证明或判断等差(等比)数列常用方法

word 证明或判断等差 等比 数列的常用方法证明或判断等差 等比 数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题 有关证明 判断数列是等差 等比 数列的题型比比皆是 如 何处理这些题目呢 且听笔者一一道来 一 利用等差 等比 数列的定义 在数列中 若 为常数 或 n a 1nn aad d 为常数 则数列为等差 等比 数列 这是证明数列 1 n n a q a q n a 为等差 等比 数更最主要的方法 如 n a 例 1 2005 北京卷 设数列的首项 且 n a 1 1 4 aa 1 1 2 1 4 n n n an a an 为偶数 为奇数 记 21 1 12 3 4 nn ban 求 判断数列是否为等比数列 并证明你的结论 23 aa n b 解 2132 11111 44228 aaaaaa 所以 43 113 428 aaa 54 113 2416 aaa 所以 112335 11111111 44424444 baabaabaa 猜想 是公比为的等比数列 n b 1 2 证明如下 因为 121221 111111 424242 nnnnn baaabn N 所以是首项为 公比为的等比数列 n b 1 4 a 1 2 评析 此题并不知道数列的通项 先写出几项然后猜测出结论 再用定义证明 n b 这是常规做法 例 2 2005 山东卷 已知数列的首项 前项和为 且 n a 1 5a n n S 证明数列是等比数列 略 1 25 nn SSnn N 1 n a word 解 由已知可得时两式相减 1 25 nn SSnnN 2n 1 24 nn SSn 得 即 从而 11 2 1 nnnn SSSS 1 21 nn aa 1 12 1 nn aa 当时 所以 1n 21 21 5SS 211 26aaa 又 所以 从而 1 5a 2 11a 21 12 1 aa 故总有 又 从而 1 12 1 nn aan N 11 510aa 1 1 2 1 n n a a 所以数列是等比数列 1 n a 评析 这是常见题型 由依照含的式子再类似写出含的式子 得到 n S 1n S 的形式 再利用构造的方法得到所要证明的结论 本题若是先求出通项 1nn apaq 的表达式 则较繁 n a 注意事项 用定义法时常采用的两个式子和有差别 前者 1nn aad 1nn aad 必须加上 否则时无意义 等比中一样有 时 有2n 1n 0 a2n 常数 时 有 常数 1 n n a q a 0 n N 1n n a q a 0 二 运用等差或等比中项性质 是等差数列 是等比数列 21 2 nnnn aaaa 2 21 0 nnnn a aaa n a 这是证明数列为等差 等比 数列的另一种主要方法 n a 例 3 2005 江苏卷 设数列的前项为 已知 且 n a n S 123 1611aaa 其中为常数 1 58 52 12 3 nn nSnSAnBn AB 1 求与的值 2 证明数列为等差数列 3 略 AB n a 解 1 由 得 123 1611aaa 123 1718SSS 把分别代入 得12n 1 58 52 nn nSnS AnB 28 248 AB AB 解得 20A 8B 由 知 即 11 5 82208 nnnn n SSSSn word 11 582208 nnn naSSn 又 221 5 1 8220 1 8 nnn naSSn 得 2121 5 1 58220 nnnn nanaaa 即 21 53 52 20 nn nana 又 32 52 57 20 nn nana 得 321 52 2 0 nnn naaa 321 20 nnn aaa 又 322132 5 nnnn aaaaaa 21 5aa 因此 数列是首项为 1 公差为 5 的等差数列 n a 评析 此题对考生要求较高 通过挖掘的意义导出递推关系式 灵活巧妙地构造得 n S 到中项性质 这种处理大大简化了计算 例 4 高考题改编 正数数列和满足 对任意自然数成等 n a n b 1nnn naba 差数列 成等比数列 证明 数列为等差数列 11nnn bab n b 证明 依题意 且 1 00 2 nnnnn abbaa 11nnn ab b 1 2 nnn abb n 11 2 nnnnn bbbb b 由此可得 即 11 2 nnn bbb 11 2 nnnn bbbbn 数列为等差数列 n b 评析 本题依据条件得到与的递推关系 通过消元代换构造了关于的等差 n a n b n b 数列 使问题得以解决 三 运算数学归纳法 这种方法关键在于猜想要正确 用数学归纳法证明的步骤要熟练 从 时nk 命题成立 到 时命题成立 要会过渡 1nk 例 5 2004 全国高考题 数列的前项和记为 已知 n an n S 1 1a 证明 数列是等比数列 1 2 1 2 nn n aSn n n S n 证明证明 由 知 1 1a 1 2 1 2 nn n aSn n 211 2 1 3 1 aSa 21 4 2 22 Sa word 猜测是首项为 1 公比为 2 的等比数列 1 1 1 S n S n 下面用数学归纳法证明 令 n n S b n 1 当时 成立 2n 21 2bb 2 当时 成立 3n 312332 1 32 1 3 12 42Saaabb 假设时命题成立 即 nk 1 2 kk bb 那么当时 命题成1nk 11 1 2 2 2 111 kk kkk kkk k SS SSa k bSb kkkk 立 综上知是首项为 1 公比为 2 的等比数列 n S n 例 6 2005 浙江卷 设点和抛物线 1 0 2 n nnnn A xP x 其中 由以下方法得到 点 2 nnn Cyxa xb n N 1 1 24 2 n n an n x 1 1x 在抛物线上 点到的距离是到上点的最短 22 2 P x 2 111 Cyxa xb 11 0 A x 