江苏省苏州市常熟市2016届高三上学期期中数学试卷 ]

第 1 页 共 19 页 2015 2016 学年江苏省苏州市常熟市高三 上 期中数学试卷学年江苏省苏州市常熟市高三 上 期中数学试卷 一 填空题 一 填空题 1 设集合 A x 1 x 2 B x 0 x 4 则 A B 2 函数 y ln x2 x 2 的定义域是 3 已知 sin 则 tan 4 定义在 R 上的奇函数 f x 当 x 0 时 f x 2x x2 则 f 1 f 0 f 3 5 函数 y sinx cosx 2 x 0 的值域是 6 等差数列 an 中 前 n 项和为 Sn 若 S4 8a1 a4 4 a2 则 S10 7 设函数 f x 若 f a f 1 则实数 a 的取值范围是 8 等比数列 an 的公比大于 1 a5 a1 15 a4 a2 6 则 a3 9 将函数 y sin 2x 的图象向右平移 0 个单位后 得到函数 f x 的图象 若函数 f x 是偶函数 则 的值等于 第 2 页 共 19 页 10 已知函数 f x ax b 0 的图象在点 P 1 f 1 处的切线与直线 x 2y 1 0 垂直 且函数 f x 在区间 上是单调递增 则 b 的最大值等于 11 已知 f m 3m 1 a b 2m 当 m 0 1 时 f m 1 恒成立 则 a b 的最大值是 12 在 ABC 中 若 tanA 2tanB a2 b2 c 则 c 13 已知 x y 1 x 0 y 0 则 的最小值为 14 设 f x 和 g x 分别是 f x 和 g x 的导函数 若 f x g x 0 在区间 I 上恒成立 则称 f x 和 g x 在区间 I 上单调性相反 若函数 f x x3 2ax 与 g x x2 2bx 在开区间 a b 上单调性相反 a 0 则 b a 的最大值为 二 解答题 二 解答题 15 已知函数 f x 2cos cos sin 0 的最小正周期为 2 1 求函数 f x 的表达式 2 设 0 且 f 求 cos 的值 16 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn an 1 2n 1 1 且 a1 a2 5 a3成等差数列 1 求 a1 a2的值 2 求证 an 2n 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 17 已知函数 f x x2 2ax 1 1 若函数 g x loga f x a a 0 a 1 的定义域为 R 求实数 a 的取值范围 第 3 页 共 19 页 2 当 x 0 时 恒有不等式 lnx 成立 求实数 a 的取值范围 18 如图 在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛 某旅游公司为方便游客 在 l 上设立了 A B 两个报名点 满足 A B C 中任意两点间的距离为 10 千米 公司拟按以下思路运作 先将 A B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处 点 D 异于 A B 两点 然后乘同一艘游轮前 往 C 岛 据统计 每批游客 A 处需发车 2 辆 B 处需发车 4 辆 每辆汽车每千米耗费 4 元 游轮 每千米耗费 24 元 设 CDA 每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元 1 写出 S 关于 的函数表达式 并指出 的取值范围 2 问中转点 D 距离 A 处多远时 S 最小 19 设函数 f x x x 1 m g x lnx 1 当 m 1 时 求函数 y f x 在 0 m 上的最大值 2 记函数 p x f x g x 若函数 p x 有零点 求 m 的取值范围 20 已知数列 an 的奇数项是公差为 d1的等差数列 偶数项是公差为 d2的等差数列 Sn是数列 an 的前 n 项和 a1 1 a2 2 1 若 S5 16 a4 a5 求 a10 2 已知 S15 15a8 且对任意 n N 有 an an 1恒成立 求证 数列 an 是等差数列 3 若 d1 3d2 d1 0 且存在正整数 m n m n 使得 am an 求当 d1最大时 数列 an 的 通项公式 第 4 页 共 19 页 2015 2016 学年江苏省苏州市常熟市高三 上 期中数学试卷学年江苏省苏州市常熟市高三 上 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 一 填空题 1 设集合 A x 1 x 2 B x 0 x 4 则 A B x 0 x 2 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 由题意通过数轴直接求出 A 和 B 两个集合的公共部分 通过数轴求出就是 A B 即可 解答 解 集合 A x 1 x 2 B x 0 x 4 所以 A B x 1 x 2 x 0 x 4 x 0 x 2 故答案为 x 0 x 2 点评 本题是基础题 考查集合间的交集及其运算 考查观察能力 计算能力 2 函数 y ln x2 x 2 的定义域是 1 2 考点 对数函数的定义域 专题 函数的性质及应用 不等式的解法及应用 分析 根据对数函数的定义 真数大于 0 列出不等式 求出解集即可 解答 解 函数 y ln x2 x 2 x2 x 2 0 即 x 1 x 2 0 解得 x 1 或 x 