2 0 08 1 1 4 2 0 44 2 1 4 2 0 48 0 1568 0 0704 0 1728 0 4 解出该题的人数 的数学期望为 1 4 方差为 0 4 例例 8 某大学开设甲 乙 丙三门选修课 学生是否选修哪门课互不影响 已知某学生只 选修甲的概率为 0 08 只选修甲和乙的概率是 0 12 至少选修一门的概率是 0 88 用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 记 函数为 R 上的偶函数 为事件 A 求事件 A 的概率 xxxf 2 求的分布列和数学期望 分析及解分析及解 设该学生选修甲 乙 丙的概率分别为 x y z 依题意得 5 0 6 0 4 0 88 0 1 1 1 1 12 0 1 08 0 1 1 z y x zyx zxy zyx 解得 I 若函数为 R 上的偶函数 则 0 xxxf 2 当 0 时 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 1 1 1 0 zyxxyzPAP 0 4 0 5 0 6 1 0 4 1 0 5 1 0 6 0 24 事件 A 的概率为 0 24 II 依题意知 0 2 则的分布列为 02 P0 240 76 的数学期望为 E 0 0 24 2 0 76 1 52 考点 5 试验 游戏 竞赛 研究性问题 例例 9 某家具城进行促销活动 促销方案是 顾客每消费满 1000 元 便可以获得奖券一 张 每张奖券中奖的概率为 若中奖 则家具城返还顾客现金 1000 元 某顾客购 5 1 买一张价格为 3400 元的餐桌 得到 3 张奖券 设该顾客购买餐桌的实际支出为 元 I 求 的所有可能取值 II 求 的分布列 III 求 的期望 E 分析及解分析及解 解法一 I 的所有可能取值为 3400 2400 1400 400 II 125 48 5 4 5 1 2400 125 64 5 4 3400 21 3 3 CPP 125 1 5 1 400 125 12 5 4 5 1 1400 33 5 22 3 CPCP 的分布列为 3400 2400 1400 400 P 125 64 125 48 125 12 125 1 III 2800 125 1 400 125 12 1400 125 48 2400 125 64 3400 E 解法二 设该顾客中奖奖券 张 则 5 1 3 10003400B II 125 64 5 4 0 3400 3 PP 125 1 5 1 3 400 125 12 5 4 5 1 2 1400 125 48 5 4 5 1 1 2400 33 3 22 3 21 3 CPP CPP CPP III 2800 5 3 1000340010003400 EE 6 1 2 1 1 3 1 6 P 6 1 2 1 3 1 9 P 所以 的数学期望 E 0 P 0 6 P 3 9 9 2 5 由于按先 A 后 B 或先 B 后 A 的次序答题 获得奖金期望值的大小相等 故获得奖金 期 望值的大小与答题顺序无关 例例 10 某小组有 7 个同学 其中 4 个同学从来没有参加过天文研究性学习活动 3 个同学曾经参加过天文研究性学习活动 1 现从该小组中随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动 求恰好选到 1 个曾经参 加过天文研究性学习活动的同学的概率 2 若从该小组随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动 则活动结束后 该小组没 有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量 求随机变量的分 布列及数学期望 E 分析及解分析及解 记 恰好选到 12 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学 为事件 A 则其概率为 7 4 2 7 1 3 1 4 C CC AP 随机变量 2 3 4 P 2 P 3 7 2 2 7 2 4 C C 7 4 2 7 1 3 1 4 C CC P 4 随机变量的分布列为 7 1 2 7 2 3 C C 234 P 7 2 7 4 7 1 E 2 3 4 7 2 7 4 7 1 7 20 考点考点 6 旅游 交通问题 旅游 交通问题 例例 11 春节期间 小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩 每位朋友在每 一个景点下车的概率均为 用表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数 求 3 1 随机变量的分布列 随机变量的期望 分析及解分析及解 解法一 I 的所有可能值为 0 1 2 3 4 由等可能性事件的概率公式得 81 8 3 2 3 27 8 3 2 2 81 32 3 2 1 81 16 3 2 0 4 3 4 4 22 4 4 31 44 C P C P C PP 81 1 3 1 4 4 P 从而的分布列为 01234 P 81 16 81 32 27 8 81 8 81 1 II 由 I 得的期望为 3 4 81 1 4 81 8 3 27 8 2 81 32 1 81 16 0 E 解法二 I 