线性代数期末考试试卷 答案合集详解

大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 1 页 大学线性代数期末考试题大学线性代数期末考试题 一 填空题 将正确答案填在题中横线上 每小题一 填空题 将正确答案填在题中横线上 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 1 若 则 0 221 50 131 x 2 若齐次线性方程组只有零解 则应满足 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 3 已知矩阵 满足 则与分别是 阶矩阵 nsij cCBA CBAC AB 4 矩阵的行向量组线性 3231 2221 1211 aa aa aa A 5 阶方阵满足 则 nA03 2 EAA 1 A 二 判断正误 正确的在括号内填二 判断正误 正确的在括号内填 错误的在括号内填 错误的在括号内填 每小题 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 1 若行列式中每个元素都大于零 则 D0 D 2 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合 3 向量组中 如果与对应的分量成比例 则向量组线性相关 m aaa 211 a m a s aaa 21 4 则 0100 1000 0001 0010 AAA 1 5 若为可逆矩阵的特征值 则的特征值为 A 1 A 三 单项选择题三 单项选择题 每小题仅有一个正确答案 将正确答案题号填入括号内 每小题每小题仅有一个正确答案 将正确答案题号填入括号内 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分分 1 设为阶矩阵 且 则 An2 A T AA 4 n 2 1 2 n1 2 n 2 维向量组 3 s n 线性无关的充要条件是 n s 21 中任意两个向量都线性无关 s 21 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 s 21 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 2 页 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 s 21 中不含零向量 s 21 3 下列命题中正确的是 任意个维向量线性相关n1 n 任意个维向量线性无关n1 n 任意个 维向量线性相关1 nn 任意个 维向量线性无关1 nn 4 设 均为 n 阶方阵 下面结论正确的是 AB 若 均可逆 则可逆 若 均可逆 则 可逆ABBA ABA B 若可逆 则 可逆 若可逆 则 均可逆BA BA BA AB 5 若是线性方程组的基础解系 则是的 4321 0 A 4321 0 A 解向量 基础解系 通解 A 的行向量 四 计算题四 计算题 每小题 9 分 共 63 分 1 计算行列式 xabcd axbcd abxcd abcxd 解 3 000 000 000 1 1 1 1 1 xdcbax x x x dcb dcbax dxcb dcxb dcbx dcb dcbax dxcbdcbax dcxbdcbax dcbxdcbax dcbdcbax dxcba dcxba dcbxa dcbax 2 设 且 求 BAAB2 A 410 011 103 B 解解 ABEA 2 111 122 112 2 1 EA 322 234 225 2 1 AEAB 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 3 页 3 设 且矩阵满足关系式 求 1000 1100 0110 0011 B 2000 1200 3120 4312 C X CBE 4 问取何值时 下列向量组线性相关 a 123 1 1 2 2 11 22 1 1 2 2 a a a 5 为何值时 线性方程组有唯一解 无解和有无穷多解 当方程组有无穷多 2 2 3 321 321 321 xxx xxx xxx 解时求其通解 当当且且时 方程组有唯一解 时 方程组有唯一解 1 2 当当时方程组无解时方程组无解2 当当时 有无穷多组解 通解为时 有无穷多组解 通解为1 1 0 1 0 1 1 0 0 2 21 cc 6 设 求此向量组的秩和一个极大无关组 并将其余 7 7 10 3 1 3 0 1 3 1 9 2 0 1 4 1 4321 向量用该极大无关组线性表示 7 设 求的特征值及对应的特征向量 100 010 021 A A 五 证明题五 证明题 7 7 分分 若是阶方阵 且 证明 其中为单位矩阵 An IAA 1 A0 IAI 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 4 页 大学线性代数期末考试题答案大学线性代数期末考试题答案 一 填空题一 填空题 1 5 2 3 4 相关 1 nnss 5 EA3 二 判断正误二 判断正误 1 2 3 4 5 三 单项选择题三 单项选择题 1 2 3 4 5 四 计算题四 计算题 1 3 000 