第章 间接效用函数与支出函数.ppt

第二章间接效用函数与支出函数 间接效用函数 1 基本概念 效用最大化问题 所得到的最大值函数v p y 就是间接效用函数 它是收入和价格的函数 求解最大化效用问题所得到的需求函数x p y 被称为马歇尔需求函数 1 间接效用函数 2 间接效用函数的性质 1 在价格和收入上是连续的 当价格和收入有微小变化时 最大化的效用也会有微小的变化 因为如果u x 是连续的 则最大化 一阶导数 的值一定也是连续的 2 它对于价格和收入是零次齐次的 即价格和收入的同比例变化并不影响效用水平 需要证明 对于所有的t 0 都有 证明 3 在收入上y是严格递增的 而在价格p上则是严格递减的 wehavethefirstorderconditionasfollows Accordingtoenvelopetheorem wehave 由于 因此 4 满足罗尔恒等式 如果间接效用函数在点上是可导的 且 两式相除 就可以得到罗尔恒等式 3 间接效用函数的应用 政府税收对效用的影响 设效用函数为 最大化问题为 因此 可得到 p1 0 25 p2 1 y 2 若政府征收0 5元的所得税 消费者收入降为1 5元 间接效用也从2降为1 5 现考虑政府对X1征收商品税0 25元 此时 p1会从0 25涨到0 5元 问题1 商品税能使政府征到0 5元的税收吗 问题2 商品税对消费者的间接效用的影响有多大 1 p1从0 25涨到0 5元后 说明政府开征商品税后 消费者仍会购买2单位的商品X1 政府的税收也是0 5元 可见 开征商品税对消费者的间接效用的负面作用大于开征所得税 原因 一是价格提高减少了消费者的实际购买力 二是改变了商品的相对价格 开征所得税只产生第一方面的影响 2 支出函数 一 支出函数的定义 支出最小化问题 用e p u 表示在价格为p时为满足特定效用水平u所必需的最低花费 支出最小化问题的求解 求出的最小解称为希克斯需求函数 记为 代入支出px得最小支出函数 记为 最小化支出问题 u O 二 希克斯需求函数 希克斯的需求函一般记为 即为达到既定的效用水平u 选择的最小支出时消费者对x的需求 希克斯的需求函数又称补偿性需求函数 一是某商品价格下降 效用增加 可假定把消费者收入减少 负的补偿 使其效用水平与以前一样 二是某商品价格上升 效用减少 此时增加消费者的收入 使其效用水平也不变 这两种情况下 消费者的选择会发生何种变化 B C A o o A 价格变动的替代效应 希克斯需求曲线 如果u 是连续且严格递增的 则当p 0时 支出函数在点对于p可微 且 三 谢泼特引理 含义 已知支出函数 可通过该函数对价格求偏导 推导出希克斯需求函数 证明 运用包络定理 可得到 例 这即是x2和x1的希克斯需求函数 只取决于p和u 将x2和x1代入支出函数问题的目标函数 可得 求上式对于p1的偏导 可直接验证谢泼特引理 如果收入为y 消费的商品数量和价格分别为 四 预算份额 则称 为购买xi的收入 预算 份额 如果i 1 2 则 例子 Cobb Douglas函数 Cobb Douglas函数的经济学含义 两种商品的预算份额 五 对偶性问题 就是指在经济学