必修五第一章第一节正弦定理和余弦定理

一 学习目标 一 学习目标 1 通过实例 感受正弦定理 余弦定理来源于实际 服务于实际 2 掌握正 余弦定理 并会初步运用两个定理解三角形 3 理解两个定理的证明方法 4 认识在三角形中 已知两边和其中一边的对角解三角形时产生多解的原因 并能准确 判断解的情况 正确作答 5 通过对定理的探究 体会数形结合 分类讨论的思想 培养归纳概括的能力 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 重点 正 余弦定理的发现 证明及简单应用 本小节内容通过实例提出问题 使学 生进一步了解数学在实际中的应用 激发学生学习数学的兴趣 在探究过程中运用了由特 殊到一般的方法 这种方法是数学发现的重要方法之一 要逐步学会善于运用这种方法去 探索数学问题 提高创造能力 难点 难点 公式的灵活运用以及解的讨论 在解三角形的过程中 一方面要认真分析题目 的已知条件 另一方面要深刻理解两个定理的本质 才有可能合理选择定理 当已知两边 及其中一边的对角解三角形时 可根据三角形的边角关系或几何方法对解进行讨论 三 考点分析 三 考点分析 解三角形问题 可以较好地考查三角函数的诱导公式 恒等变换 边角转化 正弦 余弦定理等知识点 是三角 函数 解析几何和不等式等知识的交汇点 在高考中容易出 综合题 一 正弦定理一 正弦定理 1 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 sinsinsin abc ABC 2 正弦定理的变形正弦定理的变形 变形 1 2 sin2 sin2 sinaRAbRBcRC 或或 变形 2 sinsinsin 222 abc ABC RRR 或或 变形 3 sinsin sinsin bAcA a BC sinsin sinsin cBaB b CA sinsin sinsin aCbC c AB 变形 4 sinsinsina b cABC 变形 5 R C c B b A a CBA cba 2 sinsinsinsinsinsin 3 正弦定理的应用正弦定理的应用 1 已知两角和任一边 求其他两边和另一角 2 已知两边及其中一边的对角 求另一边及其他两角 二 余弦定理二 余弦定理 1 余弦定理 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 2 余弦定理的变形余弦定理的变形 1 定理的特例 是指当某一内角取特殊值时的特殊形式 主要有 勾股定理及其逆定理 222 90cabC 222 60cababC 222 c120ababC 222 330cababC 222 3150cababC 222 245cababC 222 2135cababC 2 定理的推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 3 余弦定理的应用 余弦定理的应用 1 已知三边 求三角 2 已知两边及其夹角 求第三边和其 他两角 知识点一 正弦定理知识点一 正弦定理 例例 1 在中 ABC 1 已知 求 4522Aab 或或 B 2 已知 求 3022Aab 或或 B 3 已知 求 1 302 2 Aab 或或 B 思路分析思路分析 这三个小题看似相同 其实大相径庭 虽然都是已知两边及其中一边的对 角 求另一边的对角 但结果却是一个一解 一个两解 第 3 小题无解 下面我们来逐 个分析 解答过程 解答过程 1 根据正弦定理 得 sinsin ab AB sin2sin451 sin 22 bA B a 而 ab AB 45A 30B 2 根据正弦定理 得 sinsin ab AB sin2sin302 sin 22 bA B a 而 ab AB 30A 为锐角或钝角 或 B 45B 135B 3 根据正弦定理 得 无解 sinsin ab AB sin2sin30 sin2 1 2 bA B a 解题后的思考 解题后的思考 已知两边及其中一边的对角解三角形用正弦定理 其结果可能有一解 两解或无解 例例 2 在 ABC 中 已知 求 及 ABC 的面积 S 120 30 14 BAbac 思路分析 思路分析 已知两角实际上第三个角也是已知的 故用正弦定理可以很方便的求出其 他边的值 解答过程 解答过程 依正弦定理 代入已知条件 得 A a sinB b sinB Ab a sin sin 3 314 120sin 30sin14 a 又 30 12030 180 180BAC B b sinC c sin 或因为 C A ABC 为等腰三角形 所以 3 314 120sin 30sin14 sin sin B Cb c ca CabS ABC sin 2 1 3 349 30sin14 3 314 2 1 解题后的思考 解题后的思考 三角形的面积公式 1 分别表示上的高 111 222 ABCabc Sahbhch abc hhh或或abc或或 2 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB 3 为外接圆半径 2 2sinsinsin ABC SRABC R 4 其中为三角形的 sin 2 1 2 1 cpbpappprCabahS a r 内切圆半径 为三角形周长的一半 p 例例 3 在 ABC 中 若 成立 试判断这个三角形的形状 bAcosaBcos 思路分析 思路分析 条件中既有边又有角 统一条件是首要任务 解答过程 解答过程 由正弦定理 得 BRsin2AcosARsin2BcosBsinAcos 即 根据三角形内角和定理 可知 AsinBcos B B A A cos sin cos sin BAtantan A 必都为锐角 所以 A B 即 ABC 是等腰三角形 B 解题后的思考 解题后的思考 由已知条件确定三角形的形状 主要通过两个途径 化角为边 通 过代数式变形求出边与边之间的关系 化边为角 利用三角恒等变形找出角与角之间的 关系 一般情况下 利用三角恒等变形计算量会小一些 例例 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 证明 22 2 sin sin abAB cC 思路分析 思路分析 条件中既有边又有角 条件需统一 另外 ABC 中 内角和为 180 解答过程 解答过程 由正弦定理得 2 sinsinsin abc R ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 2222 22 sinsin sin abAB cC 22 1 cos21 cos2 cos2cos2 22 sin2sin AB BA CC 