000 000 1 1 1 1 1 xdcbax x x x dcb dcbax dxcb dcxb dcbx dcb dcbax dxcbdcbax dcxbdcbax dcbxdcbax dcbdcbax dxcba dcxba dcbxa dcbax 2 ABEA 2 111 122 112 2 1 EA 322 234 225 2 1 AEAB 3 1210 0121 0012 0001 1210 0121 0012 0001 1234 0123 0012 0001 1000 2100 3210 4321 1 1 BCEXBC BCBC 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 5 页 4 当或时 向量组线性 22 12 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 321 aa a a a aaa 2 1 a1 a 321 aaa 相关 5 当且时 方程组有唯一解 1 2 当时方程组无解2 当时 有无穷多组解 通解为1 1 0 1 0 1 1 0 0 2 21 cc 6 6 0000 1100 2010 2001 131300 161600 2410 3121 7130 10430 2410 3121 7130 7311 10094 3121 4321 aaaa 则 其中构成极大无关组 3 4321 aaaar 321 aaa 3214 22aaaa 7 0 1 120 010 001 3 AE 特征值 对于 1 1 特征向量为1 321 020 000 000 1 AE 1 0 0 0 0 1 lk 五 证明题五 证明题 AIAIAIAAAAIA 02 AI 0 AI 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 6 页 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 满分分 满分 1616 分 每小题给出的四个选项中 只有分 每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求 一项符合题目要求 1 1 设 设 为为 n n 阶方阵 满足等式阶方阵 满足等式 则必有 则必有 AB0 AB A A 或或 B B C C 或或 D D 0 A0 B0 BA0 A0 B0 BA 2 2 和和均为均为阶矩阵 且阶矩阵 且 则必有 则必有 ABn 222 2ABAABB A A B B C C D D AE BE AB ABBA 3 3 设 设为为矩阵 齐次方程组矩阵 齐次方程组仅有零解的充要条件是 仅有零解的充要条件是 Anm 0 Ax A A 的列向量线性无关 的列向量线性无关 B B 的列向量线性相关 的列向量线性相关 AA C C 的行向量线性无关 的行向量线性无关 D D 的行向量线性相关的行向量线性相关 AA 4 4 阶矩阵阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是 为奇异矩阵的充要条件是 nA A A 的秩小于的秩小于 B B An0A C C 的特征值都等于零 的特征值都等于零 D D 的特征值都不等于零 的特征值都不等于零 AA 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每题小题 每题 4 4 分 满分分 满分 1616 分 分 5 5 若 若 4 4 阶矩阵阶矩阵的行列式的行列式 是是 A A 的伴随矩阵 则的伴随矩阵 则 A5A A A 6 6 为为阶矩阵 且阶矩阵 且 则 则 Ann 2 20AAE 1 2 AE 7 7 已知方程组 已知方程组无解 则无解 则 4 3 1 21 232 121 3 2 1 x x x a aa 8 8 二次型 二次型是正定的 则是正定的 则 的取值范围是的取值范围是 222 1231231213 2322f x x xxxtxx xx x t 三 计算题 本题共三 计算题 本题共 2 2 小题 每题小题 每题 8 8 分 满分分 满分 1616 分 分 9 9 计算行列式 计算行列式 1111 1111 1111 1111 x x D y y 1010 计算 计算阶行列式阶行列式n 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 7 页 12 12 12 3 3 3 n n n n xxx xxx D xxx 四 证明题 本题共四 证明题 本题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 满分分 满分 1616 分 写出证明过程 分 写出证明过程 1111 若向量组 若向量组线性相关 向量组线性相关 向量组线性无关 证明 线性无关 证明 123 234 1 1 能有能有线性表出 线性表出 1 23 2 2 不能由不能由线性表出 线性表出 4 123 1212 设 设是是阶矩方阵 阶矩方阵 是是阶单位矩阵 阶单位矩阵 可逆 且可逆 且 AnEnEA 1 f AEA EA 证明证明 1 1 2Ef AEAE 2 2 f f AA 五 解答题 本题共五 