2019中考加油中考数学专题总复习-第23讲圆的基本性质

1 第六单元第六单元 圆圆 第第 2323 讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 命题点近 8 年的命题形式考查方向 垂径定理 2016 T25 解 2014 T25 解 2013 T14 选 2012 T5 选 2011 T25 解 垂径定理是圆的轴对称性的具体体现 它可 高频考点 以串联弦 弧 角 图形的大小和位置关系 常与圆 的相关知识综合 为进一步探索提供数据支持 圆周角定理2011 T16 填 考查的频率较低 常与其他有关 角 的知识内容串 联 作为圆大题的补充 题型多以选择题和填空题为 主 命题点 1 1 垂径定理 1 1 2012 河北 T5 2 分 如图 CD是 O的直径 AB是弦 不是直径 AB CD于点E 则下列结论正确的是 D A AE BE B AD BC C D AEC 1 2 D ADE CBE 命题点 2 2 圆周角定理 2 2 2011 河北 T16 3 分 如图 点O为优弧所在圆的圆心 AOC 108 点D在AB的延长线上 BD BC AB 则 D 27 重难点 1 1 垂径定理及其应用 已知 AB 是半径为 5 的 O 的直径 E 是 AB 上一点 且 BE 2 1 如图 1 过点 E 作直线 CD AB 交 O 于 C D 两点 则 CD 8 图 1 图 2 图 3 图 4 探究 如图 2 连接 AD 过点 O 作 OF AD 于点 F 则 OF 5 2 过点 E 作直线 CD 交 O 于 C D 两点 2 若 AED 30 如图 3 则 CD 91 若 AED 45 如图 4 则 CD 82 思路点拨 由于 CD 是 O 的弦 因此利用圆心到弦的距离 有时需先作弦心距 再利用垂径定理 结合 勾股定理 求出弦的一半 再求弦 变式训练 1 1 2018 襄阳 如图 点 A B C D 都在半径为 2 的 O 上 若 OA BC CDA 30 则弦 BC 的长为 D A 4 B 2 C D 2 233 变式训练 2 2 分类讨论思想 2018 孝感 已知 O 的半径为 10 cm AB CD 是 O 的两条弦 AB CD AB 16 cm CD 12 cm 则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 cm或 14 cm 方法指导 1 1 垂径定理两个条件是过圆心 垂直于弦的直线 三个结论是平分弦 平分弦所对的优弧与劣弧 2 2 圆中有关弦的证明与计算 通过作弦心距 利用垂径定理 可把与圆相关的三个量 即圆的半径 圆中一 条弦的一半 弦心距构成一个直角三角形 从而利用勾股定理 实现求解 3 3 事实上 过点 E 任作一条弦 只要确定弦与 AB 的交角 就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦 长 重难点 2 2 圆周角定理及其推论 已知 O 是 ABC 的外接圆 且半径为 4 1 如图 1 若 A 30 求 BC 的长 2 如图 2 若 A 45 求 BC 的长 若点 C 是的中点 求 AB 的长 AB 3 如图 3 若 A 135 求 BC 的长 图 1 图 2 图 3 思路点拨 连接 OB OC 利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍 构建可解的等腰三角形求解 自主解答 解 1 连接 OB OC BOC 2 A 60 OB OC OBC 是等边三角形 BC OB 4 2 连接 OB OC BOC 2 A 90 OB OC OBC 是等腰直角三角形 OB OC 4 BC 4 2 点 C 是的中点 ABC A 45 AB ACB 90 AB 是 O 的直径 AB 8 3 在优弧上任取一点 D 连接 BD CD 连接 BO CO BC 3 A 135 D 45 BOC 2 D 90 OB OC 4 BC 4 2 变式训练 3 3 2018 南充 如图 BC 是 O 的直径 A 是 O 上的一点 OAC 32 则 B 的度数是 A A 58 B 60 C 64 D 68 变式训练 4 4 2018 秦皇岛海港区一模 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上 使点 C 在半圆 上 点 A B 的读数分别为 88 30 则 ACB 的大小为 C A 15 B 28 C 29 D 34 方法指导 1 1 在圆中由已知角求未知角 同 等 弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径 其关键是找到同一条 弧 2 2 弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点 构建等腰三角形来解决 3 3 一条弦所对的两种圆周角互补 即圆内接四边形的对角互补 在半径已知的圆内接三角形中 若已知三角形一内角 可以求得此角所对的边 模型建立 注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍 避免把数量关系弄颠倒 易错提示 重难点 3 3 圆内接四边形 2017 潍坊 如图 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形 延长 AB 与 DC 相交于点 G AO CD 垂足为 E 连接 BD GBC 50 则 DBC 的度数为 