2 函数 y 的定义域是 1 2 故答案为 1 2 第 5 页 共 19 页 点评 本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题 是基础题目 3 已知 sin 则 tan 考点 同角三角函数基本关系的运用 专题 三角函数的求值 分析 由条件利用同角三角函数的基本关系 求得 tan 的值 解答 解 sin cos 则 tan 故答案为 点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系 属于基础题 4 定义在 R 上的奇函数 f x 当 x 0 时 f x 2x x2 则 f 1 f 0 f 3 2 考点 函数奇偶性的性质 函数的值 专题 函数的性质及应用 分析 根据奇函数 f x 当 x 0 时 f x 2x x2 先求出 f 1 f 0 f 3 进而求 出 f 1 相加可得答案 解答 解 定义在 R 上的奇函数 f x 当 x 0 时 f x 2x x2 f 1 1 f 0 0 f 3 1 f 1 1 f 1 f 0 f 3 2 故答案为 2 点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质 难度不大 属于基础题 第 6 页 共 19 页 5 函数 y sinx cosx 2 x 0 的值域是 4 0 考点 两角和与差的正弦函数 专题 三角函数的图像与性质 分析 由条件利用辅助角公式化简函数的解析式 再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值 域 解答 解 函数 y sinx cosx 2 2sin x 2 的值域为 4 0 故答案为 4 0 点评 本题主要考查辅助角公式 正弦函数的定义域和值域 属于基础题 6 等差数列 an 中 前 n 项和为 Sn 若 S4 8a1 a4 4 a2 则 S10 120 考点 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得首项和公差的方程组 解方程组代入等差数列的求和公式可得 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d S4 8a1 a4 4 a2 4a1 d 8a1 a1 3d 4 a1 d 联立解得 a1 3 d 2 S10 10 3 2 120 故答案为 120 点评 本题考查等差数列的求和公式 求出数列的公差 d 是解决问题的关键 属基础题 7 设函数 f x 若 f a f 1 则实数 a 的取值范围是 a 1 或 a 1 考点 其他不等式的解法 专题 不等式的解法及应用 分析 把不等式转化为两个不等式组 解不等式组可得 解答 解 由题意可得 f 1 21 4 2 第 7 页 共 19 页 f a f 1 可化为或 分别解不等式组可得 a 1 或 a 1 故答案为 a 1 或 a 1 点评 本题考查分段不等式的解法 转化为不等式组是解决问题的关键 属基础题 8 等比数列 an 的公比大于 1 a5 a1 15 a4 a2 6 则 a3 4 考点 等比数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 根据等比数列的通项公式为 an a1qn 1求出 a1和 q 得到通项公式即可求出 a3 解答 解 等比数列的通项公式为 an a1qn 1由 a5 a1 15 a4 a2 6 得 a1q4 a1 15 a1q3 a1q 6 解得 q 2 或 q 则 a3 a1q2 4 或 4 等比数列 an 的公比大于 1 则 a3 a1q2 4 故答案为 4 点评 考查学生利用等比数列性质的能力 9 将函数 y sin 2x 的图象向右平移 0 个单位后 得到函数 f x 的图象 若函数 f x 是偶函数 则 的值等于 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 三角函数的图像与性质 分析 由条件利用函数 y Asin x 的图象变换规律 正弦函数 余弦函数的图象的对称性 求得 的值 解答 解 将函数 y sin 2x 的图象向右平移 0 个单位后 得到函数 f x sin 2 x sin 2x 2 的图象 第 8 页 共 19 页 若函数 f x 是偶函数 则 2 k 即 k Z 故答案为 点评 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 正弦函数 余弦函数的图象的对称 性 属于基础题 10 已知函数 f x ax b 0 的图象在点 P 1 f 1 处的切线与直线 x 2y 1 0 垂直 且函数 f x 在区间 上是单调递增 则 b 的最大值等于 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 不等式的解法及应用 分析 求出函数的导数 求得切线的斜率 由两直线垂直的条件可得 a b 2 再由题意可得 a 0 在区间 上恒成立 即有 x2的最小值 解 b 的不等式即可得到最大值 解答 解 函数 f x ax b 0 的导数为 f x a 在点 P 1 f 1 处的切线斜率为 k a b 由切线与直线 x 2y 1 0 垂直 可得 k a b 2 即 a b 2 由函数 f x 在区间 上是单调递增 可得 a 0 在区间 上恒成立 即有 x2的最小值 由 x 可得 x2的最小值为 即有 由 b 0 可得 b 