概率论期末复习试题二

概率论与数理统计试题概率论与数理统计试题 11 级计算机大队二区队 1 1 选择题 选择题 1 假设事件A与事件B互为对立 则事件AB A 是不可能事件 B 是可能事件 C 发生的概率为 1 D 是必然事件 答案 A A 这是因为对立事件的积事件是不可能事件 2 某人睡午觉醒来 发现表停了 他打开收音机想听电台整点报时 则他等待 的时间小于 10 分钟的概率是 A B C D 1 6 1 12 1 60 1 72 答案 A A 以分钟为单位 记上一次报时时刻为 0 则下一次报时时刻为 60 于 是 这个人打开收音机的时间必在 0 60 内 记 等待时间短于分 钟 为事件 A 则有 S 0 60 A 50 60 所以 P A A S 10 60 1 6 3 设连续型随机变量 X Y 的两个分量 X 和 Y 相互独立 且服从同一分布 问 P XY A 0 B C D 1 1 2 1 4 答案 B B 利用对称性 因为 X Y 独立同分布 所以有 P XY P YX 而 P XY P YX 1 所以 P XY 1 2 4 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 F x y 分布律如下 则 F 2 3 A 0 B C D 1 4 7 16 9 16 答案 D D F 2 3 P X2 Y3 P X 1 Y 1 P X 1 Y 2 P X 1 Y 3 P X 2 Y 1 P X 2 Y 2 P X 2 Y 3 0 0 0 1 4 1 16 1 4 XY1234 1 1 4 00 1 16 2 1 16 1 4 0 1 4 30 1 16 1 16 0 9 16 5 下列命题中错误错误的是 A 若 则 X p XDXE B 若服从参数为的指数分布 则 X 1 XDXE C 若 则 X b 1 1 XDXE D 若服从区间 上的均匀分布 则 Xba 3 22 2 baba XE 答案 B B 2 XDXE 6 设服从二维正态分布 则下列条件中不是相互独立的充分必要条 YX YX 件是 A 不相关 B YX YEXEXYE C D 0 cov YX 0 YEXYE 答案 D D 当服从二维正态分布时 不相关性独立性 若服从一 YX YX 般的分布 则相互独立不相关 反之未必 YX YX 7 已知总体 X 服从 0 上的均匀分布 未知 X X X X 123 的样 本 则 n 11 2 12 1 11 A B EX n2n 1 CX XD DX n nn ii ii n i i XX X 是一个统计量 是一个统计量 是一个统计量 是一个统计量 答案 C C 统计量的定义为 样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样 本的统计量 而 A B D 中均含未知参数 22 123n 2 2 2 X NXXXX XXS X AX NBU N n n X CT tn 1D XS S n XSD 8 设总体 是取自的一个样本 与 分别为该样本的样本均值与样本差 则下面 是错的 0 1 与不独立 解 对于但正态总体来说 与是相互独立的 故 错 9 设函数 则 F x 是 0 x0 Fxx 3 0 x2 1 x2 A 是某随机变量的分布函数 B 是离散型随机变量的分布函数 C 是连续型随机变量的分布函数 D 不是某随机变量的分布函数 答案 A A 10 某班级要从 4 名男生 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求 至 少有 1 名女生 那么不同的选派方案种数为 A 48 B 24 C 28 D 14 答案 D D 由题意得 如果要求至少有 1 名女生的选派方案种数为 C C C C 1 2 3 4 2 2 14 种 2 4 2 2 填空题 填空题 1 已知P A 0 6 P B A 0 3 则P AB 答案 0 180 18 由乘法公式P AB P A P B A 0 6 0 3 0 18 2 三个人独立地向一架飞机射击 每个人击中飞机的概率都是 0 4 则飞机被 击中的概率为 答案 0 7840 784 是因为三人都不中的概率为 0 6 0 216 则至少一人中的概 3 率 就是 1 0 216 0 784 3 若 X Y 的分布律为 YX123 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 ab 则 a b 应满足的条件是 答案 由分布律的性质可知 a b 1 