组合教育权威解析2017高考数学全国卷真题难点(重要材料)

组合教育组合教育名师名师全新全新解析解析 2017 高考数学全国卷难点高考数学全国卷难点试题试题 2017 年高考已经落下帷幕了 万众期待的高考数学试卷已经揭开了神秘的面纱 每年 的高考都牵动了无数的家长和学生的心 牵一发而动全身 寒窗苦读十年就为了那一次的 金榜题名 而今年又是高考制度恢复 40 年的时期 高考的语文都是根正苗红的跟政治 跟 我们的科技生活相关 但是高考的数学今年剑走偏锋 去年的难到今年的简单 转化的幅 度过大 让我们心为之动 也心里为今年的考生感到开心 因为全国卷今年真的简单 大 家不用再为数学难而伤心落泪了 但是数学这门学科终究是再简单也有人觉得难的学科 所以接下来老师给大家一个详尽 的分析 更多高考即时信息 考点分析与预测 请关注微信公众号 洞穿高考 知识点考点分析知识点考点分析 题号题号 全国全国 I 卷卷 全国全国 II 卷卷 全国全国 III 卷卷 1 集合 5 集合 5 复数 5 2 概率 5 复数 5 集合 5 3 复数 5 概率 5 数列 5 4 数列 5 二项式定理 5 三视图 5 5 函数 5 线性规划 5 圆锥曲线 5 6 二项式定理 5 排列组合 5 三角函数 5 7 三视图 5 推理 5 程序框图 5 8 程序框图 5 程序框图 5 立体几何 5 9 三角函数 5 圆锥曲线 5 数列 5 10 圆锥曲线 5 立体几何 5 圆锥曲线 5 11 不等式 5 导数 5 函数 5 12 数列 5 向量 5 向量 5 13 向量 5 概率 5 线性规划 5 14 线性规划 5 三角函数 5 数列 5 15 圆锥曲线 5 数列 5 函数 5 16 立体几何 5 圆锥曲线 5 立体几何 5 17 三角 12 三角 12 三角 12 18 立体几何 12 立体几何 12 立体几何 12 19 概率 12 概率 12 概率 12 20 圆锥曲线 12 圆锥曲线 12 圆锥曲线 12 21 导数 12 导数 12 导数 12 22 参数 10 参数 10 参数 10 23 不等式 10 不等式 10 不等式 10 高考数学命题高考数学命题注重基础 主干知识的考查注重基础 主干知识的考查 2017 年全国卷遵循了考查基础知识为主体的原则 尤其是考试说明中的大部分知识点 选择题 填空题考查了集合的运算 复数 数列 三角函数 概率与统计 解析几何 向 量 框图 二项式定理 线性规划 三视图等知识点等 大部分属于常规题型 难度适 中 是学生在高三时的训练中常见的类型 解答题部分 延续了主干知识 重点知识连续 考的作风 三角函数 立体几何 随机变量的分布列 解析几何 函数与导数 选修系列 等依旧为重点题型 让学生见到题 就有一种似曾相识的感觉 有利于学生的正常发挥 考点分布合理 稳中有变考点分布合理 稳中有变 适当设置题目难度与区分度适当设置题目难度与区分度 今年的考点大部分中规中矩的 虽说有部分变化 只有统计概率的问题变化了形式 常 考题型改成了正态分布 概率分布直方图表示中位数的题目 这个题目可能会给大家造成 一定的困扰 但是我们的重难点没有变 依旧是函数 导数与圆锥曲线部分 共考查了 40 多分 占据了整个卷面的将近三分之一 这两部分不仅仅是重点 也经常会变成难点 经 常会出压轴题 所以 同学们要做的就是这两类题目争取多拿分 组合教育在函数 导数与圆锥曲线的模块上有殊多研究 产生了大量的理论成果 对于 指导学生快速突破这些重难点内容有着巨大的帮助 借此机会我们将研究成果作用在今年 全国卷的重难点试题上 其解法以示读者 一一 洞穿高考数学辅导丛书 与 洞穿高考数学辅导丛书 与 2017 高考数学真题完全高考数学真题完全高度相同试题对比高度相同试题对比展示展示 纵观全国 1 2 3 文科和理科试题 除部分选填压轴题 信息题与创新题 外 对于常规试 题和重难点试题的考点 我们出品的一轮复习作品 高考数学题型全归纳 题型归纳与思 路提示几乎全部命中 甚至我们惊人的发现 部分试题完全是原题 一字不改 难道是巧 合 我想这也许是偶然 当时在偶然中也有必然 组合教育专注高考数学研究数 10 年 对 历年高考数学试题的研究如数家珍 同时出品近百部高考数学作品 成果丰硕 同时培训 了近十万优秀学生 每一年为国家重点高校输送大量优秀人才 这些都不是偶然所为 我 们立志成为中国高考数学教辅领域的领导者和创新者 我们秉承专注极致的思想 