三角函数模型的应用

4 5 三角函数模型的应用三角函数模型的应用 1 如果某种变化着的现象具有周期性 那么它就可以借助 来描述 2 三角函数作为描述现实世界中 现象的一种数学模型 可以用来研究很多问题 在刻画周期变化规 律 预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用 具体的 我们可以利用搜集到的数据 作出相应的 散点图 通过观察散点图并进行 而获得具体的函数模型 最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 3 y 是以 为周期的波浪形曲线 sinx 4 太阳高度角 楼高 h0与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系 自查自纠 1 三角函数 2 周期 函数拟合 3 4 h0 htan 已知某人的血压满足函数解析式 f t 24sin160 t 110 其中 f t 为血压 mmHg t 为时间 min 则此人每分 钟心跳的次数为 A 60 B 70 C 80 D 90 解 由题意可得 f 80 所以此人每分钟心跳的次数为 80 故选 C 1 T 160 2 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所 组成 该八边形的面积为 A 2sin 2cos 2 B sin cos 3 3 C 3sin cos 1 3 D 2sin cos 1 解 四个等腰三角形的面积之和为 4 1 1 sin 2sin 再由余弦定理可得正方形的边长为 1 2 故正方形的面积为 2 2cos 所以所求八边形的面积为 12 12 2 1 1 cos 2 2cos 2sin 2cos 2 故选 A 在 100 m 的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 60 则塔高为 A m B m 200 3 200 3 3 C m D m 100 3 3 100 3 解 如图 设塔高为 h m 则有 100tan30 100 h tan60 h m 故选 A 200 3 已知某种交流电电流 I A 随时间 t s 的变化规律可以拟合为函数 I 5sin t 0 则这种 2 100 t 2 交流电在 0 5 s 内往复运动的次数为 次 解 f 50 1 T 2 100 2 0 5 s 内往复运动的次数为 0 5 50 25 故填 25 某市的纬度是北纬 21 34 小王想在某住宅小区买房 该小区的楼高 7 层 每层 3 m 楼与楼之间相距 15 m 要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡 最低应该选择第 层的房 地球上赤道南北各 23 26 处的纬线分别叫南北回归线 冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上 解 设最低高度为 h0 则由题意知 太阳的高度角为 90 45 15 得 21 34 23 26 21 h0 tan45 h0 6 最低应选在第 3 层 故填 3 类型一类型一 建立三角模型建立三角模型 如图 某大风车的半径为 2 m 每 12 s 旋转一周 它的最低点 O 离地面 0 5 m 风车圆周上一点 A 从 最低点 O 开始 运动 t s 后与地面的距离为 h m 1 求函数 h f t 的关系式 2 画出函数 h f t 的图象 解 1 如图 以 O 为原点 过点 O 的圆 O1的切线为 x 轴 建立直角坐标系 设点 A 的坐标为 x y 则 h y 0 5 设 OO1A 则 cos 2 y 2 y 2cos 2 又 t 2 12 t 6 所以 y 2cos 2 h f t 2cos 2 5 t 6 t 6 2 列表 t036912 h0 52 54 52 50 5 描点连线 即得函数 h 2cos t 2 5 的图象如图所示 6 点拨 本题主要考查三角函数的图象和性质 以及由数到形的转化思想和作图技能 建立适当的直角坐标系 将现实 问题转化为数学问题 是解题的关键 为了研究钟表与三角函数的关系 建立如图所示的坐标系 设秒针尖指向位置 P x y 若初始位置 为 P0 秒针从 P0 注 此时 t 0 开始沿顺时针方向走动 则点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 3 2 1 2 A y sin 30t 6 B y sin 60t 6 C y sin 30t 6 D y sin 30t 6 解 由题意 函数的周期为 T 60 设函数解析式为 y sin 秒针是顺时针走 2 60 30 30t 0 2 动 初始位置为 P0 t 0 时 y sin 可取 函数解析式为 y sin 故选 C 3 2 1 2 1 2 1 2 6 30t 6 类型二类型二 根据解析式建立图象模型根据解析式建立图象模型 画出函数 y cosx 的图象并观察其周期 解 函数图象如图所示 从图中可以看出 函数 y cosx 是以 为周期的波浪形曲线 我们也可以这样进行验证 cos x cosx cosx 所以 函数 y cosx 是以 为周期的函数 点拨 利用函数图象的直观性 通过观察图象而获得对函数性质的认识 这是研究数学问题的常用方法 弹簧挂着的小球作上下振动 时间 t s 与小球相对平衡位置 即静止时的位置 的高度 h cm 之 经典题 间的函数关系式是 h 2sin 2t t 0 4 1 以 t 为横坐标 h 为纵坐标 画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 