考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验 这是 4 次独立重复试 验 4 3 2 1 0 3 2 3 1 3 1 4 4 4 kCkP B kkk 即有故 解法三 II 由对称性与等可能性 在三个景点任意一个景点下车的人数同分布 故期望值相等 3 4 43 EE从而即 例例 12 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路 每个旅游团任选其中一条 1 求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 2 求恰有 2 条线路没有被选择的概率 3 求选择甲线路旅游团数的期望 分析及解分析及解 1 3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为 P1 8 3 43 3 4 A 2 恰有两条线路没有被选择的概率为 P2 16 9 43 2 2 2 3 2 4 ACC 3 设选择甲线路旅游团数为 则 0 1 2 3 P 0 P 1 64 27 4 3 3 3 64 27 4 3 3 21 3 C P 2 P 3 64 9 4 3 3 1 3 C 64 1 43 3 3 C 的分布列为 期望 E 0 64 27 1 64 27 2 3 64 9 64 1 4 3 考点 7 摸球问题 例例 13 甲盒有标号分别为 1 2 3 的 3 个红球 乙盒有标号分别为 1 2 n n 2 的 n 个黑球 从甲 乙两盒中各抽取一个小球 抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率 为 12 1 1 求 n 的值 2 现从甲 乙两盒各随机抽取 1 个小球 抽得红球的得分为其标号数 抽得黑球 若标号数为奇数 则得分为 1 若标号数为偶数 则得分为零 设被抽取的 2 个 小球得分之和为 求的数学期望 E 分析及解分析及解 1 由得 n 4 12 11 3 1 n 2 甲盒 乙盒 是被抽取的 2 个小球得分之和 则有 P 1 6 1 4 2 3 1 P 2 6 2 4 2 3 1 4 2 3 1 P 3 6 2 4 2 3 1 4 2 3 1 P 4 6 1 4 2 3 1 概率分布表 0123 P 64 27 64 27 64 9 64 1 1 2 31 2 3 4 1234 P 6 1 6 2 6 2 6 1 E 2 5 6 15 6 4641 6 1 4 6 2 3 6 2 2 6 1 1 例例 14 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球 1 采取放回抽样方式 从中摸出两个球 求两球恰好颜色不同的概率 2 采取不放回抽样方式 从中摸出两个球 求摸得白球的个数的期望和方差 分析及解分析及解 解法一 有放回摸两次 颜色不同 指 先白再黑 或 先黑再白 记 有放回摸球两次 两球恰好颜色不同 为事件 A 两球恰好颜色不同 共 2 4 4 2 16 种可能 9 4 66 16 AP 解法二 有放回摸取 可看作独立重复实验 每次摸出一球得白球的概率为 3 1 6 2 P 有放回摸两次 颜色不同 的概率为 9 4 1 1 1 22 pCP 2 设摸得白球的个数为 依题意得 45 16 15 1 3 2 2 15 8 3 2 1 5 2 3 2 0 3 2 15 1 2 15 8 1 2 1 0 15 1 5 1 6 2 2 15 8 5 4 6 2 5 2 6 4 1 5 2 5 3 6 4 0 222 DE PPP 考点考点 8 摸卡片 数字问题 摸卡片 数字问题 例例 15 在一个盒子里放有 6 张卡片 上面标有数字 1 2 3 4 5 6 现在从盒子 里每次任意取出一张卡片 取两片 I 若每次取出后不再放回 求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率 II 在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中 得到的两张卡片上的 最大数字的期望值是否相等 请说明理由 分析及解分析及解 I 取到的两张卡片上数字之积大于 12 的事件为 3 4 5 6 四个数中取出 两个 且应除去 3 4 两个数字 故所求事件概率 3 11 2 6 2 4 C C P II 若每次取出后不再放回 则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量 2 3 4 5 6 3 14 15 5 6 15 4 5 15 3 4 15 2 3 15 1 2 15 5 6 15 4 5 15 3 4 15 2 3 15 11 2 2 6 1 5 2 6 1 4 2 6 1 3 2 6 1 2 2 6 E C C P C C P C C P C C P C P 若每次取出后再放回 则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量 1 2 3 4 5 6 36 161 36 11 6 36 9 5 36 7 4 36 5 3 36 3 2 36 1 1 36 11 6 36 9 5 36 7 4 36 5 3 36 3 2 36 1 1 E P PPPPP 