不断将 我们对数学的理解让每一位学员分享和成长 下面我们就部分试题给予呈现 1 2017 全国 3 理 1 已知集合 A 22 1Ax y xy Bx y yx 则AB 中元素的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 本题同本题同 2018 版 高考数学题型全归纳 版 高考数学题型全归纳 例例 1 3 变式变式 2 已知集合 Ax yx y 为实数 且 22 1xy Bx yx y 实数 且 yx 则 AB的元素个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 2 2017 全国 2 理 3 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 7 层塔共挂了381盏 灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 则塔的顶层共有灯 A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏 本题同本题同 2017 版 黄金预测卷 版 黄金预测卷 全国全国 2 文文 16 吴敬 字信民 号主一翁 浙江仁和人 曾任浙江布政使司幕府 中国明代景泰年是数学家 著有 九算算法比类大全 一书 书中有这样的一道题目 远望巍巍塔七层 红灯向下成倍 增 共灯三百八十一 请问塔顶几盏灯 塔顶灯数为 3 2017 全国 3 文 4 已知 4 sincos 3 则sin2 A 7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 本题同本题同 2018 版 高考数学题型全归纳 版 高考数学题型全归纳 文科版文科版例例 4 13 已知 1 sincos 5 2 2 则tan A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 4 2017 全国 3 理 4 5 2xyxy 的展开式中 33 x y的系数为 A 80 B 40 C 40 D 80 本题同本题同 2017 版 黄金预测卷 版 黄金预测卷 全国全国 I 理理 14 5 2xyxy 展开式中 33 x y的系数为 5 2017 全国 1 理 21 已知函数 2 e2 e xx f xaax 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个零点 求a的取值范围 本题同本题同 2017 版 高考数学解答题核心考点 理科版 版 高考数学解答题核心考点 理科版 例例 6 10 变式变式 2 已知函数 2 2 e1 x f xxa x 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个零点 求a的取值范围 二二 组合教育名师解析组合教育名师解析 2017 全国卷重点试全国卷重点试题的精妙解法题的精妙解法 让你知其然让你知其然 还知其所以然还知其所以然 1 2017 全国全国 I 理理 21 已知函数 2 e2 e xx f xaax 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有两个零点 求a的取值范围 一一 分析分析 本题第 1 问是含参讨论求解单调区间 是导数研究函数的核心问题 研究 的方法总结为 7 步法 第 1 步 定义域 求函数的定义域 第 2 步 导函数 求导函数 一定要准确 第 3 步 导函数零点 以导函数的零点存在性进行讨论 第 4 步 零点大小 当导函数存在多个零点时 讨论它们的大小关系及与区间端点的位置 关系 第 5 步 研究主 导 函数 研究导函数的同号函数的草图 从而判断其导函数的符号 第 6 步 根据第 5 步的草图解不等式 0fx 或 0fx 进而得函数的单调区间 第 7 步 综上所述 综合上述讨论的情形 完整地写出函数的单调区间 解解析析 函数 f x的定义域为R 2 2 e2 e1e1 2e1 xxxx fxaaa 所以 当0a时 e10 x a f x在R上单调递减 当0a 时 令 0fx 得 1 lnlnxa a 函数 f x在 lna 上单调递减 在 ln a 上单调递增 拓展变式拓展变式 1 1 20172017 全国全国 I I 文文 2121 1 1 