数值计算原理部分试题

标 题 还是出个回忆版吧 师弟师妹小心了 高数分 小白的 发信站 水木社区 Tue Jan 10 17 46 47 2006 站内 唔 后天还要考门数学 释放一下内存 不然等会就忘光了 小题很一般了 1 1 1 2 1 2 1 求 2 范数和 cond2 2 上题的 QR 分解 后面是几题判断题 要求写出对错和原因 题不记得了 但不难 与往年差不多 本来准 备做完后将题录下来的 可是实在没时间了 以下的小题顺序不一定对 du dt u u u u u u 问哪个是稳态的哪个不是 矩阵如果可以相似对角化 就一定可以求解特征值 其条件数等于求矩阵解的条件数 cond 判断 多重网格是解椭圆方程的最优方案 其特点是用粗网格消去高频分量 细网格消去低频分 量 判断 f x f x1 x2 x3 x1x2 x2x3 x3 2 x2 x3 临界点 临界值 正则点 正则值 不完全 LU 分解用于用 Gauss 消去法求解稀疏阵 判断 就记得这么多了 大题 4 1 1 1 2 1 1 1 3 用初值 q1 1 3 2 3 2 3 进行 lanczos 分解 数据是回忆的 不一定对 一个函数 x 表达示不记得了 问 1 证明 x 是其解 送分的 代入就行 2 写出 Newton 法迭代式 很容易写 3 写出当 x0 时用 newton 法的 x1 总体很常规 不难 A 4 1 1 1 1 2 问 1 svd 分解 2 求 A 3 求 r A 送分的 4 证明题 zm 属于 krylov 空间 Km r0 Ar0 A 2r0 Lm AKm Ar0 A 2r0 A 3r0 证明 r0 Azm v 0 v 属于 Lm r0 Azm min r0 Az 其中 z 属于 Km 比较简单 书上有的 5 一题变分的 要求证明两个问题等价 好像是 d4u dx4 f x 变分为一个边值和一阶边 值为零的问题 具体记不清了 因为没时间 只看了看 但也不是太难 可用分部积分算 算 应该可以做出来 在 armroe 光明使徒 鐵甲無敵阿姆羅 高達第一 的大作中提到 题量大 计算难 光 lanczos 和 svd 分解就计算一个多小时 最后十分钟才证明了倒数第二题 最后一道简单的证明题看着做不了 svd 还没全算出来 一共才做了 80 多分的题 唉 小结 考试时间基本不够用 至少没有人能提前交卷 一些计算技巧可以节省时间 如第一小题 对于对称阵的 2 范数不必算 A A 因为 A A 所以 A A 的特征值是 A 特征值 平方 如此题为 3 2 和 1 2 所以 2 范数就是 sqrt p A A 3 2 A 1 的 2 范数就是 A 特征值 的倒数的 P 这里为 1 2 的倒数 所以是 2 cond2 2 3 2 3 也就是只求 A 的特征值就够 解两个问题了 QR 分解在这二阶情况下用 Givens 要比 Household 容易 对于一般分解如 lanczos 和 svd 假设参数后代入原始方程计算 往往能从数据的比较中快 速求解若干参数 对解题有很大好处 不一定按部就班按书上推的公式做 那是给老实又 死板机器做的 人要聪明一些 标 题 数值分析 A 郑春雄 附答案板 发信站 水木社区 Tue Jan 10 17 26 10 2006 站内 填空 1 3 14215 是 pi 的几位有效数字 据说是 3 2 f x x 3 x 1 求 f 1 1 1 6 f 0 1 2 3 1 f 0 1 2 3 4 0 3 simpson 的代数精度是几阶 3 4 N C 的系数是 Cnk 求系数和 1 5 1 2 0 1 谱半径 1 条件 1 范数 9 条件 2 范数 3 2sqr 2 条件无穷范数 9 6 1 1 求 f x x 2 的最佳一次平方逼近 1 3 最佳一次一致逼近 1 2 7 X0 X1 Xn 是相异节点 求西格码 lk 0 Xk n 1 1 nX0X1 Xn 计算题 1 积分符号 x 2f x dx Af x0 Bf x1 A x3 1 1 使代数精度最高求 A B x0 x1 x2 A 7 25 B 8 75 X0 sqr 5 7 x1 0 x2 sqr 5 7 2 1 2 1 2 2 3 1 3 0 b 0 3 2 LU 分解接 x 1 1 1 3 2 0 1 0 2 1 1 1 1 householder 变换成准上三角阵 用 givens 变换 第一种原点位移 QR 分解求一步 证明 A 是严格对角占优阵 证明 A 可逆 书上定理 A 1 1 min aii 西格码 aij 无穷范数 6 yn 1 yn h f h 2g t h 3 y fh 3 g t y ft t y ffy t y 研究相容阶与收敛性 三阶相容 收敛 发信人 xylzdxk 逍遥浪子 永远支持国际米兰 天煞孤星 信区 Graduate 标 题 数值分析 A 考试范围陆贾郑交集版 发信站 BBS 水木清华站 Thu Jan 1 22 00 33 2004 转信 说明 前两天我发了个陆老师的考试范围 今天有兄弟给了我贾老师和郑老师的 我就在自习的时候顺便整理了一下交集 由于贾老师有一部分默认要考的内容没有 写在考试范围中 这个交集基本上以陆老师和郑老师的为准 本文纯属个人写作 如有疏漏 概不负责 呵呵 第二章 最佳平方逼近 pade 逼近 gauss 求积 第三章 LU 分解 cholesky 分解 矩阵范数 条件数 扰动方程组误差 Jacobi 法 GS 法 SOR 法 收敛性 收敛速率 CG 法的思想 第四章 压缩映射 不动点与不动点迭代 Newton 