学到高中的所有数学公式

学到高中的所有数学公式 1 1 每份数每份数 份数 总数份数 总数 总数总数 每份数 份数每份数 份数 总数总数 份数 每份数份数 每份数 2 2 1 1 倍数倍数 倍数 几倍数倍数 几倍数 几倍数几倍数 1 1 倍数 倍数倍数 倍数 几倍数几倍数 倍数 倍数 1 1 倍数倍数 3 3 速度速度 时间 路程时间 路程 路程路程 速度 时间速度 时间 路程路程 时间 速度时间 速度 4 4 单价单价 数量 总价数量 总价 总价总价 单价 数量单价 数量 总价总价 数量 单价数量 单价 5 5 工作效率工作效率 工作时间 工作总量工作时间 工作总量 工作总量工作总量 工作效率 工作时间工作效率 工作时间 工作总量工作总量 工作时间 工作效率工作时间 工作效率 6 6 加数 加数 和加数 加数 和 和 一个加数 另一个加数和 一个加数 另一个加数 7 7 被减数 减数 差被减数 减数 差 被减数 差 减数被减数 差 减数 差 减数 被减数差 减数 被减数 8 8 因数因数 因数 积因数 积 积积 一个因数 另一个因数一个因数 另一个因数 9 9 被除数被除数 除数 商除数 商 被除数被除数 商 除数商 除数 商商 除数 被除数除数 被除数 小学数学图形计算公式小学数学图形计算公式 1 1 正方形 正方形 C C 周长周长 S S 面积面积 a a 边长边长 周长 边长周长 边长 4C 4a 4C 4a 面积面积 边长边长 边长边长 S a aS a a 2 2 正方体 正方体 V V 体积体积 a a 棱长棱长 表面积表面积 棱长棱长 棱长棱长 6 6 S S 表表 a a 6 a a 6 体体 积积 棱长棱长 棱长棱长 棱长棱长 V a a aV a a a 3 3 长方形 长方形 C C 周长周长 S S 面积面积 a a 边长边长 周长周长 长长 宽宽 2 2 C 2 a b C 2 a b 面积面积 长长 宽宽 S abS ab 4 4 长方体 长方体 V V 体积体积 s s 面积面积 a a 长长 b b 宽宽 h h 高高 1 1 表面积表面积 长长 宽宽 长长 高高 宽宽 高高 2 2 S 2 ab ah bh S 2 ab ah bh 2 2 体积体积 长长 宽宽 高高 V abhV abh 5 5 三角形 三角形 s s 面积面积 a a 底底 h h 高高 面积面积 底底 高高 2 2 s ah 2s ah 2 三角形高三角形高 面积面积 2 2 底底 三角形底三角形底 面积面积 2 2 高高 6 6 平行四边形 平行四边形 s s 面积面积 a a 底底 h h 高高 面积面积 底底 高高 s ahs ah 7 7 梯形 梯形 s s 面积面积 a a 上底上底 b b 下底下底 h h 高高 面积面积 上底上底 下底下底 高高 2 2 s a b s a b h 2 h 2 8 8 圆形 圆形 S S 面面 C C 周长周长 d d 直径直径 r r 半径半径 1 1 周长周长 直径直径 2 2 半径半径 C d 2 rC d 2 r 2 2 面积面积 半径半径 半径半径 9 9 圆柱体 圆柱体 v v 体积体积 h h 高高 s s 底面积 底面积 r r 底面半径 底面半径 c c 底面周长 底面周长 1 1 侧面积侧面积 底面周长底面周长 高高 2 2 表面积表面积 侧面积侧面积 底面积底面积 2 2 3 3 体积体积 底面积底面积 高高 4 4 体积 侧面积体积 侧面积 2 2 半径半径 1010 圆锥体 圆锥体 v v 体积体积 h h 高高 s s 底面积底面积 r r 底面半径底面半径 体积体积 底面积底面积 高高 3 3 总数总数 总份数 平均数总份数 平均数 和差问题的公式和差问题的公式 和 差和 差 2 2 大数 大数 和 差和 差 2 2 小数 小数 和倍问题和倍问题 和和 倍数 倍数 1 1 小数 小数 小数小数 倍数 大数倍数 大数 或者或者 和 小数 大数和 小数 大数 差倍问题差倍问题 差差 倍数 倍数 1 1 小数 小数 小数小数 倍数 大数倍数 大数 或或 小数 差 大数小数 差 大数 植树问题植树问题 1 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 如果在非封闭线路的两端都要植树如果在非封闭线路的两端都要植树 那么那么 株数 段数 株数 段数 1 1 全长 全长 株距 株距 1 1 全长 株距全长 株距 株数 株数 1 1 株距 全长株距 全长 株数 株数 1 1 如果在非封闭线路的一端要植树如果在非封闭线路的一端要植树 另一端不要植树另一端不要植树 那么那么 株数 段数 全长株数 段数 全长 株距株距 全长 株距全长 株距 株数株数 株距 全长株距 全长 株数株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树如果在非封闭线路的两端都不要植树 那么那么 株数 段数 株数 段数 1 1 全长 全长 株距 株距 1 1 全长 株距全长 株距 株数 株数 1 1 株距 全长株距 全长 株数 株数 1 1 2 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数 段数 全长株数 段数 全长 株距株距 全长 株距全长 株距 株数株数 株距 全长株距 全长 株数株数 盈亏问题盈亏问题 盈 亏盈 亏 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 大盈 小盈大盈 小盈 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 大亏 小亏大亏 小亏 两次分配量之差 参加分配的份数两次分配量之差 参加分配的份数 相遇问题相遇问题 相遇路程 速度和相遇路程 速度和 相遇时间相遇时间 相遇时间 相遇路程相遇时间 相遇路程 速度和速度和 速度和 相遇路程速度和 相遇路程 相遇时间相遇时间 追及问题追及问题 追及距离 速度差追及距离 速度差 追及时间追及时间 追及时间 追及距离追及时间 追及距离 速度差速度差 速度差 追及距离速度差 追及距离 追及时间追及时间 流水问题流水问题 顺流速度 静水速度 水流速度顺流速度 静水速度 水流速度 逆流速度 静水速度 水流速度逆流速度 静水速度 水流速度 静水速度 静水速度 顺流速度 逆流速度顺流速度 逆流速度 2 2 水流速度 水流速度 顺流速度 逆流速度顺流速度 逆流速度 2 2 浓度问题浓度问题 溶质的重量 溶剂的重量 溶液的重量溶质的重量 溶剂的重量 溶液的重量 溶质的重量溶质的重量 溶液的重量溶液的重量 100 100 浓度 浓度 溶液的重量溶液的重量 浓度 溶质的重量浓度 溶质的重量 溶质的重量溶质的重量 浓度 溶液的重量浓度 溶液的重量 利润与折扣问题利润与折扣问题 利润 售出价 成本利润 售出价 成本 利润率 利润利润率 利润 成本成本 100 100 售出价售出价 成本 成本 1 100 1 100 涨跌金额 本金涨跌金额 本金 涨跌百分比涨跌百分比 折扣 实际售价折扣 实际售价 原售价原售价 100 100 折扣 折扣 1 1 利息 本金利息 本金 利率利率 时间时间 税后利息 本金税后利息 本金 利率利率 时间时间 1 1 20 20 长度单位换算长度单位换算 1 1 千米千米 1000 1000 米米 1 1 米米 10 10 分米分米 1 1 分米分米 10 10 厘米厘米 1 1 米米 100 100 厘米厘米 1 1 厘米厘米 10 10 毫米毫米 面积单位换算面积单位换算 1 1 平方千米平方千米 100 100 公顷公顷 1 1 公顷公顷 10000 10000 平方米平方米 1 1 平方米平方米 100 100 平方分米平方分米 1 1 平方分米平方分米 100 100 平方厘米平方厘米 1 1 平方厘米平方厘米 100 100 平方毫米平方毫米 体体 容容 积单位换算积单位换算 1 1 立方米立方米 1000 1000 立方分米立方分米 1 1 立方分米立方分米 1000 1000 立方厘米立方厘米 1 1 立方分米立方分米 1 1 升升 1 1 立方厘米立方厘米 1 1 毫升毫升 1 1 立方米立方米 1000 1000 升升 重量单位换算重量单位换算 1 1 吨吨 1000 1000 千克千克 1 1 千克千克 1000 1000 