2 P 1 A 1 C 距离 点在抛物线上 点到的距离 11 2 n nn Px 2 nnn Cyxa xb 0 nn A x 1n P 是到上点的最短距离 n A n C 1 求及的方程 2 证明是等差数列 2 x 1 C n x 解 I 由题意得 2 111 1 0 7ACyxxb 设点是上任意一点 则 P x y 1 C 22 1 1 APxy 222 1 1 7 xxxb 令则 222 1 1 7 f xxxxb 2 1 2 1 2 7 27 fxxxxbx 由题意 即 2 0 fx 2 22212 2 1 2 7 27 0 xxxbx 又在上 22 2 P x 1 C 2 221 27 xxb 解得 故方程为 21 3 14 xb 1 C 2 714 yxx II 设点是上任意一点 则 P x y n C 222 nnnn A Pxxxa xb 令 222 nnn g xxxxa xb 则 2 2 2 2 nnnn g xxxxa xbxa word 由题意得 g 即 1 0 n x 2 1111 2 2 2 0 nnnnnnnn xxxa xbxa 又 2 11 2 n nnnn xa xb 即 11 2 2 0 1 n nnnn xxxan 1 1 12 20 nn nnn xxa 下面用数学归纳法证明21 n xn 当时 等式成立 1n 1 1 x 假设当时 等式成立 即nk 21 k xk 则当时 由 知 1nk 1 10 12 2 kk kkk xxa 又 1 1 242 k k ak 1 1 2 21 12 k kk k k xa xk 即当时 等式成立 由 知 等式对成立 是等差数列 1nk nN n x 评析 例 5 是常规的猜想证明题 考查学生掌握猜想证明题的基本技能 掌握数列前项n 和这个概念 用数学归纳法证明等差数列的方法 例 6 是个综合性比较强的题目 通过求 二次函数的最值得到递推关系式 再直接猜想然后用归纳法证明 解法显得简洁明了 如 果直接利用递推关系式找通项 反而不好作 四 反证法 解决数学问题的思维过程 一般总是从正面入手 即从已知条件出发 经过一系列的 推理和运算 最后得到所要求的结论 但有时会遇到从正面不易入手的情况 这时可从反 面去考虑 如 例 7 2000 年全国高考 理 设是公比不相等的两等比数列 nn ab 证明数列不是等比数列 nnn cab n c 证明 设的公比分别为 为证不是等比数 nn ab pq pq nnn cab n c 列只需证 事实上 2 213 cc c A 222222 211111 1 2ca pbqa pb qab pq 22222222 1311331111111 1 c cabababa pbqa pb qab pq A 又不为零 故不是等比数列 22 2pqpqpq 11 ab 2 213 cc c A n c 评析 本题主要考查等比数列的概念和基本性质 推理和运算能力 对逻辑思维能力 有较高要求 要证不是等比数列 只要由特殊项 如 就可否定 一般地 n c 2 213 cc c A 讲 否定性的命题常用反证法证明 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维 策略的重要性 word 五 看通项与前项和法n 若数列通项能表示成 为常数 的形式 则数列是等差数列 n a n aanb ab n a 若通项能表示成 均为不为 0 的常数 的形式 则数列是等 n a n n acq cq n N n a 比数列 若数列的前项和Sn能表示成 a b为常数 的形式 则数 n an 2 n Sanbn 列等差数列 若Sn能表示成 均为不等于 0 的常数且q 1 的形 n a n n SAqA Aq 式 则数列是公比不为 1 的等比数列 这些结论用在选择填空题上可大大节约时间 n a 例 8 2001 年全国题 若 S 是数列的前项和 则是 n n an 2 n Sn n a 等比数列 但不是等差数列 等差数列 但不是等比数列 等差数列 而且也是等比数列 既非等比数列又非等差数列 解析 用到上述方法 一下子就知道答案为 B 大大节约了时间 同时大大提高了命中 率 六 熟记一些常规结论 有助于解题 若数列若数列是公比为是公比为的等比数列的等比数列 则 n aq 1 数列 为不等于零的常数 仍是公比为的等比数列 n a n a q 2 若是公比为的等比数列 则数列是公比为的等比数列 n b q nn a b A qq 3 数列是公比为的等比数列 1 n a 1 q 4 是公比为的等比数列 n aq 5 在数列中 每隔项取出一项 按原来顺序排列 所得新数列仍为等比 n a k k N 数列且公比为 1k q 6 11212 nnnnnn aaaaaa 123456789 aaaaaaaaa 等都是等比数列 7 若成等差数列时 成等比数列 mnp mnp N mnp aaa 8 均不为零时 则成等比数列 232nnnnn SSSSS 232nnnnn SSSSS 9 若是一个等差数列 则正项数列是一个等比数列 log bn a n a 若数列若数列是公差为是公差为等差数列等差数列 则 n ad word 1 成等差数列 公差为 其中是实常数 n kab kd0kkb 2 为常数 仍成等差数列 其公差为 1 nkkn SS kk N 2 k d 3 若都是等差数列 公差分别为 则是等差数列 公差为 nn ab 12 dd nn ab 12 dd 4 当数列是各项均为正数的等比数列时 数列是公差为的等差数列 n a lg n algq 5 成等差数列时 成等差数列 mnp mnp N mnp aaa 例 9 96 年全国高考题 等差数列的前项和为 30 前项和为 100 则它的前 n an2n 项和为 3n 130 170 210 260 解 由上面的性质得 成等比数列 232nnnnn SSSSS 故 232 2 nnnnn SSSSS 3 2 10030 30 100 n S 故选 3 210 n S 评