知识讲解_指数与指数幂的运算(含答案及练习)VIP

1 2 12 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 A A 版版 要点梳理要点梳理 要点一 整数指数幂的概念及运算性质要点一 整数指数幂的概念及运算性质 1 1 整数指数幂的概念 整数指数幂的概念 0 1 01 0 Z na a a aa Znaaaa n n an n 个 2 2 运算法则 运算法则 1 2 3 4 nmnm aaa mn n m aa 0 anma a a nm n m mm m baab 要点二 根式的概念和运算法则要点二 根式的概念和运算法则 1 1 n n 次方根的定义 次方根的定义 若 xn y n N n 1 y R 则 x 称为 y 的 n 次方根 n 为奇数时 正数 y 的奇次方根有一个 是正数 记为 负数 y 的奇次方根有一个 是负数 记 n y 为 零的奇次方根为零 记为 n y00 n n 为偶数时 正数 y 的偶次方根有两个 记为 负数没有偶次方根 零的偶次方根为零 记为 n y 00 n 2 2 两个等式 两个等式 1 当且时 2 1n nN n n aa 为偶数 为奇数 na na a nn 要点诠释 要点诠释 要注意上述等式在形式上的联系与区别 计算根式的结果关键取决于根指数的取值 尤其当根指数取偶数时 开方后的结果必为非负数 可 先写成的形式 这样能避免出现错误 a 要点三 分数指数幂的概念和运算法则要点三 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论 我们约定 a 0 n mN 且为既约分数 分数指数幂可如下定义 m n 1 n n aa m nmmn n aaa 1 m n m n a a 要点四 有理数指数幂的运算要点四 有理数指数幂的运算 1 1 有理数指数幂的运算性质 有理数指数幂的运算性质 2 1 2 3 Qba 00 aaa aa aba b 当 a 0 p 为无理数时 ap是一个确定的实数 上述有理数指数幂的运算性质仍适用 要点诠释 要点诠释 1 根式问题常利用指数幂的意义与运算性质 将根式转化为分数指数幂运算 2 根式运算中常出现乘方与开方并存 要注意两者的顺序何时可以交换 何时不能交换 如 24 4 2 4 4 3 幂指数不能随便约分 如 2 1 4 2 4 4 2 2 指数幂的一般运算步骤指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符 号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数 先要化成假分数 然后要尽可能用幂的形式表示 便于 用指数运算性质 在化简运算中 也要注意公式 a2 b2 a b a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 的运用 能够简化运算 典型例题典型例题 类型一 根式类型一 根式 例 1 求下列各式的值 1 5242 544 3 2 10 3 3 4 ab 答案 3 103 0 ab ba a b a b ab a b a0 1 2 3 4 2 aa 332 aa a a 236 3 3 yxy xyx 答案 5 2 a 11 3 a 3 4 a 5 4 y 解析 先将根式写成分数指数幂的形式 再利用幂的运算性质化简即可 1 2 115 2 22 222 aaaaaa 2211 3 3323 333 aaaaaa 3 11313 22224 a aa aaa 4 解法一 从里向外化为分数指数幂 236 3 3 yxy xyx 1236 3 3 yxy xyx 232 yxy xyx 12 2 2 y xy x 1 12 2 2 y xy x 5 4 y 解法二 从外向里化为分数指数幂 4 236 3 3 yxy xyx 1236 2 3 3 yxy xyx 11236 22 3 3 yxy xyx 111236 322 3 yxy xyx 111 236 2412 3 yxy xyx 5 4 y 总结升华 此类问题应熟练应用 当所求根式含有多重根号 0 1 m nm n aaam nN 且n 时 要搞清被开方数 由里向外或由外向里 用分数指数幂写出 然后再用性质进行化简 举一反三 举一反三 高清课程 指数与指数运算 例 1 变式 1 把下列根式用指数形式表示出来 并化简 1 5 2aa 6 3 x xx 答案 1 2 13 1010 2 a 2 3 x 变式 2 把下列根式化成分数指数幂 1 2 3 4 6 8 2 0 a a a 332 bb 5223 1 xx 答案 7 12 2 3 4 a 11 3 b 3 5 x 解析解析 1 2 6 8 2 1 177 6 6 3 2212 2222 13313 22224 a aa aaaa 3 4 211 3323 33 bbbbb 5223 1 