已知函数 2 ee xx f xaa x 1 讨论 f x的单调性 解析解析 函数 f x的定义域为R 222 e2e2ee2ee xxxxxx fxaaaaaa 若0a 时 2 2e0 x fx 函数 f x在 上单调递增 当0a 时 2e0 x a 令 0fx 得lnxa 函数 f x在 lna 上单调递减 在 ln a 上单调递增 当0a 时 e0 x a 令 0fx 得ln 2 a x 函数 f x在 ln 2 a 上单调递减 在ln 2 a 上单调递增 拓展变式拓展变式 2 2 20172017 全国全国 IIII 文文 2121 1 1 设函数 2 1exf xx 1 讨论 f x的单调性 解析解析 函数 f x的定义域为R 2 12exfxxx 令 0fx 得 2 210 xx 也得 1 12x 2 12x 因此函数 f x在 12 12 上单调递减 函数 f x在 12 12 上单调递增 拓展变式拓展变式 3 3 20172017 全国全国 IIIIII 文文 2121 已知函数 2 ln21f xxaxax 1 讨论 f x 的单调性 解析解析 函数 f x的定义域为 0 2 22111 221 axax fxaxa xx 当0a 时 1 0 x fx x 函数 f x在 0 上单调递增 当0a 时 211axx fx x 若0a 时 0fx 函数 f x在 0 上单调递增 若0a 时 令 0fx 得 1 2 x a 函数 f x在 1 0 2a 上单调递增 在 1 2a 上单调递减 综上所述 当0a时 f x在 0 上单调递增 当0a 时 f x在 1 0 2a 上单 调递增 在 1 2a 上单调递减 评注评注 2017高考全国卷6分试卷中有四份试题第 1 问直接考查了含参函数的单调性问题 这显然体现了导数的灵魂 含参讨论单调性 在类型上我们研究三种 主导函数 为 一次函数型 h xkxb 主导 函数为二次函数型 主导 函数二阶求导 型 即一次求导后对导函数的符号仍无法判断 需再次求导分析一阶导函数的单调性 从而 判断一阶导函数的符号 在这类试题上全国卷也曾涉及 2016 2017 年连续两年北京卷都涉 及了二次求导的问题 因此对于二次求导判断单调性也应在以后的考试中引起重视 对于全国 I 理 21 第 二 问的分析 本题已知零点个数 求参数取值范围 对于此类问 题的研究请参考组合教育出品的 2017 高考数学解答题核心考点 理科版与文科版 其难 点在于验证零点存在性的赋值理论 本题也不例外 二二 解析解析 由 1 知 当0a时 f x在R上单调递减 故 f x在R上至多一个零点 不满足条件 当0a 时 min 1 ln1lnffaa a 若 f x有两个零点 则 min 0f 令 1 1ln 0g aa a a 则 2 11 0g a aa 从而 g a在 0 上单调递增 且 10g 因此当01a 时 0g a 即 min 0f 也即 ln0fa 下面证明 f x在区间 lna 及 ln a 上各存在一个零点 首先证明在区间 lna 上函数 f x存在一个零点 依题意 f x在 lna 上单调递减 且 ln0fa 2 e2 e2e xxx f xaaxx 因为0 x 所以0e1 x 则22 e0 x 令2x 时 则 2 22e20f 且2lna 因此 f x在区间 2 lna 上 存在一个零点 再证 f x在区间 ln a 上存在另一个零点 对 f x的解析式进行适当放缩变形 22 e2 ee3 e0 xxxx f xaaxaa 得e30 x aa 即 331 e1 x a aaa 令 0 31 ln1lnx aa 则 0 0f x 因此在区间 3 ln ln1a a 上 f x存在另一个零点 综上所述 若 f x存在两个零点 则a的取值范围是 0 1 评注评注 对于已知零点个数 求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上 对 于一般的赋值方法要把握两点 限定要寻找 0 x的范围 如本题中分别在 lna 及 ln a 上各寻找一个零点 将函数不等式变形放缩 据 0 x的范围得出 0 x 在本题中 实际上在区间 lna 上找到 0 x 使得 0 0f x 则说明 f x在区间 lna 上存在零点 在区间 ln a 上找到 0 x 使得 0 0f x 则证明 f x 在区间 ln a 上存在另一个零点 