则 a b a b 1 6 1 9 1 18 1 3 1 3 4 设随机变量 X 与 Y 相互独立 下表列出了二维随机变量 X Y 的联合分布 律 及关于 X 与 Y 的边缘分布律中的部分数值 试将其它数值填入表中的空 白处 解 由边缘概率分布的定义知 P P P 111 21 1 6 1 8 1 24 又由 X 与 Y 相互独立 有 P P P P 1 24 111 1 1 1 6 故 P 1 1 4 从而 P 又由 P P P 即 13 1 4 1 24 1 8 121 2 P 1 8 1 4 2 从而 P 类似的有 2 1 2 P P P 所以 3 1 3 13 1 4 2 3 4 XYY 1 Y 2 Y 3 Y 4 X1 1 24 1 8 1 12 1 4 X2 1 8 3 8 1 4 3 4 XY Y1Y2Y3Pi X1 1 8 X2 1 8 P j 1 6 1 P j 1 6 1 2 1 3 1 5 是相互独立的随机变量 且都服从正态分布 N 1 X 2 X n X 2 则服从的分布是 且 0 X n i i X n 1 1 XE XD 答案 正态分布 正态分布 n 2 6 设总体服从参数为 2 的指数分布 为来自总体的X 1 X 2 X n XX 一个样本 则当时 依概率收敛于 n n Y n i i X n 1 2 1 答案 1 2 7 两个骰子的点数分别为 b c 则方程 x2 bx c 0 有两个实数根的概率为 解 共有 6 6 36 种结果 方程有解 则 b 4c 0 即 b 4c 满足 19 36 22 条件的数记为 b 4c 共有 4 4 9 4 9 8 16 4 16 8 2 16 12 16 16 25 4 25 8 25 12 25 16 25 20 25 24 36 4 36 8 36 12 36 16 36 20 36 24 19 个结果 8 若书架上放有中文书 5 本 英文书 3 本 日文书 2 本 由书架上抽出一本 外文书的概率为 解 1 2 书架上共有 5 3 2 本书 其中外文书有 3 2 本 则由书架上抽 出一本外文书的概率为 5 10 1 2 123n n 22 in i 11 2 n 3 XBXXXX 100 11 X XS nn EX ES 333397291 X BEX DX 100100101001001000 EX EX n i i XX 9 设总体服从二项分布 10 为来自该总体的简 单随机样本 与分别表示样本均值和样本二阶中心 矩 则 解 由 10 得 10 10 所以 2 n 3n 1291 n ES DX 10n1000n 1 三 应用题 三 应用题 1 一个袋内有 5 个红球 3 个白球 2 个黑球 任取 3 个球恰为一红 一白 一黑的概率为多少 古典概型 解 设事件 A 为 任取 3 个球恰为一红 一白 一黑 由古典概型计算得所求概率为 P A 3 10 5 3 21 0 25 4C 2 有两个口袋 甲袋中盛有两个白球 一个黑球 乙袋中盛有一个白球 两个 黑球 由甲袋任取一个球放入乙袋 再从乙袋中取出一个球 求取到白球的概 率 事件的独立性与条件概率 解 设从甲袋取到白球的事件为A 从乙袋取到白球的事件为B 则根据全概 率公式有 21115 0 417 323412 P BP A P B AP A P B A 3 设有两种鸡蛋混放在一起 其中甲种鸡蛋单只的重量 单位 克 服从 分布 乙种鸡蛋单只的重量 单位 克 服从分布 设 25 50 N 16 54 N 甲种蛋占总只数的 70 1 今从该批鸡蛋中任选一只 试求其重量超过 55 克的概率 2 若已知所抽出的鸡蛋超过 55 克 问它是甲种蛋的概率是多少 9938 0 5 2 8413 0 1 解 设 B 选出的鸡蛋是甲种鸡蛋 选出的鸡蛋是乙种鸡蛋 B A 选出的鸡蛋重量超过 55 克 X 甲种鸡蛋单只的重量 Y 乙种鸡蛋单只的重量 则 3 0 7 0 BPBP 1587 0 8413 0 1 1 1 5 5055 1 55 1 55 XPXPBAP 0062 09938 0 1 5 2 1 4 4555 1 55 1 55 YPYPBAP 1 BAPBPBAPBPAP 11295 0 0062 0 3 01587 0 7 0 2 9835 0 11295 0 11109 0 AP BPBAP ABP 4 设二维随机变量 X Y 的概率密度函数为 其其它它0 1015 2 yxyx yxf 1 求边缘概率密度函数 yfxf YX 2 求 xyf XY 3 求 1 YXP 解 1 dyyxfxfX 1 2 