xx 24 3 3 2 55 11 xxx x 3 5 913 9 3 535 5 111 x xx x 例 4 计算 1 2 1 1 11 2 00 25 34 73 0 0081 3 81 3 88 43 3 33 33 9 1 624337 3 2633 634 125 36 4 3 答案 3 0 2 解析 1 原式 2 原式 3 3 1 3 10 3 2 3 1 3 1 3 0 2 1 1 03323637 3333 3 原式 5 6 4 3 2 注意 注意 1 运算顺序 能否应用公式 2 指数为负先化正 3 根式化为分数指数幂 举一反三 举一反三 变式 1 计算下列各式 5 1 2 63425 0 0 3 1 32 28 6 7 8 1 3 3 3 2 3 3 2 3 1 3 4 21 42 8 a a b baba baa 答案 112 a 解析 1 原式 6 2 1 6 3 1 4 1 4 1 3 3 1 1 3 2 2 2 18 1123222 32 4 1 4 3 2 原式 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 2 2 8 a ba a bbaa baa a ba baa 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 8 变式 2 计算下列式子 30 3 1 2 2 6 03 1 23 23 66 1 4 1 答案 21 解析 原式 16 5 2 21 15 6 4 66 3 4 6 15 6 4 例 5 化简下列各式 1 2 3 21 32 111 1 362 5 15 46 xy x yx y 1 11 22 2mm mm 1 0 5 2 3 3 277 0 027 2 1259 答案 0 09 1 6 24y 11 22 mm 解析 1 即合并同类项的想法 常数与常数进行运算 同一字母的化为该字母的指数运算 2 对 字母运算的理解要求较高 即能够认出分数指数的完全平方关系 3 具体数字的运算 学会如何简化运 算 1 21 32 111 1 362 5 15 46 xy x yx y 21111 1 33226 6 5 4 5 xy 11 0 66 2424x yy 2 2 11 22 11 1 22 1111 2222 2 mm mm mm mmmm 3 1 0 5 2 3 3 277 0 027 2 1259 23 3 1252555 0 027 0 09 0 09 27933 举一反三 举一反三 变式 1 化简 23 3 xyxy 答案 解析 原式 57 66 x y 11571133 232 33662222 xyxyxyxyx y 注意 注意 当 n 为偶数时 0 0 nn a a aa a a 6 变式 2 化简 2222 2222 3333 xyxy xyxy 答案 解析 应注意到之间的关系 对分子使用乘法公式进行因式分解 3 2 xy xy 2 2 3 xx 与 原式 2222 3333 3333 2222 3333 xyxy xyxy 22222222 2222 33333333 xxyyxxyy 2 3 3 2 2 xy xy xy 总结升华 根式的化简结果应写为最简根式 1 被开方数的指数与根指数互质 2 被开方数分母为 1 且不含非正整数指数幂 3 被开方数的每个因数的指数小于根指数 变式 3 化简下列式子 1 2 3 33 223 4 22 6 3232 x2x1x3x3x1 答案 2 26 44 182 2x x1 2 x1 解析 1 原式 2 2 33 2 33 2 33 33 242 32 31 2 2 33 2 126 3 2 26 6 33 33 2 222444444 182 18 2 182 2 244 182 18 223 22 624 22 60 由平方根的定义得 44 4 22 6182 3 3323 3 x3x3x1 x1 x1 2 x1 x1 x2x1 x1 x1 x1 3232 2x x1 x2x1x3x3x1 2 x1 例 6 已知 求的值 3 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 答案 1 3 解析 从已知条件中解出的值 然后代入求值 这种方法是不可取的 而应设法从整体寻求结果x 与条件的联系 进而整体代入求值 3 2 1 2 1 xx 7 3 2 1 2 1 xx 1 29xx 1 7xx 22 249xx 22 45xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 11 1 22 1 3 472 xxxx 3 7 1 3151 45453 总结升华 对于 条件求值 问题一定要弄清已知与未知的联系 然后采用 整体代换 或 化简 后代换 方法求值 本题的关键是先求及的值 然后整体代入 33 22 xx 22 xx 举一反三 举一反三