解答题 本题共 3 3 小题 每小题小题 每小题 1212 分 满分分 满分 3232 分 解答应写出文字说明或演算步骤 分 解答应写出文字说明或演算步骤 1313 设 设 求一个正交矩阵 求一个正交矩阵使得使得为对角矩阵 为对角矩阵 200 032 023 A P 1 P AP 1414 已知方程组 已知方程组与方程组与方程组有公共解 有公共解 04 02 0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 12 321 axxx 求求的值 的值 a 1515 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 3 已知 已知 是它的三个解向量 是它的三个解向量 1 2 3 且且 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 8 页 5 4 3 2 1 4 3 2 1 32 求该方程组的通解 求该方程组的通解 解答和评分标准解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 1 C C 2 2 D D 3 3 A A 4 4 A A 二 填空题二 填空题 5 5 125 125 6 6 7 7 1 1 8 8 2 5 3 t 三 计算题三 计算题 9 9 解 第一行减第二行 第三行减第四行得 解 第一行减第二行 第三行减第四行得 00 1111 00 1111 xx x D yy y 第二列减第一列 第四列减第三列得 第二列减第一列 第四列减第三列得 4 4 分 分 000 110 000 101 x x D y y 按第一行展开得按第一行展开得 10 00 01 x Dxy y 按第三列展开得按第三列展开得 4 4 分 分 22 0 1 x Dxyx y y 1010 解 把各列加到第一列 然后提取第一列的公因子 解 把各列加到第一列 然后提取第一列的公因子 再通过行列式的变换 再通过行列式的变换 n i i x 1 3 化为上三角形行列式化为上三角形行列式 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 9 页 4 4 分 分 2 2 1 2 1 13 3 13 n n n ni i n xx xx Dx xx 2 1 1 030 3 003 n n i i xx x 4 4 分 分 1 1 33 n n i i x 四 证明题四 证明题 1111 证明 证明 1 1 因为因为线性无关 所以线性无关 所以线性无关 线性无关 332 32 又又线性相关 故线性相关 故能由能由线性表出 线性表出 4 4 分分 321 1 32 123 3r 2 2 反正法 若不 则 反正法 若不 则能由能由线性表出 线性表出 4 321 不妨设不妨设 3322114 kkk 由 由 1 1 知 知 能由能由线性表出 线性表出 1 32 不妨设不妨设 32211 tt 所以所以 3322322114 kkttk 这表明这表明线性相关 矛盾 线性相关 矛盾 432 1212 证明 证明 1 1 1 Ef AEAEEA EAEA 4 4 分 分 1 2EAEA EAEAEAEAE 2 2 1 f f AEf AEf A 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 10 页 由 由 1 1 得 得 代入上式得 代入上式得 1 1 2 Ef AEA 11 111 222 f f AEEA EAEAEAEA EAEA 4 4 分 分 11 22 EAEAA 五 解答题五 解答题 13 解 解 1 由 由得得的特征值为的特征值为 4 4 分 分 0EA A 1 1 2 2 3 5 2 的特征向量为的特征向量为 1 1 1 0 1 1 的特征向量为的特征向量为 2 2 2 1 0 0 的特征向量为的特征向量为 3 3 分 分 3 5 3 0 1 1 3 因为特征值不相等 则 因为特征值不相等 则正交 正交 2 2 分 分 123 4 将 将单位化得单位化得 2 2 分 分 123 1 0 1 1 2 1 p 2 1 0 0 p 3 0 1 1 2 1 p 5 取 取 123 010 11 0 22 11 0 22 Pp pp 6 1 1 分 分 1 100 020 005 P AP 1414 解 该非齐次线性方程组 解 该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为对应的齐次方程组为bAx 0 Ax 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 11 页 因因 则齐次线性方程组的基础解系有 则齐次线性方程组的基础解系有 1 1 个非零解构成 即任何一个非零解都是它个非零解构成 即任何一个非零解都是它3 AR 的基础解系 的基础解系 5 5 分 分 另一方面 记向量另一方面 记向量 则 则 2 321 022 2 321321 bbbAAAAA 直接计算得直接计算得 就是它的一个基础解系 根据非齐次线性方程组解的结构就是它的一个基础解系 根据非齐次线性方程组解的结构0 6 5 4 3 T 知 原方程组的通解为知 原方程组的通解为 