迭代 第五章 householder 变换 givens 变换 qr 方法 幂法 第六章 单步法 线性多步法 局部截断误差 方法的阶 收敛性 根条件 零稳定 绝对稳定性 标 题 数值分析 A 考题 发信站 BBS 水木清华站 Sun Jan 4 16 52 45 2004 转信 1 1 求 f x x 区间 1 1 上权函数为 x 1 在 span 1 x2 上的最佳平方逼 近 2 0 1 上权函数为 x 1 求积分公式 Af 0 Bf x1 Cf 1 的参数使得代数精 度尽可能高 2 A 0 3 4 3 0 0 4 0 1 1 求 householder 变换使 A1 PAP 为对称三对角阵 2 用 givens 变换求 A1 的 QR 分解 3 用不带原点位移的 QR 算 A 的特征值 A1 迭代一次得 A2 证明 A2 与 A1 相似 3 不动点迭代 F x 0 F x x1 x2 2 x1 2 x2 等价于 x G x G x x2 2 x1 2 a 证明 D x1 x2 T 0 25 x1 x2 0 25 上 G 有唯一不动点 b 写出 newton 公式 取 x 0 1 1 T 求 x 1 4 初值问题 dy dt y 0 y 0 1 a tn nh 用梯形法求数值解 yn b h 趋于 0 时 证明数值解收敛于准确解 y exp t c 梯形法的局部阶段误差主项 d 梯形法的绝对稳定区域 5 1 A 为 n m 矩阵 列满秩 w 与 ATA 的特征值有什么关系时 x k 1 x k wAT b Ax k 收敛到 ATAx ATb 的唯一解 2 B 为 n 阶方阵 x Bx C 迭代公式 x k 1 Bx k C 若 B 1 且 x k x k 1 1 证明 x x k 6 A 对称正定 x 0 5xTAx xTb p 为非零向量 定义 x p 求 为何值时 最小 证明对此 定义下的 x x p 有 b Ax 与 p 正交 标 题 数值分析 A 考题 郑春雄 2005 1 10 发信站 BBS 水木清华站 Mon Jan 10 18 58 19 2005 站内 1 已知矩阵 2 1 求矩阵的谱半径 条件 1 范数 条件 2 范数 条件无穷范数 0 1 我做的是 2 1 3 sqr 5 3 切比雪夫多项式是 T X 问 T 2x 1 的时候取值范围以及权 我的计算是 0 1 1 sqr 1 2x 1 2 2 已知一个内积的定义 xf x g x dx g f 范围是 0 1 求 x 2 在 0 1 上面的一次最佳平方逼近 3 要求高斯积分 x 1 x f x dx Aif xi 求 N 1 以及 N 2 时的求积节点以及系数 我的答案 随便猜得 N 1 节点为 0 5 sqr 3 6 0 5 sqr 3 6 系数都是 1 12 还是 1 6 记不清楚了 N 2 时 三个节点 0 5 saq 15 10 0 5 0 5 sqr 15 10 三个系数 1 36 1 9 1 36 不知道对不对 4 LU 分解解一个三阶矩阵 5 牛顿迭代法 6 QR 分解以及 HOUSEHOULDER 变换 7 现性多步法 8 单步法求证二阶相容并且绝对稳定 标 题 数值分析 A 考题修改版 杨顶辉老师 07 年 1 月 发信站 水木社区 Tue Jan 16 17 46 01 2007 站内 一共 10 道填空题 5 道大题选做 4 道 填空题 题目没按原来顺序 1 给一个二阶对阵矩阵 计算 A 无穷 cond A 2 2 似乎是 x 1 4 cos 2pi x 3 4 在 0 1 之间有几个根 它是几阶收敛的 我的答案是一个根 就是 1 因为 phi x 0 所以二阶收敛 3 给了一个 5 次方的 legender 多项式 p x 1 8 63x 5 70 x 3 15x 计算积分符号 a x 2 bx c p x dx 积分限 1 1 我的答案是 0 4 给了一个三次样条函数 只要令 s1 1 s2 1 s1 1 s2 1 求出其中两个参数 a b 就行 很简单 5 给了一个 2 2 的正定对称阵 用 Cholesky 分解求 L 也很简单 6 7 两道线性多步法 求阶段误差主项和绝对稳定区间 8 最小二乘拟合 给了 4 个点 x 分别 1 2 3 4 拟合 f a exp bx 给出 a 和 b 数给得很特别 记得 In f 似乎分别是 0 5 1 1 5 2 所以很好算 答案 a 1 b 忘了 9 给了一个三个点的求积公式 其中有两个参数未知 使代数精度尽量高 求这两个参数 并问代数精度是多少 只要令 f x 1 x x 2 就可以求出 很简单 10 给了 f x x 2 2x 1 求出牛顿迭代法的公式 它是几阶收敛的 答案 因为有重根 是 一阶收敛的 大题 1 1 给定 A 3 a a 3 b 1 2 求出 J 法和 GS 法收敛的 a 的取值范围 求出两者收敛速 度之比 答案 a 3 GS 的收敛速度是 J 法的两倍 2 w 1 2 a 1 给出 sor 法的矩阵形式和分量形式 x 0 0 0 求出 x 1 x 2 3 x k 1 x k beta Ax b 求出迭代收敛时 beta 的最大取值范围 最佳的 beta 是多 少 2 1 改进欧拉方法的截断误差主项 是几阶的 二阶的吧 涉及二元泰勒展开 很 烦 2 绝对稳定区间 应该是 2 0 3 y y 那么 h 是多少时稳定 应该是 0 2 3 4 选做 做了第四题 3 非线性方程组 有一问是不动点迭代法 判断是否收敛 还有两问没注意看 4 以前考过的一道题 这题很好算