微分方程数值方法习题二

微分方程数值方法微分方程数值方法 常微分方程初值问题习题一常微分方程初值问题习题一 1 对初值问题 0 0 u baxu 分别写出 Euler 法和改进的 Euler 法的近似解 的表达式 并 m u 求它们与真解 的差 bxaxxu 2 2 1 mm uxu 2 取步长 分别用 Euler 法和改进的 Euler 法求下列初值1 0 h 问题的解 并与真解相比较 1 1 0 10 2 u x u x uu 真解 xxu21 2 2 1 21 2 2 u x u x x u u 真解 3 1 ln38 xxxu 3 1 1 5 11 22 2 u x u x x u u 真解 3 1 2 2 3 34 xxxu 3 用 Euler 法计算 在 0 2 的近似值 dte x t 0 2 1 0 x 4 取步长 用四阶 Runge Kutta 法解2 0 h 1 0 10 u xxuu 并与真解 相比较 12 xexu x 5 设 关于 满足 Lipschitz 条件 证明 N 级 Runge Kutta uxfu 法中的增量函数 关于 也满足 Lipschitz 条件 hux u 6 对初值问题 1 0 1 u xuu 写出四阶 Taylor 级数法和四阶 Runge Kutta 法的计算公式 它 们是否相同 7 证明改进的 Euler 法的绝对稳定区间是 2 0 8 证明 当 满足 hh 1 2462 1 432 hhh h 时 四阶 Runge Kutta 法绝对稳定 9 用 Tayor 展开确定下面多步法中的系数 使其阶尽可能高 并 求局部截断误差的主项 1 101211 mmmm fhuauau 2 1211 mmmm ffhuu 3 12110121 mmmmm fffhuau 10 对初值问题 10000 uxuuxu uxfu 确定求解公式 2 12110 2 11 mmmmmm fffhuuu 中的系数 与局部截断误差主项 0 1 2 11 求公式 3 2 3 2 3 4 1mmmmmmmm uxhfuhxfuxf h uu 的阶和局部截断误差 12 取步长 用四阶 Adams 方法的的预测 校正公式 72 1 0 h 解初值问题 1 0 10 u xxuu 并与真解 相比较 12 xexu x 13 讨论下列公式的相容性 稳定性 和绝对稳定性 1 24 54 111 mmmmm ffhuuu 2 2 8 3 9 8 1 1121 mmmmmm fffhuuu 14 求 使线性多步法 1 3 2 1 112mmmmm ff h uuu 是相容的和稳定的 15 证明三阶 Adams 内插公式 85 12 111 mmmmm fff h uu 的绝对稳定区间是 6 0 16 证明中点公式 90 是 A 稳定的 17 求下列方程组的刚性比 若用四阶 Adams 内插公式求解时 最 大步长应小于多少 1 2 0 0 0 25 100075 9992000 vu vuv vuu 2 2 0 1 0 2 0 200150 50 9 491 0 vu v vv vuu 18 把下列高阶方程化为一届方程组 并写出它们的 Euler 公式和 四阶 Runge Kutta 公式 1 2 1 0 0 0 4 2 uu xxuu 1 1 1 2 2 11 2 eueu u x uu 椭圆型方程的差分法习题三椭圆型方程的差分法习题三 1 用五点差分格式解下列椭圆型方程边值问题 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 22 xxxu yyu yx xxu yu u 取 真解 3 1 hxyxu 2 2 9 3 9 3 3 0 0 0 0 2 2 2 2 xxu yyu yx xxu yyu u 取 真解 1 h 22 yxu 3 0 1 0 2 3 sin 2 3 sin 9 u yxyxu 取 3 1 h 4 sin 1 1 0 sin 1 0 0 0 sin 22 xxu yx yyu xuyu xyyxu 取 真解 10 1 h sin xyu 5 3 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 22 xu y u yx y u x u yyu yxu y y x 取 真解 10 1 h 22 yxu 2 证明公式 34 3 证明 对矩形网格 用积分守恒形式 32 导出的差分方程与五 点差分格式 8 相同 4 证明三角形网格的差分方程 33 满足条件 36 5 证明 若 则差分方程 0 hij id hi hiih iu iguL 0 的解满足 h jj j j i i d g u h max 其中由式 35 定义 h L 6 对椭圆型方程 fqu y u p yx u p x 设 证明 1 Cyxp Cyxfyxq0 0 yxqyxp 1 五点差分方程 ijijijjiij ji ijji ji jiij ji ijji ji ijh fuquupuup uupuup h uL 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 的截断误差为 22 hO 2 差分方程的系数满足条件 36 抛物型方程的差分法习题四抛物型方程的差分法习题四 1 上机题 对下列定解问题 0 4 0 4 cos21 4 sin 0 0 4 2 2 2 tutu xxxu x u t u 0 40 0 40 t x tx 取分别用古典显格式 古典隐格式和 Crank 04 0 2 0 h Nicolson 格式计算 时的近似解 并与精确解4 0 t 比较 xexetxu t t 4 sin 2 sin 4 2 上机题 对定解问题 0 1 0 1 sin 0 2 2 2 tutu xxxxu x u t u 0 10 0 10 t x tx 取 用双层加权平均格式 分别取计 01 0 1 0 h 12 5 2 1 1 算时的近似值 并与精确解比较 25 0 t 1 sin 2 xxxetxu t 3 对于扩散方程 0 2 2 a x u a t u 1 试求 Du Fort Frankel 格式 2 1 11 1 11 2h uuuu a uu k j k j k j k j k j k j 的截断误差 2 试求加权三层差分格式 12 2 11 1 k jx k j k j k j k j u h a uuuu 的截断误差 并证明当时 截断误差的阶最高 r12 1 2 1 42 hO 3 试求双向加权对称格式 212 1 6 5 12 1 212 2 1 1 1 1 1 1 1 k jx k jx k j k j k j k j k j k j uu h a uuuuuu 的截断误差 4 试构造变系数抛物型方程 sin1 0 2 x u x xt u 的一个二阶精度差分格式 5 证明习题 3 2 3 中给出的两种差分格式均是绝对稳定的 6 证明求解习题 3 中的扩散方程的 Saul ev 格式 1957 1 1 122 1 12 1 1 1 1 1 k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j uuuuaruu uuuuaruu 是绝对稳定的 2 0 h ra 7 对于二维扩散方程 试证明向后差分格式 2 2 2 2 y u x u a t u 12121 k ijy k ijx k ij k ij uuaruu 和