7 7 分 分 5 4 3 2 6 5 4 3 1 kkx Rk 15 解 将 解 将 与与 联立得非齐次线性方程组联立得非齐次线性方程组 1 2 04 02 0 321 3 2 21 321 321 axxx xaxx axxx xxx 若此非齐次线性方程组有解若此非齐次线性方程组有解 则则 与与 有公共解有公共解 且且 的解即为所求全部公共解的解即为所求全部公共解 对对 的增广矩阵的增广矩阵作初等行变换得作初等行变换得 A 4 4 分 分 1121 041 021 0111 2 a a a A 1100 0 1 2 00 0110 0111 aa aa a 1 1 当当时 有时 有 方程组 方程组 有解有解 即即 与与 有公共解有公共解 其全部公共解其全部公共解1a 23r Ar A 即为即为 的通解 此时的通解 此时 0000 0000 0010 0101 A 则方程组则方程组 为齐次线性方程组 其基础解系为为齐次线性方程组 其基础解系为 1 0 1 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 12 页 所以所以 与与 的全部公共解为的全部公共解为 k k为任意常数为任意常数 4 4 分 分 1 0 1 k 2 2 当当时 有时 有 方程组 方程组 有唯一解有唯一解 此时此时2a 3r Ar A 0000 1100 1010 0001 A 故方程组故方程组 的解为的解为 即即 与与 有唯一公共解有唯一公共解 4 4 分 分 0 1 1 0 1 1 x 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 13 页 线性代数习题和答案 第一部分 选择题 共 28 分 一 单项选择题 本大题共 14 小题 每小题 2 分 共 28 分 在每小题列出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的 请将其代码填在题后的括号内 错选或未选均无分 1 设行列式 m n 则行列式等于 aa aa 1112 2122 aa aa 1311 2321 aaa aaa 111213 212223 A m nB m n C n mD m n 2 设矩阵 A 则 A 1等于 100 020 003 A B 1 3 00 0 1 2 0 001 100 0 1 2 0 00 1 3 C D 1 3 00 010 00 1 2 1 2 00 0 1 3 0 001 3 设矩阵 A A 是 A 的伴随矩阵 则 A 中位于 1 2 的元素是 312 101 214 A 6B 6 C 2D 2 4 设 A 是方阵 如有矩阵关系式 AB AC 则必有 A A 0B BC 时 A 0 C A0 时 B CD A 0 时 B C 5 已知 3 4 矩阵 A 的行向量组线性无关 则秩 AT 等于 A 1B 2 C 3D 4 6 设两个向量组 1 2 s和 1 2 s均线性相关 则 A 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 2 2 s s 0 和 1 1 2 2 s s 0 B 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 1 2 2 2 s s s 0 C 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 1 2 2 2 s s s 0 D 有不全为 0 的数 1 2 s和不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 2 2 s s 0 和 1 1 2 2 s s 0 7 设矩阵 A 的秩为 r 则 A 中 A 所有 r 1 阶子式都不为 0B 所有 r 1 阶子式全为 0 C 至少有一个 r 阶子式不等于 0D 所有 r 阶子式都不为 0 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 14 页 8 设 Ax b 是一非齐次线性方程组 1 2是其任意 2 个解 则下列结论错误的是 A 1 2是 Ax 0 的一个解B 1 2是 Ax b 的一个解 1 2 1 2 C 1 2是 Ax 0 的一个解D 2 1 2是 Ax b 的一个解 9 设 n 阶方阵 A 不可逆 则必有 A 秩 A nB 秩 A n 1 C A 0D 方程组 Ax 0 只有零解 10 设 A 是一个 n 3 阶方阵 下列陈述中正确的是 A 如存在数 和向量 使 A 则 是 A 的属于特征值 的特征向量 B 如存在数 和非零向量 使 E A 0 则 是 A 的特征值 C A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 D 如 1 2 3是 A 的 3 个互不相同的特征值 1 2 3依次是 A 的属于 1 2 3的 特征向量 则 1 2 3有可能线性相关 11 设 0是矩阵 A 的特征方程的 3 重根 A 的属于 0的线性无关的特征向量的个数为 k 则必有 A k 3B k3 12 设 A 是正交矩阵 则下列结论错误的是 A A 2必为 1B A 必为 1 C A 1 ATD A 的行 