则 b 的最大值为 故答案为 第 9 页 共 19 页 点评 本题考查导数的运用 求切线的斜率和单调性 考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒 成立问题的解法 属于中档题 11 已知 f m 3m 1 a b 2m 当 m 0 1 时 f m 1 恒成立 则 a b 的最大值是 考点 函数恒成立问题 专题 函数的性质及应用 不等式的解法及应用 分析 把已知函数解析式变形 结合当 m 0 1 时 f m 1 恒成立 得到关于 a b 的约束条 件 然后利用线性规划知识求得 a b 的最大值 解答 解 f m 3m 1 a b 2m 3a 2 m a b 当 m 0 1 时 f m 1 恒成立 即 画出可行域如图 联立 解得 A 令 z a b 化为 b a z 由图可知 当直线 b a z 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最大 z 有最大值为 故答案为 点评 本题考查函数恒成立问题 考查了数学转化思想方法 训练了利用线性规划知识求最值 是中档题 第 10 页 共 19 页 12 在 ABC 中 若 tanA 2tanB a2 b2 c 则 c 1 考点 余弦定理 同角三角函数基本关系的运用 专题 解三角形 分析 由 tanA 2tanB 可得 利用正弦定理可得 acosB 2bcosA 由余弦定理化 简整理可得 a2 b2 c2 结合 a2 b2 c 即可解得 c 的值 解答 解 tanA 2tanB 可得 利用正弦定理可得 acosB 2bcosA 由余弦定理可得 a 2b 整理可得 a2 b2 c2 又 a2 b2 c c c2 解得 c 1 故答案为 1 点评 本题主要考查了同角三角函数关系式 正弦定理 余弦定理的综合应用 熟练掌握相关公 式及定理是解题的关键 属于基本知识的考查 13 已知 x y 1 x 0 y 0 则 的最小值为 考点 基本不等式 专题 不等式的解法及应用 分析 消元可得 1 然后换元令 3x 2 t x t 2 代入要求的式子由 基本不等式可得 解答 解 x y 1 x 0 y 0 y 1 x 1 第 11 页 共 19 页 令 3x 2 t 则 t 2 5 且 x t 2 1 1 1 1 由基本不等式可得 2t 2 t 2 2 16 当且仅当 t 即 t 3x 2 4 即 x 时取等号 2t 20 4 1 故答案为 点评 本题考查基本不等式求最值 涉及消元和换元的思想 属中档题 14 设 f x 和 g x 分别是 f x 和 g x 的导函数 若 f x g x 0 在区间 I 上恒成立 则称 f x 和 g x 在区间 I 上单调性相反 若函数 f x x3 2ax 与 g x x2 2bx 在开区间 a b 上单调性相反 a 0 则 b a 的最大值为 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 导数的综合应用 分析 由条件知 g x 0 恒成立 得 f x 0 恒成立 从而求出 a b 的取值范围 建立 b a 的表达式 求出最大值 解答 解 f x x3 2ax g x x2 2bx f x x2 2a g x 2x 2b 由题意得 f x g x 0 在 a b 上恒成立 a 0 b a 0 2x 2b 0 恒成立 x2 2a 0 恒成立 即 x 第 12 页 共 19 页 又 0 a x b b 即 0 a 解得 0 a 2 b a a 当 a 时 取 b a 的最大值为 故答案为 点评 本题考查了利用导数判定函数的单调性问题 也考查了不等式的解法问题 是易错题 二 解答题 二 解答题 15 已知函数 f x 2cos cos sin 0 的最小正周期为 2 1 求函数 f x 的表达式 2 设 0 且 f 求 cos 的值 考点 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的图象 专题 三角函数的图像与性质 分析 1 把已知的函数解析式变形 结合其最小正周期求出 则函数解析式可求 2 把 f 代入函数解析式求得 结合 的范围得到 cos 再由 cos cos 展开两角和的余弦得答案 解答 解 1 f x 2cos cos sin f x 的最小正周期为 2 1 f x 第 13 页 共 19 页 2 f 0 则 cos 则 cos cos cos cos sin sin 点评 本题考查正弦函数的图象和性质 考查了三角恒等变换中的应用 是基础的计算题 16 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn an 1 2n 1 1 且 a1 a2 5 a3成等差数列 1 求 a1 a2的值 2 求证 an 2n 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 考点 等比数列的通项公式 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由已知得 a1 a3 2 a2 5 2a1 a2 3 2 a1 a2 a3 7 由此能求出 a1 a2的值 2 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 2Sn 1 an 2n 1 n 2 两式相减整理得 an 2n 是首项为 3 公比为 3 的等比数列 由此能求出 an 3n 