2 cos cos 2sin BABABABA C 22 2sin sin sinsin 2sinsin BABACBA CC C BA sin sin 所以 22 2 sin sin abAB cC 解题后的思考 解题后的思考 由于不等式两边一边是代数式 一边是三角式 故通过正弦定理来把边 全化为角 把证明转化为三角恒等变形的问题 知识点二 余弦定理知识点二 余弦定理 例例 5 已知中 试求角 和边 ABC 3245abB 或或ACc 思路分析 思路分析 已知两边及其中一边的对角解三角形可用正弦定理或余弦定理 现用余弦 定理来解 解答过程 解答过程 设边 由余弦定理 得cx 222 2cosbacacB 222 2 3 2 3 cos45xx 整理得 2 610 xx 62 2 x 1 当时 62 2 x 222 1 cos 22 bca A bc 6075AC 或 2 当时 62 2 x 222 1 cos 22 bca A bc 12015AC 或 综合上两种情况 或 62 6075 2 ACc 或或 62 12015 2 ACc 或或 解题后的思考 解题后的思考 用余弦定理解决此类问题 是设量解方程的思想 也是经常用的方法 例例 6 已知中 求中各角的度数 ABC 26 31 a b c ABC 思路分析 思路分析 虽然此题三边都不确定 但它们的比例一定 所以可设 2ak 6bk 用余弦定理解决 31 ck 解答过程 解答过程 令 2ak 6bk 31 ck 利用余弦定理 2222 6 31 42 cos 222 31 6 bca A bc 45A 用同样的方法可得 60B 因此 180456075C 解题后的思考 解题后的思考 已知三角形三边的比 或已知三边的长度 都可用余弦定理解决 只 是已知三边的比时 可引用参数 但在解题时可将分子分母中的参数约掉 kk 例例 7 在中 是方程的两个根 且ABC BCaACbab 或或或 2 2 320 xx 试求边的长 2cos 1AB AB 思路分析 思路分析 本题已知的是两边和它们所对的两角的关系 在这种情况下往往可能不需 要求出它们各自的值 通常可以考虑整体代入的方法 解答过程 解答过程 由题意 得 2 3 2 ab ab 或 CBCACBCACABcos2 222 2222 1 2 2 3 210 2 baababab 10AB 解题后的思考 解题后的思考 因为解方程组分别求出和的值比较麻烦 所以将的值ab 2 3 2 ab ab 直接代入 巧妙而简洁 通常称为整体代入法 要注意这种解题技巧的运用 解三角形的几种基本类型解三角形的几种基本类型 1 已知一边和两角 设为 求另一角及两边 求解步骤 ABb或或 180 CAB 由正弦定理得 由正弦定理得 sin sin bA a B sin sin bC c B 2 已知两边及其夹角 设为 解三角形的步骤 由余弦定理得 abC 由正弦定理求中较小边所对的锐角 利用内角和定理求 22 2coscababC ab或 第三个角 3 已知两边及一边的对角 设为 解三角形的步骤 先判定解的情况 abA或或 由正弦定理 求 由内角和定理 求 sin sin bA B a B180 CAB C 由正弦定理或余弦定理求边 c 注注 已知和 用正弦定理求时解的各种情况 ab或AB 4 已知三边 解三角形的步骤 由余弦定理求最大边所对的角 由正abc或或 弦定理求其余两个锐角 一 预习新知一 预习新知 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 下面介绍它们在测量距离 高度 角 度等问题中的一些应用 在这些应用问题中 测量者借助于经纬仪与钢尺等测量角和距离 的工具进行测量 同学们在学习时可以考虑 题中为什么要给出这些已知条件 而不是其他的条件 应 该注意到 例题及习题中的一组已知条件 常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境 和条件限制下的一个测量方案 在这种情境与条件限制下 别的方案中的量可能无法测量 出来 因而不能实施别的测量方案 请同学们预习必修 5 第一章 第二节 应用举例 二 预习点拨二 预习点拨 通过预习 请总结正余弦定理可以解决现实生活中的哪些问题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 在 ABC 中 若 则等于 30 6 90BaCbc A B C D 11 3232 2 若为 ABC 的内角 则下列函数中一定取正值的是 A A B C D Asincos AAtan Atan 1 3 在 ABC 中 角均为锐角 且 则 ABC 的形状是 A BcossinAB A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 4 等腰三角形一腰上的高是 这条高与底边的夹角为 则底边长为 3 60 A B C D 2 2 3 332 5 在 中 若 则等于 ABCBabsin2 A A B C D 6030 或 6045 或 60120 或 15030 或 6 边长为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角的和是 A B C D 90 120 135 150 二 填空题 7 在 ABC 中 则的最大值是 Rt 90 CsinsinAB 8 在 ABC 中 若 Acbcba则 222 9 在 ABC 中 若 aCBb则 135 30 2 10 在 ABC 中 若 则 sin Asin BsinC 7813C 11 在 ABC 中 则的最大值是 26 AB 30 CACBC 三 解答题 12 在 ABC 中 若则 ABC 的形状是什么 coscoscosCcBbAa 13 在 ABC 中 求证 coscos a A b B c a b b a 14 在锐角 ABC 中 求证 CBACBAcoscoscossinsinsin 一 选择题 1 C 解析 30tan a b 3230tan ab342 bc32 bc 2 A 解析 0 sin0AA 3 C 解析 都是锐角 则cossin sin 22 AABA B 222 AB ABC 4 D 解析 作出图形即可得解 5 D 解析 或 150Babsin2 BABsinsin2sin 2 1 sin A 30 A 6 B 解析 设中间角为 则 2 1 852 785 cos 222 60 为所求 12060180 二 填空题 7 解析 1 2 11 sinsinsincossin2 22 ABAAA 8 解析 120 120 2 1 2 cos 22 A bc acb A 9 解析 26 15 A B b A a