15 15 10 22 1 2 xxydyxxfx x X 时时 其其它它0 10 1 2 15 22 xxx xfX dxyxfyfY 4 0 2 515 10yydxxyfy y Y 时时 其其它它0 105 4 yy yfY 2 0 10 xfx X 时时 其其它它0 10 1 2 2 yx x y xf yxf xyf X XY 4 64 5 15 1 1 2 2 1 01 x xyx ydyxdxdxdyyxfYXP 5 袋中有 2 个白球 3 个黑球 不放回地连续去两次球 每次取一个 若设随 机变量 X 与 Y 分别为第一 二次取得白球的个数 试求 1 X Y 的联合分布律 2 关于 X 及关于 Y 的边缘分布律 3 求 X 1 时 Y 的条件概率密度 4 判断 X 与 Y 是否相互独立 解 1 2 由题目知 X Y 的所有可能取值为 0 0 0 1 1 0 1 1 且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律 见下表 XY01P i 0 6 20 6 20 3 5 1 6 20 2 20 2 5 P j 3 5 2 5 3 P Y 0 X 1 P X 1 Y 0 P X 1 6 20 3 5 3 4 P Y 1 X 1 PX1Y1 P X 1 2 20 2 5 1 4 4 由于 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 故 X 与 Y 不相 6 20 9 25 互独立 6 已知 X Y 的分布律如下表所示 XY012 0 1 4 1 8 0 10 1 3 0 2 1 6 0 1 8 试求 1 在 Y 1 的条件下 X 的条件分布律 2 在 X 2 的条件下 Y 的条件分布律 解 1 2 由联合分布律得关于 X 与 Y 的两个边缘分布律为 X012 P k 3 8 1 3 7 24 Y012 P k 5 12 11 24 1 8 故在 Y 1 条件下 X 的条件分布律为 X Y 1 012 P k 3 11 8 11 0 2 由 1 的分析知 在 X 2 的条件下 Y 的条件分布律为 Y X 1 012 P k 4 7 0 3 7 7 设总体 X 服从泊松分布 一个容量为 10 的样本值为 1 2 4 3 3 4 5 6 4 8 计算样本均值 样本方差和经验分布函数 解 由题意知 样本的频率分布为 X 1 2 3 4 5 6 8 m n1 10 1 102 103 101 101 101 10 则 4 S 4 X 2 经验分布函数为 0 x1 1 1x2 10 2 2x 3 10 4 34 10 Fx7 45 10 8 56 10 9 68 10 1 8 X X X X X 8 某车间准备从 10 名工人中选配 4 人到某生产线工作 为了安全生产 工厂 规 定 一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人 已知这 10 名工人中熟练工 8 名 学徒工 2 名 1 求工人的配置合理的概率 2 为了督促其安全生产 工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次 抽 检 求两次检验得到结果不一致的概率 解 1 从从 10 名工人中选配 4 人共有 C 210 种可能 而一条生产线上熟 4 10 练 工人数不得少于 3 人共有 C C C C 56 种 所以工人的配置合理 3 8 1 2 4 8 0 2 的概 率为 56 210 13 15 2 两次检验是相互独立的 可视为独立重复试验 因两次检验得出工人 的 配置合理的概率均为 13 15 故两次检验中恰好有一次合理的概率 为 C 1 1 2 13 15 13 15 52 225 9 设 A x y 1 x 6 1 y 6 x y N 1 求从 A 中任取一个元素是 1 2 的概率 2 从 A 中任取一个元素 求 x y 10 的概率 解 1 分别从 X Y 各抽出一个元素都有 6 种可能 则共有 6 6 36 种结果 其中抽到元素 1 2 的可能有一种 所以从 A 中任取一个元素是 1 2 的概率为 1 36 2 随意抽到结果为 X Y 10 的元素可能结果为 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 共有 6 种 所以从 A 中任取一个元素 求 x y 10 的概率为 1 6 246 2 222222 2 2 XX 1 X X 2 4 6 P