在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中 得到的两张卡上的数 字中最大数字的期望值不相等 例例 16 袋中装着标有数字 1 2 3 4 5 的小球各 2 个 从袋中任取 3 个小球 每个小 球被取出的可能性都相等 用表示取出的 3 个小球上的最大数字 求 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 随机变量的概率分布和数学期望 分析及解分析及解 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 的事件记为 A 则 PA 3111 5222 3 10 2 3 C C C C C 由题意得 有可能的取值为 2 3 4 5 30 1 2 3 10 2 2 1 2 1 2 2 2 C CCCC P 15 2 3 3 10 2 2 1 4 1 2 2 4 C CCCC P 10 3 4 3 10 2 2 1 6 1 2 2 6 C CCCC P 15 8 5 3 10 2 2 1 8 1 2 2 8 C CCCC P 所以随机变量的概率分布为 2345 P 1 30 2 15 3 10 8 15 因此的数学期望为 3 13 15 8 5 10 3 4 15 2 3 30 1 2 E 考点考点 9 入座问题 入座问题 例例 17 编号 1 2 3 的三位学生随意入坐编号为 1 2 3 的三个座位 每位学生坐一 个座位 设与座位编号相同的学生的个数是 1 求随机变量的概率分布 2 求随机变量的数学期望和方差 分析及解分析及解 6 11 3 0 2 2 1 1 3 12 0 3 3 3 3 1 3 3 3 A PP A C P A P 概率分布列为 9 分 1 6 1 3 2 1 1 E 1 6 1 13 0 21 2 1 11 3 1 01 2222 D 注 可以不列出 P 0 2 例例 18 有编号为 1 2 3 n 的 n 个学生 入座编号为 1 2 3 n 的 n 个座位 每个学生规定坐一个座位 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 已知 2 时 共有 6 种做法 1 求 n 的值 2 求随机变量的概率分布列和数学期望 分析及解分析及解 当时 有种坐法 2 2 n C 即 6 2 n C6 2 1 nn 或 舍去 012 2 nn4 n3 n 4 n 的可能取值是 4 3 2 0 又 24 11 0 4 4 A P 4 1 24 61 2 4 4 2 4 A C P 3 1 24 82 3 4 4 3 4 A C P 8 3 24 9 4 P 的概率分布列为 0 234 P 24 1 4 1 3 1 8 3 0123 P 3 1 2 1 0 6 1 则 3 8 3 4 3 1 3 4 1 2 24 1 0 E 考点考点 10 信息问题 信息问题 例例 19 如图 A B 两点由 5 条连线并联 它们在单位时间内能通过的最大信息量 依次为 2 3 4 3 2 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量 为 写出最大信息总量的分布列 求最大信息总量的数学期望 分析及解分析及解 1 由已知 的取值为 7 8 9 10 5 1 7 3 5 1 2 2 2 C CC P 10 3 8 3 5 1 2 2 2 1 1 2 2 C CCCC P 5 2 9 3 5 1 1 1 2 1 2 C CCC P 10 1 10 3 5 1 1 2 2 C CC P 的概率分布列为 8910 PP 10 3 5 2 10 1 2 4 8 5 42 10 10 1 9 5 2 8 10 3 7 5 1 E 例例 20 如图 A B 两点之间有 6 条网线并联 它们能通过的最大信息量分别为 1 1 2 2 3 4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 I 设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x 当 x 6 时 则保证信息畅通 求 线路信息畅通的概率 II 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 分析及解分析及解 I 4 11 6 6321411 3 6 1 2 1 2 C CC xP 4 3 10 1 20 3 4 1 4 1 6 10 1 20 2 9 9432 20 3 8 8422431 4 1 20 5 7 7 322421 xP xP xP xP II 8 20 3 5 5221311 10 1 4 4211分 xPxP 线路通过信息量的数学期望 5 6 10 1 9 20 3 8 4 1 7 4 1 6 20 3 5 10 1 4 答 I 线路信息畅通的概率是 4 3 II 线路通过信息量的数学期望是 6 5 考点考点 11 路线问题 路线问题 例例 21 如图所示 质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进 现在投掷一 个质地均匀 每个面上标有一个数字的正方体玩具 它的六个面上分别写有两个 1 两个 2 两个 3 一共六个数字 质点 P 从 A 点出发 规则如下 当正方体上底面出现的数字是 1 质点 P 前进一步 如由 A 到 B 当