第一章 矩阵的相似变换.ppt

矩阵理论 成都信息工程学院李胜坤 1 1特征值与特征向量 第一章矩阵的相似变换 定义设 如果存在和非零向量 使 则叫做的特征值 叫做的属于特征值的特征向量 3 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 矩阵的特征值与特征向量的性质 2 特征值的几何重数不大于它的代数重数 1 一个特征向量不能属于不同的特征值 4 设是的个互不同的特征值 的几何重数为 是对应于的个线性无关的特征向量 则的所有这些特征向量仍然是线性无关的 5 设阶方阵的特征值为 则 1 2相似对角化定义 设 若存在使得则称相似矩阵的性质 相似矩阵有相同的特征多项式 有相同的特征值 有相同的行列式值 有相同的秩 有相同的迹 有相同的谱 定理 阶矩阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量 定理 阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数 例1判断矩阵是否可以对角化 解 先求出的特征值 于是的特征值为 二重 由于是单的特征值 它一定对应一个线性无关的特征向量 下面我们考虑 于是从而不相似对角矩阵 1 3Jordan标准形介绍 1 5向量的内积 内积的性质 解 根据定义可知 例在中求下列向量的长度 定义 长度为1的向量称为单位向量 对于任何一个非零的向量 向量是单位向量 称此过程为单位化 定义 如果 则称与正交 定义设为一组不含有零向量的向量组 如果内的任意两个向量彼此正交 则称其为正交向量组 定义如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量 则称此向量组为标准正交向量组 与向量组都是标准正交向量组 例在中向量组 定理 正交的向量组是一个线性无关的向量组 反之 由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组 甚至是一个标准正交向量组 Schmidt正交化与单位化过程 设是个线性无关的向量 利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组 第一步正交化 容易验证是一个正交向量组 第二步单位化显然是一个标准的正交向量组 例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组 解 先正交化 再单位化 那么即为所求的标准正交向量组 定义 设为一个阶复矩阵 如果其满足则称是酉矩阵 一般记为设为一个阶实矩阵 如果其满足则称是正交矩阵 例 是一个正交矩阵 是一个正交矩阵 是一个正交矩阵 5 设且 如果则是一个酉矩阵 通常称为Householder矩阵 是一个酉矩阵 酉矩阵与正交矩阵的性质 设 那么 定理 设 是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列 或行 向量组是标准正交向量组 1 6酉相似下的标准形定义 设 若存在 使得则称酉相似 或正交相似 于定理 Schur引理 任何一个阶复矩阵酉相似于一个上 下 三角矩阵 证明 用数学归纳法 的阶数为1时定理显然成立 现设的阶数为时定理成立 考虑的阶数为时的情况 取阶矩阵的一个特征值 对应的单位特征向量为 构造以为第一列的阶酉矩阵 因为构成的一个标准正交基 故 因此 令那么 其中是阶矩阵 根据归纳假设 存在阶酉矩阵满足 上三角矩阵 注意 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值 试求酉矩阵使得为上三角矩阵 解 首先求矩阵的特征值 例 已知矩阵 所以为矩阵的三重特征值 当时 有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量 再解与内积为零的方程组求得一个单位解向量取 计算可得 再求矩阵的特征值所以为矩阵的二重特征值 当时 有单位特征向量 令 再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量 取计算可得 令于是有 矩阵即为所求的酉矩阵 正规矩阵定义 设 如果满足 则 那么称矩阵为一个正规矩阵 设 如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵 例 1 为实正规矩阵 2 其中是不全为零的实数 容易验证这是一个实正规矩阵 3 这是一个正规矩阵 4 Hermite阵 反Hermite阵 正交矩阵 酉矩阵 对角矩阵都是正规矩阵 引理1 设是一个正规矩阵 则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵 引理2 设是一个三角矩阵 则是正规矩阵的充要条件是为对角矩阵 由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理 设 则是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵使得 正规矩阵的性质与结构定理 其中是矩阵的特征值 推论 阶正规矩阵有个线性无关的特征向量 例1 设求正交矩阵使得为对角矩阵 解 先计算矩阵的特征值 其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化 得到两个标准正交向量 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求正交矩阵且有 例2 设 求酉矩阵使得为对角矩阵 解 先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系 现在将单位化 得到一个单位向量 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求酉矩阵且有 推论 1Hermite矩阵的特征值为实数 反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数 2实对称矩阵的特征值为实数 实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数 3是正规矩阵 是的特征值 是对应的特征向量 则是的特征值 对应的特征向量仍为 4是正规矩阵 则属于不同特征值的特征向量正交 例 设是一个阶Hermite阵且存在自然数使得 证明 证明 由于是正规矩阵 所以存在一个酉矩阵使得 于是可得从而这样 即 Hermite正定矩阵定义 设是Hermite矩阵 如果对任意的都有则称为Hermite正定矩阵 半正定矩阵 定理 设是Hermite矩阵 则下列条件等价 1 A是Hermite正定矩阵 2 A的特征值全为正实数 3 存在矩阵 使得 定理 设是Hermite矩阵 则下列条件等价 1 A是Hermite半正定矩阵 2 A的特征值全为非负实数 3 存