2 小球开始振动的位置在哪里 3 小球最高点 最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少 4 小球经过多长时间往复振动一次 5 小球 1s 能振动多少次 解 1 画出 h 2sin的简图 长度为一个周期 2t 4 按五个关键点列表 t 8 3 8 5 8 7 8 9 8 2t 4 0 2 3 2 2 2sin 2t 4 020 20 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 即得 h 2sin t 0 在一个周期的简图 如图所示 2t 4 2 t 0 时 h 2sin 即小球开始振动时的位置为 0 平衡位置的下方cm 处 4 222 3 t k k N 时 h 2 t k k N 时 h 2 即最高点位置 最低点位置 3 8 7 8 3 8 k 2 k N 最高点 最低点到平衡位置的距离均为 2cm 7 8 k 2 4 小球往复振动一次所需时间即周期 T 3 14 s 2 2 5 小球 1s 振动的次数为频率 f 0 318 次 s 1 T 1 1 3 14 类型三类型三 三角函数拟合三角函数拟合 受日月引力影响 海水会发生涨落 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近船坞 卸货后 在不 至搁浅时返回海洋 某港口水的深度 y 米 是时间 t 0 t 24 单位 时 的函数 记作 y f t 下面是该港口在某 季节每天水深的数据 t 时 03691215182124 y 米 10 0 13 09 97 010 0 13 0 10 17 010 0 1 根据以上数据 求出函数 y f t 的近似表达式 2 一般情况下 船舶航行时 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的 船舶停靠时 船底只需不碰 海底即可 某船吃水深度 船底离水面距离 为 6 5 米 如果该船在同一天内安全进出港 问它至多能在港内停留多 长时间 忽略进出港所需的时间 解 1 根据数据画出散点图 根据图象 可考虑用函数 y Asin t h 刻画水深与时间之间的对应关系 则周期 T 12 振幅 A 3 h 10 y 3sin t 10 0 t 24 6 2 由题意 该船进出港时 水深应不小于 5 6 5 11 5 米 即 3sin t 10 11 5 sin t 2k t 2k k Z 0 t 24 12k 1 t 12k 5 k Z 在同一天内取 6 6 1 2 6 6 5 6 k 0 或 1 则 1 t 5 或 13 t 17 所以该船最早能在凌晨 1 时进港 最晚下午 17 时出港 在港口最多停留 16 小时 点拨 1 这是一道根据生活中的实例编拟的题目 由表中数据抽象出数学问题 求解析式 解不等式 从而得出船在 港内最多停留的时间 这一过程体现了数学建模的思想 2 许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数 再结合几个关键数据求出解析式 某 帆板 集训队在一海滨区域进行集训 该海滨区域的海浪高度 y 米 随着时间 t 0 t 24 单位 时 而周期性变化 每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表 t 时03691215182124 y 米 1 01 41 00 61 01 40 90 51 0 1 试画出散点图 2 观察散点图 从 y at b y Asin t b y Acos t 中选择一个合适的函数模型 并求出该拟合 模型的解析式 3 如果确定在白天 7 时 19 时当浪高不低于 0 8 米时才进行训练 试安排恰当的训练时间 解 1 2 由 1 知选择 y Asin t b 较合适 由图知 A 0 4 b 1 T 12 所以 把 t 0 y 1 代入 y 0 4sin t 1 得 0 所以所求的解析式为 2 T 6 6 y 0 4sin t 1 0 t 24 6 3 由 y 0 4sin t 1 0 8 得 sin t 6 6 1 2 则 2k 2k k Z 6 t 6 7 6 即 12k 1 t 12k 7 所以 0 t 7 或 11 t 19 或 23 t 24 即应安排在 11 时到 19 时训练较恰当 1 三角函数模型的三种模式 在现实生活中 许多变化的现象都具有周期性 因此 可以用三角函数模型来描述 如 气象方面有温度的变 化 天文学方面有白昼时间的变化 物理学方面有各种各样的振动波 生理方面有人的情绪 智力 体力变化 等 研究这些应用问题 主要有以下三种模式 给定呈周期变化规律的三角函数模型 根据所给模型 结合三角函数的性质 解决一些实际问题 给定呈周期变化的图象 利用待定系数法求出函数 再解决其他问题 搜集一个实际问题的调查数据 根据数据作出散点图 通过拟合函数图象 求出可以近似表示变化规律的函 数式 进一步用函数性质来解决相应的实际问题 2 三角函数应用问题解题流程 三角函数应用题通常涉及生产 生活 军事 天文 地理和物理等实际问题 利用三角函数的周期性 有界性 等 可以解决很多问题 其解题流程大致是 审读题目 理解题意 设角 建立三角函数模型 分析三角函数的性 质 解决实际问题 其中根据实际问题的背景材料 建立三角函数关系 是解决问题的关键 3 将图象和性质赋予实际意义 在解决实际问题时 要具体问题具体分析 充分运用数形结合的思想 灵活运用三角函数的图象和性质 1 如图 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s 6sin 