2n 解答 1 解 数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 2Sn an 1 2n 1 1 且 a1 a2 5 a3成等差数列 a1 a3 2 a2 5 当 n 1 时 2a1 a2 3 当 n 2 时 2 a1 a2 a3 7 联立 解得 a1 1 a2 5 a3 19 2 证明 由 2Sn an 1 2n 1 1 得 2Sn 1 an 2n 1 n 2 两式相减得 2an an 1 an 2n n 2 第 14 页 共 19 页 3 n 2 3 an 2n 是首项为 3 公比为 3 的等比数列 an 1 2n 1 3 an 2n 又 a1 1 a1 21 3 an 2n 3n 即 an 3n 2n 点评 本题考查数列中前两项的求法 考查等比数列的证明 考查数列的通项公式的求法 是中 档题 解题时要认真审题 注意构造法的合理运用 17 已知函数 f x x2 2ax 1 1 若函数 g x loga f x a a 0 a 1 的定义域为 R 求实数 a 的取值范围 2 当 x 0 时 恒有不等式 lnx 成立 求实数 a 的取值范围 考点 函数恒成立问题 二次函数的性质 专题 函数的性质及应用 导数的综合应用 分析 1 由题可知 x2 2ax 1 a 0 在 R 上恒成立 利用二次函数的性质可得 a 的范围 2 整理不等式得 x lnx 2a 构造函数 f x x lnx 利用导数求出函数的最小值即可 解答 1 由题意可知 x2 2ax 1 a 0 在 R 上恒成立 4a2 4 4a 0 0 a 且 a 1 2 lnx x lnx 2a 令 f x x lnx f x 1 第 15 页 共 19 页 令 f x 1 0 x x 时 f x 0 f x 递增 x 0 时 f x 0 f x 递减 f x f ln a ln 点评 考查了对数函数 二次函数的性质和恒成立问题的转换 难点是利用导函数求出构造函数 的最小值 18 如图 在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛 某旅游公司为方便游客 在 l 上设立了 A B 两个报名点 满足 A B C 中任意两点间的距离为 10 千米 公司拟按以下思路运作 先将 A B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处 点 D 异于 A B 两点 然后乘同一艘游轮前 往 C 岛 据统计 每批游客 A 处需发车 2 辆 B 处需发车 4 辆 每辆汽车每千米耗费 4 元 游轮 每千米耗费 24 元 设 CDA 每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元 1 写出 S 关于 的函数表达式 并指出 的取值范围 2 问中转点 D 距离 A 处多远时 S 最小 考点 在实际问题中建立三角函数模型 专题 应用题 导数的综合应用 分析 1 由题在 ACD 中 由余弦定理求得 CD AD 的值 即可求得运输成本 S 的解析式 2 利用导数求得 cos 时 函数 S 取得极小值 由此可得中转点 D 到 A 的距离以及 S 的最小 值 第 16 页 共 19 页 解答 解 1 由题在 ACD 中 CAD ABC ACB CDA ACD 又 AB BC CA 10 ACD 中 由正弦定理知 得 CD AD S 8AD 16BD 24CD 160 40 120 2 S 40 令 S 0 得 cos 当 cos 时 S 0 当 cos 时 S 0 当 cos 时 S 取得最小值 此时 sin AD 5 中转站距 A 处 5 千米时 运输成本 S 最小 点评 本题主要考查正弦定理 利用导数研究函数的单调性 由函数的单调性求极值 属于中档 题 19 设函数 f x x x 1 m g x lnx 1 当 m 1 时 求函数 y f x 在 0 m 上的最大值 2 记函数 p x f x g x 若函数 p x 有零点 求 m 的取值范围 考点 函数的最值及其几何意义 函数零点的判定定理 专题 计算题 压轴题 分析 1 化简函数 f x 的解析式 分别在 0 1 和 1 m 上求函数的最大值 2 函数有零点即对应方程有解 得到 m 的解析式 m h x 通过导数符号确定 h x lnx x x 1 的单调性 由 h x 的单调性确定 h x 的取值范围 即得 m 的取值范围 解答 解 1 当 x 0 1 时 f x x 1 x m 当时 当 x 1 m 时 f x x x 1 m 第 17 页 共 19 页 函数 y f x 在 1 m 上单调递增 f x max f m m2 由得 又 m 1 当时 f x max m2 当时 2 函数 p x 有零点即方程 f x g x x x 1 lnx m 0 有解 即 m lnx x x 1 有解 令 h x lnx x x 1 当 x 0 1 时 h x x2 x lnx 函数 h x 在 0 1 上是增函数 h x h 1 0 当 x 1 时 h x x2 x lnx 0 函数 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 0 方程 m lnx x x 1 有解时 m 0 即函数 p x 有零点时 m 0 点评 本题考查用分类讨论的方法求函数最大值 利用导数求函数值域 及化归与转化的思想方 法 20 已知数列 an 的奇数项是公差为 d1的等差数列 偶数项是公差为 d2的等