C A 50 B 60 C 80 D 90 思路点拨 延长 AE 交 O 于点 M 由垂径定理可得 2 所以 CBD 2 EAD 由圆内接四边形的对角 CD DM 互补 可推得 ADE GBC 而 ADE 与 EAD 互余 由此得解 变式训练 5 5 2018 邵阳 如图所示 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形 BCD 120 则 BOD 的大小是 B A 80 B 120 C 100 D 90 4 变式训练 6 6 2018 曲靖 如图 四边形 ABCD 内接于 O E 为 BC 延长线上一点 若 A n 则 DCE n 方法指导 1 1 找圆内角 圆周角 圆心角 和圆外角 顶角在圆外 两边也在圆外或顶点在圆上 一边在圆内 另一边在 圆外 的数量关系时 常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质 2 2 在同圆或等圆中 如果一条弧等于另一条弧的两倍 则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两 倍 1 1 如图 在 O 中 如果 2 那么 C AB AC A AB AC B AB 2AC C AB 2AC D AB 2AC 2 2 2018 邯郸模拟 如图 在半径为 4 的 O 中 弦 AB OC BOC 30 则 AB 的长为 D A 2 B 2 C 4 D 4 33 3 3 2017 承德模拟 如图 在平面直角坐标系中 O 经过原点 O 并且分别与 x 轴 y 轴交于点 B C 分别作 O E OC 于点 E O D OB 于点 D 若 OB 8 OC 6 则 O 的半径为 C A 7 B 6 C 5 D 4 5 4 4 2018 聊城 如图 在 O 中 弦 BC 与半径 OA 相交于点 D 连接 AB OC 若 A 60 ADC 85 则 C 的度数是 D A 25 B 27 5 C 30 D 35 5 5 2018 陕西 如图 ABC 是 O 的内接三角形 AB AC BCA 65 作 CD AB 并与 O 相交于点 D 连 接 BD 则 DBC 的大小为 A A 15 B 35 C 25 D 45 6 6 2018 河北模拟 如图 分别延长圆内接四边形 ABDE 的两组对边 延长线相交于点 F C 若 F 27 A 53 则 C 的度数为 C A 30 B 43 C 47 D 53 7 7 2018 玉林 如图 小华为了求出一个圆盘的半径 他用所学的知识 将一宽度为 2 cm的刻度尺的一边与圆 盘相切 另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是 4 和 16 单位 cm 请你帮小华算出圆盘的半径是 10cm 8 8 2017 临沂 如图 BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D ABC 的平分线交 AD 于点 E 1 求证 DE DB 2 若 BAC 90 BD 4 求 ABC 外接圆的半径 解 1 证明 AD 平分 BAC BE 平分 ABC BAE CAD ABE CBE BD CD DBC BAE 6 DBE CBE DBC DEB ABE BAE DBE DEB DE DB 2 连接 CD CD BD 4 BD CD BAC 90 BC 是直径 BDC 90 BC 4 BD2 CD22 ABC 外接圆的半径为 2 2 9 9 2018 遵义 如图 四边形 ABCD 中 AD BC ABC 90 AB 5 BC 10 连接 AC BD 以 BD 为直径的圆 交 AC 于点 E 若 DE 3 则 AD 的长为 D A 5 B 4 C 3 D 2 55 提示 过点 D 作 DF AC 于点 F 利用 ADF CAB DEF DBA 可求解 1010 2018 宜宾 如图 AB 是半圆的直径 AC 是一条弦 D 是的中点 DE AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F DB AC 交 AC 于点 G 若 则 EF AE 3 4 CG GB 5 5 1111 2018 金华 如图 1 是小明制作的一副弓箭 点 A D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点 弓弦 BC 60 cm 沿 AD 方向拉动弓弦的过程中 假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形 弓弦不伸长 如图 2 当弓箭从自然状态的点 D 拉到 点 D1时 有 AD1 30 cm B1D1C1 120 1 图 2 中 弓臂两端 B1 C1的距离为 30cm 3 2 如图 3 将弓箭继续拉到点 D2 使弓臂 B2AC2为半圆 则 D1D2的长为 10 10 cm 5 1212 如图所示 AB 为 O 的直径 CD 为弦 且 CD AB 垂足为 H 1 如果 O 的半径为 4 CD 4 求 BAC 的度数 3 7 2 若点 E 为的中点 连接 OE CE 求证 CE 平分 OCD ADB 3 在 1 的条件下 圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个 并说明理由 解 1 AB 为 O 的直径 CD AB CH CD 2 1 23 在Rt COH 中 sin COH COH 60 CH OC