克克 1 1 千克千克 1 1 公斤公斤 人民币单位换算人民币单位换算 1 1 元元 10 10 角角 1 1 角角 10 10 分分 1 1 元元 100 100 分分 时间单位换算时间单位换算 1 1 世纪世纪 100 100 年年 1 1 年年 12 12 月月 大月大月 31 31 天天 有有 1 3 5 7 8 10 121 3 5 7 8 10 12 月月 小月小月 30 30 天天 的有的有 4 6 9 114 6 9 11 月月 平年平年 2 2 月月 2828 天天 闰年闰年 2 2 月月 2929 天天 平年全年平年全年 365365 天天 闰年全年闰年全年 366366 天天 1 1 日日 24 24 小时小时 1 1 小时小时 60 60 分分 1 1 分分 60 60 秒秒 1 1 小时小时 3600 3600 秒秒 小学数学几何形体周长小学数学几何形体周长 面积面积 体积计算公式体积计算公式 1 1 长方形的周长 长方形的周长 长 长 宽 宽 2 2 C a b 2C a b 2 2 2 正方形的周长 正方形的周长 边长边长 4 4 C 4aC 4a 3 3 长方形的面积 长方形的面积 长长 宽宽 S abS ab 4 4 正方形的面积 正方形的面积 边长边长 边长边长 S a a S a a a a 5 5 三角形的面积 三角形的面积 底底 高高 2 2 S ah 2S ah 2 6 6 平行四边形的面积 平行四边形的面积 底底 高高 S ahS ah 7 7 梯形的面积 梯形的面积 上底 上底 下底 下底 高高 2 2 S S a a b b h 2h 2 8 8 直径 直径 半径半径 2 2 d 2rd 2r 半径半径 直径直径 2 2 r r d 2d 2 9 9 圆的周长 圆的周长 圆周率圆周率 直径直径 圆周率圆周率 半径半径 2 2 c dc d 2 r 2 r 1010 圆的面积 圆的面积 圆周率圆周率 半径半径 半径半径 常见的初中数学公式常见的初中数学公式 1 1 过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线 2 2 两点之间线段最短两点之间线段最短 3 3 同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等 4 4 同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等 5 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 7 平行公理平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 9 同位角相等 两直线平行同位角相等 两直线平行 1010 内错角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行 1111 同旁内角互补 两直线平行同旁内角互补 两直线平行 1212 两直线平行 同位角相等两直线平行 同位角相等 1313 两直线平行 内错角相等两直线平行 内错角相等 1414 两直线平行 同旁内角互补两直线平行 同旁内角互补 1515 定理定理 三角形两边的和大于第三边三角形两边的和大于第三边 1616 推论推论 三角形两边的差小于第三边三角形两边的差小于第三边 1717 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于 180 180 1818 推论推论 1 1 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余 1919 推论推论 2 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2020 推论推论 3 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 2121 全等三角形的对应边 对应角相等全等三角形的对应边 对应角相等 2222 边角边公理边角边公理 SAS SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2323 角边角公理角边角公理 ASA ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 2424 推论推论 AAS AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 2525 边边边公理边边边公理 SSS SSS 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等 2626 斜边 直角边公理斜边 直角边公理 HL HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等全等 2727 定理定理 1 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2828 定理定理 2 2 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 2929 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3030 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 即等边对等角 3131 推论推论 1 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3232 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 3333 推论推论 3 3 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 60 3434 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角 所对的边也相等 等角对等边 所对的边也相等 等角对等边 3535 推论推论 1 1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 3636 推论推论 2 2 有一个角等于有一个角等于 60 60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 3737 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 30 那么它所对的直角边等于斜边的那么它所对的直角边等于斜边的 一半一半 3838 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 3939 定理定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 4040 逆定理逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 4141 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 4242 定理定理 1 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形关于某条直线对称的两个图形是全等形 4343 定理定理 2 2 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直 平分线平分线 4444 定理定理 3 3 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上那么交点在对称轴上 4545 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两 个图形关于这条直线对称个图形关于这条直线对称 4646 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边 a a b b 的平方和 等于斜边的平方和 等于斜边 c c 的平方 