那么单摆来回摆动一次所需的时间为 2 t 6 A 2 s B s C 0 5 s D 1 s 解 T 1 来回摆动一次所需时间即为一个周期 故选 D 2 2 2 电流强度 I 安 随时间 t 秒 变化的函数 I Asin A 0 0 0 的图象如图所示 则 t 秒时 t 2 1 100 电流强度 I A 5 安 B 5 安 C 5安 D 10 安 3 解 由图知 A 10 T 2 100 I 10sin 4 300 1 300 1 50 2 T 2 1 50 100 t 由于图象过点 代入解析式得 1 300 10 10 10sin 100 1 300 即 sin 1 从而 2k 2k k Z 3 3 2 6 0 I 10sin 2 6 100 t 6 当 t 时 I 10sin 5 故选 A 1 100 100 1 100 6 3 动点 A x y 在圆 x2 y2 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 12 秒旋转一周 已知时间 t 0 时 点 A 的坐标是 则动点 A 的纵坐标 y 关于 t 单位 秒 的函数表达式为 1 2 3 2 A y sin t B y sin 6 6t 3 C y sin t D y sin 3 3t 6 解 该函数的最小正周期 T 12 可设此函数为 y sin 又当 t 0 时 点 A 的坐标为 2 T 6 6t 所求函数表达式为 y sin 故选 B 1 2 3 2 6t 3 4 如图为一半径是 3 m 的水轮 水轮圆心 O 距离水面 2 m 已知水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈 水轮上的 点 P 到水面距离 y m 与时间 x s 满足函数关系 y Asin x 2 则有 A A 3 B A 3 2 15 15 2 C A 5 D A 5 2 15 15 2 解 水轮上最高点距离水面 r 2 5 m 即 A 2 5 A 3 又 水轮每秒钟旋转 rad 角速度 8 60 2 15 故选 A 2 15 5 如图 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 P0 角速度为 1 那么点 P 到 x 22 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 解 据点 P0的坐标可得 xOP0 故 xOP t 设点 P x y 则由三角函数的定义 可得 4 4 sin xOP 即 sin 故 y 2sin 因此点 P 到 x 轴的距离 d 2 据解析式可得 C 选 y r t 4 y 2 t 4 y sin t 4 项图象符合条件 故选 C 另用排除法易选 C 6 已知函数 y f x 的图象如图所示 则函数 y fsinx 在 0 上的大致图象是 2 x 解 当 0 x 时 0 x 显然 y fsinx 0 排除 C D 当 x 时 x 0 显然 2 2 2 2 x 2 2 2 y fsinx 0 排除 B 所以只有 A 符合题意 故选 A 2 x 7 某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm 秒针均匀地绕点 O 旋转 当时间 t 0 时 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 将 A B 两点间的距离 d表示成 t 的函数 则 d 其中 t cm s 0 60 解 如图所示 OA OB 5 秒针由 B 均匀地旋转到 A 的时间为 t 则 AOB t 取 AB 中点为 C cm s 30 则 OC AB 从而 AOC AOB t 1 2 60 在 Rt AOC 中 AC OAsin AOC 5sint 60 d AB 10sint t 故填 10sint 60 0 60 6 60 0 8 如图 塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 m 从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 45 和 60 则塔高 AB m 楼高 CD m 精确到 0 01 m 参考数据 1 41421 1 73205 23 解 在 Rt ABD 中 BD 80 m BDA 60 AB BD tan60 80 138 56 m 3 在 Rt AEC 中 EC BD 80 m ACE 45 AE CE 80 m CD BE AB AE 80 80 58 56 m 3 塔 AB 的高约为 138 56 m 楼 CD 的高约为 58 56 m 故填 138 56 58 56 9 如图所示 在直径为 1 的圆 O 中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中 y x 0 将十字形的 面积表示为 的函数 解 设 S 为十字形的面积 则 S 2xy x2 2sin cos cos2 4 2 10 已知 如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I Asin t t 0 的图象 2 2 1 试根据图象写出 I Asin t 的解析式 2 为了使 I Asin t 中 t 在任意一段秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值与最小值 那么正 1 100 A A 整数 的最小值是多少 解 1 由图知 A 300 T 1 60 1 300 1 50 100 2 T 2 1 50 2k k Z 2k 2k