对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见 2017 高考数学解答题核心考点 理科版 154156 PP 恒恒成立问题成立问题 2017 全国全国 I 文文 21 已知函数 2 ee xx f xaa x 1 讨论 f x的单调性 2 若 0f x 求a的取值范围 分析分析 在不等式恒成立条件下求参数范围的核心方法 一般原理是利用转化思想将其转化 为函数的最值加以求解 在转化途径上 可采用 分离参数法 或 不分离参数法 直接移 项构造辅助函数的形式 对于是否分离自变量与参变量 取决于最值点在区间端点还是在极大 小 值点 由函数最 值的求法及极值的定义可知 函数在区间上的最大 小 值点若不是区间端点就是极大 小 值点 1 不分离参数法 若区间端点代入到不等式中 不等式的左右两边相等 一般不分离 即转化为直接求函 数的最值 例如当0 x时 2 e10 x f xxa x 求a的取值范围 将0 x 代入到 函数 f x中 得 00f 不等式的左右两边相等 因此不分离自变量与参变量 直接转 化为 min0f x或从必要条件入手 求出参数的范围再证充分性 或从目标前提法入手 再证此前提目标的反面不成立 2 分离参数法 若区间端点代入到不等式中 不等式的左右两边不相等 或区间端点代入到不等式中导 致函数无意义 则需分离自变量与参变量 因此在此种情形下 转化后的函数最值在极大 小 值点处取得 而不是区间端点 分离自变量与参变量的作用在于有效避免对参数的讨论 解析解析 函数 f x的定义域为R 2 22 e2e2 ee2ee xxxxxx fxaaaaaa 若0a 时 2 2e0 x fx 函数 f x在 上单调递增 当0a 时 2e0 x a 令 0fx 得lnxa 函数 f x在 lna 上单调递减 在 ln a 上单调递增 当0a 时 e0 x a 令 0fx 得ln 2 a x 函数 f x在 ln 2 a 上单调递减 在ln 2 a 上单调递增 2 若对x R 0f x 则转化为 min0f x 据 1 知 当0a 2 e0 x f x 满足题意 当0a 时 函数 lnln2 min lneeln0 aa f xfaaaa 得01a 当0a 时 函数 lnln 222 min lneeln0 22 aa aa f xfaa 即 2 2 3 ln0 42 aa a 得 3 4 2e0a 综上所述 a的取值范围是 3 4 2e 1 拓展变式拓展变式 1 1 20172017 全国全国 IIII 文文 2121 1 1 设函数 2 1exf xx 1 讨论 f x的单调性 2 当0 x时 1f xax 求a的取值范围 解析解析 1 函数 f x的定义域为R 2 12exfxxx 令 0fx 得 2 210 xx 也得 1 12x 2 12x 因此函数 f x在 12 12 上单调递减 函数 f x在 12 12 上单调递增 2 当0 x 时 不等式左边 01f 右边1 左边 右边 直接移项构造辅助函数 2 11e1 x g xf xaxxax 因为 00g 对于0 x 0g x 则 00 g 即10a 得1a 这是恒成立的必要条件 再证充分性 若1a 22 1e11e1 xx g xxaxxx 令 2 1e1 0 x G xxxx 00G 2 12e1 x G xxx 00 G 且 2 41 e0 x Gxxx 则导函数 G x 在 0 上单调递减 所以 00G xG 因此函数 G x在 0 上单调递减 故 000G xGx 即 2 1e1 00 x g xxaxx 恒成立 综上 a的取值范围是 1 以上解法是从必要条件入手 再证充分性 下面解法二从目标前提法入手 即从分条件入手求解 构造函数 2 11e1 x g xf xaxxax 00g 若函数 g x在 0 上单调递减 则对于0 x 0g x恒成立 2 12e0 x gxxxa 得 2 max 12exaxx 令 2 12exG xxx 2 41 e0 x G xxx 则函数 G x在 0 上单调递减 max 01G xG 因此1a 满足题意 这是不等式恒成立的充分条件 若1a 010ga 且 gx 在 0 上单调递减 则 0 x 0gx 函数 g x在 0 上单调递增 因此 00g xg 0 x 这与 00g xx恒成立矛盾 综上可知 所求实数a的取值范围是 1 3 3 不等式不等式证明证明 