的平方 即即 a 2 b 2 c 2a 2 b 2 c 2 4747 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a a b b c c 有关系有关系 a 2 b 2 c 2a 2 b 2 c 2 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形 4848 定理定理 四边形的内角和等于四边形的内角和等于 360 360 4949 四边形的外角和等于四边形的外角和等于 360 360 5050 多边形内角和定理多边形内角和定理 n n 边形的内角的和等于 边形的内角的和等于 n 2n 2 180 180 5151 推论推论 任意多边的外角和等于任意多边的外角和等于 360 360 5252 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 1 1 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 5353 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 2 2 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 5454 推论推论 夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等 5555 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 3 3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 5656 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 1 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5757 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 2 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5858 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 3 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 5959 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 4 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形 6060 矩形性质定理矩形性质定理 1 1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 6161 矩形性质定理矩形性质定理 2 2 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 6262 矩形判定定理矩形判定定理 1 1 有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 6363 矩形判定定理矩形判定定理 2 2 对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 6464 菱形性质定理菱形性质定理 1 1 菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等 6565 菱形性质定理菱形性质定理 2 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 6666 菱形面积菱形面积 对角线乘积的一半 即对角线乘积的一半 即 S S a ba b 2 2 6767 菱形判定定理菱形判定定理 1 1 四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形 6868 菱形判定定理菱形判定定理 2 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6969 正方形性质定理正方形性质定理 1 1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等正方形的四个角都是直角 四条边都相等 7070 正方形性质定理正方形性质定理 2 2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每 条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角 7171 定理定理 1 1 关于中心对称的两个图形是全等的关于中心对称的两个图形是全等的 7272 定理定理 2 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被 对称中心平分对称中心平分 7373 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点平分 那么这两个图形关于这一点对称那么这两个图形关于这一点对称 7474 等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等 7575 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等 7676 等腰梯形判定定理等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 7777 对角线相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形 7878 平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等那么在其他直线上截得的线段也相等 7979 推论推论 1 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 8080 推论推论 2 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 8181 三角形中位线定理三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 8282 梯形中位线定理梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 L L a ba b 2 2 S L hS L h 8383 1 1 比例的基本性质比例的基本性质 如果如果 a b c d a b c d 那么那么 ad bcad bc 如果如果 ad bc ad bc 那么那么 a b c da b c d 8484 2 2 合比性质合比性质 如果如果 a a b cb c d d 那么那么 a b a b b c d b c d d d 8585 3 3 等比性质等比性质 如果如果 a a b cb c d md m n b d n 0 n b d n 0 那么那么 a c m a c m b d n a b d n a b b 8686 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成三条平行线截两条直线 所得的对应线段成 比例比例 8787 推论推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得 所得 的应线段成比例的应线段成比例 8888 定理定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线 段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 8989 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的 三边与原三角形三边对应成比例三边与原三角形三边对应成比例 