列 向量组是正交单位向量组 13 设 A 是实对称矩阵 C 是实可逆矩阵 B CTAC 则 A A 与 B 相似 B A 与 B 不等价 C A 与 B 有相同的特征值 D A 与 B 合同 14 下列矩阵中是正定矩阵的为 A B 23 34 34 26 C D 100 023 035 111 120 102 第二部分 非选择题 共 72 分 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 不写解答过程 将正确的答案写在每小题的 空格内 错填或不填均无分 15 111 356 92536 16 设 A B 则 A 2B 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 17 设 A aij 3 3 A 2 Aij表示 A 中元素 aij的代数余子式 i j 1 2 3 则 a11A21 a12A22 a13A23 2 a21A21 a22A22 a23A23 2 a31A21 a32A22 a33A23 2 18 设向量 2 3 5 与向量 4 6 a 线性相关 则 a 19 设 A 是 3 4 矩阵 其秩为 3 若 1 2为非齐次线性方程组 Ax b 的 2 个不同的解 则它的通解 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 15 页 为 20 设 A 是 m n 矩阵 A 的秩为 r n 则齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系中含有解的个数为 21 设向量 的长度依次为 2 和 3 则向量 与 的内积 22 设 3 阶矩阵 A 的行列式 A 8 已知 A 有 2 个特征值 1 和 4 则另一特征值为 23 设矩阵 A 已知 是它的一个特征向量 则 所对应的特征值为 0106 133 2108 2 1 2 24 设实二次型 f x1 x2 x3 x4 x5 的秩为 4 正惯性指数为 3 则其规范形为 三 计算题 本大题共 7 小题 每小题 6 分 共 42 分 25 设 A B 求 1 ABT 2 4A 120 340 121 2 2 3 4 1 0 26 试计算行列式 3112 5134 2011 1533 27 设矩阵 A 求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB A 2B 423 110 123 28 给定向量组 1 2 3 4 2 1 0 3 1 3 2 4 3 0 2 1 0 1 4 9 试判断 4是否为 1 2 3的线性组合 若是 则求出组合系数 29 设矩阵 A 12102 24266 21023 33334 求 1 秩 A 2 A 的列向量组的一个最大线性无关组 30 设矩阵 A 的全部特征值为 1 1 和 8 求正交矩阵 T 和对角矩阵 D 使 T 1AT D 022 234 243 31 试用配方法化下列二次型为标准形 f x1 x2 x3 xxxx xx xx x 1 2 2 2 3 2 121323 23444 并写出所用的满秩线性变换 四 证明题 本大题共 2 小题 每小题 5 分 共 10 分 32 设方阵 A 满足 A3 0 试证明 E A 可逆 且 E A 1 E A A2 33 设 0是非齐次线性方程组 Ax b 的一个特解 1 2是其导出组 Ax 0 的一个基础解系 试证明 1 1 0 1 2 0 2均是 Ax b 的解 2 0 1 2线性无关 大学生校园网 VvSchool CN 线性代数 综合测试题 共 3 页第 16 页 答案 答案 一 单项选择题 本大题共 14 小题 每小题 2 分 共 28 分 1 D2 B3 B4 D5 C 6 D7 C8 A9 A10 B 11 A12 B13 D14 C 二 填空题 本大题共 10 空 每空 2 分 共 20 分 15 6 16 17 4 18 10 19 1 c 2 1 或 2 c 2 1 c 为任意常 337 137 数 20 n r 21 5 22 2 23 1 24 zzzz 1 2 2 2 3 2 4 2 三 计算题 本大题共 7 小题 每小题 6 分 共 42 分 25 解 1 ABT 120 340 121 22 34 10 86 1810 310 2 4A 43 A 64 A 而 A 所以 4A 64 2 128 120 340 121 2 26 解 3112 5134 2011 1533 5111 11131 0010 5530 511 1111 550 511 620 550 62 55 301040 27 解 AB A 2B 即 A 2E B A 而 A 2E 1 223 110 121 143 153 164 1 所以 B A 2E 1A 143 153 164 423 110 123 386 296 2129 28 解一 2130 1301 0224 3419 0532 1301 0112 013112 1035 0112 0088 001414 1035 0112 0011 0000 所以 4 2 1 2 3 组合系数为 2 1 1 1002 0101 0011 0000 解二 考虑 4 x1 1 x2 2 x3 3 大学生校园网 V