2017 全国全国 III 文文 21 已知函数 2 ln21f xxaxax 1 讨论 f x 的单调性 2 当0a 时 证明 3 2 4 f x a 说明及说明及分析分析 不等式证明的常见模型 对于不等式 f xg x 或 f xg x 形式证明 利用函数的单调性或最值证明 一般证明不等式常用的方法是构造辅助函数 通过构造辅助函数 将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值 从 而证得不等式 而构造函数是证明不等式的关键 具体程序是 1 移项 有时需要作简单的恒等变形 使不等式的一端为 0 另一端即为所构造的辅助函数 2 求 fx 并讨论 f x在指定区间上的增减性 3 求出区间端点的函数值 或极值 作比较即得所证 解析解析 函数 f x的定义域为 0 2 22111 221 axax fxaxa xx 当0a 时 1 0 x fx x 函数 f x在 0 上单调递增 当0a 时 211axx fx x 若0a 时 0fx 函数 f x在 0 上单调递增 若0a 时 令 0fx 得 1 2 x a 函数 f x在 1 0 2a 上单调递增 在 1 2a 上单调递减 综上所述 当0a时 f x在 0 上单调递增 当0a 时 f x在 1 0 2a 上单 调递增 在 1 2a 上单调递减 2 当0a 时 2 max 111111 ln21ln1 222224 f xfaa aaaaaa 要证 3 2 4 f x a 即证 11 ln1 0 22aa 令 1 0 2 t a ln1g ttt 11 1 t g t tt 当 0 1t 时 0g t 当 1 t 时 0g t 所以 max 10g tg 所以 ln10t tt 则 11 ln1 0 22aa 即 3 2 4 f x a 评注评注 本题考查到经典不等式ln1x x 的证明 在过往高考试题中我们常常看到这个不等 式的身影 组合教育针对这个不等关系产生了一个不等式串 在这里奉献给大家 1 e e1 1e n i xi n ii xnn nn NN ln1 111ln1 ln 1 1 ln1 1 1 x xx x nx x x nnnxx N 222 1111 ln 1 1ln 1 nx nnnx N 22 ln1 1 11111 ln 12 11 n n nn nn nnn nnn N N 2 22 ln1 1 n n nn N 2 22 ln11 112 1 n nn nnn n N 拓展变式拓展变式 1 1 2017 全国全国 III 理理 21 已知函数 1lnf xxax 1 若 0f x 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n 2 111 1 1 222n m 1 求m最小值 分析分析 对于第 1 问 10f 若 0f x 即 1f xf 据函数 f x在区间上 的最大 小 值点若不是区间端点就是极大 小 值点 显然1x 是函数 0 f xx 的最小值点 也是函数 yf x 的极值点 得a 还可检验 不等式 0f x恒成立 第 2 问的背景是数列不等式求参数的范围 最值 据第 1 问得出不等式 ln 1xx 将 2 111 1 1 222n m 1 取对数利用 1 得出的不等式进行放缩 结合已知条件 求m的最小值 解析解析 1 1lnf xxax 10f 若 01f xf 则1x 是函数 f x 的最小值点 且 10 f 即10a 得1a 若1a 时 1 lnf xxx 11 1 x fx xx 当01x 时 0fx 函数 f x在 0 1上单调递减 当1x 时 0fx 函数 f x在 1 上单调递增 所以 10f xf 成立 2 当1a 时 1 ln0f xxx 即ln1x x 则有 ln1xx 当且仅当0 x 时取 所以 11 ln 1 22 kk k N 一方面 1 22 11 111111 22 ln 1ln 1 ln 1 1 222222 1 2 n nn 1 11 2n 即 2 111 11 1e 222n 另一方面 223 111111135 11 11112 22222264 n 当3n时 2 111 11 12 e 222n 因为 m N 2 111 1 1 222n m 1 所以m的最小值为3 评注评注 本题可归纳为数列不等式恒成立条件小 求参数的取值范围问题 其通法是将恒