9090 定理定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似 9191 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 1 1 两角对应相等 两三角形相似 两角对应相等 两三角形相似 ASAASA 9292 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 9393 判定定理判定定理 2 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SASSAS 9494 判定定理判定定理 3 3 三边对应成比例 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 SSSSSS 9595 定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 9696 性质定理性质定理 1 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比比都等于相似比 9797 性质定理性质定理 2 2 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 9898 性质定理性质定理 3 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 9999 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的 余角的正弦值余角的正弦值 100100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等于它的 余角的正切值余角的正切值 101101 圆是定点的距离等于定长的点的集合圆是定点的距离等于定长的点的集合 102102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104104 同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等 105105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 107107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等 的一条直线的一条直线 109109 定理定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 不在同一直线上的三点确定一个圆 110110 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111111 推论推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112112 推论推论 2 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等 113113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114114 定理定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等 115115 推论推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦 心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116116 定理定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117117 推论推论 1 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角 所对的弧也相等所对的弧也相等 118118 推论推论 2 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 90 的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦 是直径是直径 119119 推论推论 3 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形直角三角形 120120 定理定理 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对 角角 121121 直线直线 L L 和和 O O 相交相交 d d r r 直线直线 L L 和和 O O 相切相切 d rd r 直线直线 L L 和和 O O 相离相离 d d r r 122122 切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线线 123123 切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径 124124 推论推论 1 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125125 推论推论 2 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126126 切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角这一点的连线平分两条切线的夹角 127127 圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 128128 弦切角定理弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129129 推论推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130130 相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131131 推论推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项段的比例中项 132132 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项交点的两条线段长的比例中项 133133 推论推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等条线段长的积相等 134134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135135 两圆外离两圆外离 d d R rR r 两圆外切两圆外切 d R rd R r 两圆相交两圆相交 R rR r d d R r RR r R r r 两圆内切两圆内切 d R r Rd R r R r r 两圆内含两圆内含 d d R r RR r R r r 136136 定理定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137137 定理定理 把圆分成把圆分成 n n 3 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n n 边形边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正的外切正 n n 边形边形 138138 定理定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139139 正正 n n 边形的每个内角都等于 边形的每个内角都等于 n 2n 2 180 180 n n 140140 定理定理 正正 n n 边形的半径和边心距把正边形的半径和边心距把正 n n 边形分成边形分成 2n2n 个全等的直角三角形个全等的直角三角形 141141 正正 n n 边形的面积边形的面积 Sn pn