工程矩阵理论(第章-内积空间与等距变换).ppt

主讲 张小向 工程矩阵理论 东南大学硕士研究生学位课程 第二章内积空间与等距变换 第一节内积空间的基本概念第二节正交补 向量到子空间的最短距离第三节等距变换 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 2 1内积空间的基本概念 一 内积 内积空间 度量矩阵 设V为数域F 或 上的线性空间 若对于任意的 V V F中存在唯一的数与之对应 该数记为 且 V k F 有 1 2 3 k k 4 0 且等号成立 0 则称 为 与 的内积 称V为内积空间 共轭对称性 定义2 1 1 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 0 0 0 注 内积空间V 称为酉空间 内积空间V 称为欧氏空间 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 在n中定义 X Y YTX 则n为欧氏空间 则n为酉空间 注 上述两个例子中的内积称为标准内积 一般情况下 如果不特别声明 则n和n中的内积均指标准内积 则n为欧氏空间 X Y YTAX 例1 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 在n n中定义 A B tr ABH 证明n n为酉空间 2 A B C tr A B CH tr ACH tr BCH A C B C 3 kA B tr kABH ktr ABH k A B 4 A A tr AAH A1A1H AnAnH 0 其中Ai为A的第i行 i 1 n 且等号成立 Ai 0 A O 证明 1 B A tr BAH tr BAH T 例4 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 例5 证明C a b 为欧氏空间 f x g x C a b 定义 证明 1 f x g x g x f x 2 f x g x h x f x h x g x h x 3 kf x g x k f x g x 4 f x f x 0 且等号成立 f x 0 设C a b a b 上的全体连续实函数 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 x1 1 x2 2 xn n y1 1 y2 2 yn n x1 x2 xn 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 x1 1 x2 2 xn n y1 1 y2 2 yn n x1 x2 xn x1 x2 xn 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定义2 1 2 令gij i j i j 1 n 则称n阶矩阵G gij 为基 1 n的度量矩阵 故GH G 设 1 n为内积空间V的一组基 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 x1 1 x2 2 xn n y1 1 y2 2 yn n x1 x2 xn x1 1 x2 2 xn n y1 1 y2 2 yn n 1 2 n Y 1 2 n X YHGTX 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定理2 1 1 度量矩阵为G V中的向量 在这组基下的坐标分别为X Y 则 XTGY YHGTX 设内积空间V的一组基 1 n的 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 二 内积空间中向量的长度 定义2 1 3 注 0 0 注 若 1 则称 为单位向量 注 k k 其中k F 单位化 设 为内积空间V中的向量 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 则有 2 且等号成立 线性相关 定理2 1 2 设 为内积空间V中的任意向量 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 证明 令 t t F 则 0 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 由此可得 当 0时 2 当然成立 综上所述 2 对于任意的 V都成立 下面考察等号何时成立 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 若 线性相关 当 中有一个为0时 等号当然成立 当 均不为0时 存在k F使得 k 于是 2 k 2 k 2 2 k k 且0 由此可得 2 可见等号成立 线性相关 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 则有 定理2 1 3 2 证明 2 2Re 2 2 2 2 2 2 2 2 故 设 为内积空间V中的任意向量 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定义2 1 4 设 为内积空间V中的向量 称d 为 与 的距离 注 2 2 故d d 注 d d d 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 三 欧氏空间中非零向量的夹角 定义2 1 5 则称 arccos为 与 的 设 为欧氏空间V中的非零向量 夹角 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 四 内积空间中的正交向量 定义2 1 6 设 为内积空间V中的向量 若 0 则称 与 正交 记为 内积空间V中的一组两两正交的非零向量称为正交向量组 注 若 则 2 2 2 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定理2 1 4 证明 若x1 x2 xk F且 x1 1 x2 2 xk k 0 则对于任意的i 1 2 k 有0 x1 1 x2 2 xk k i xi i i 而 i i 0 故xi 0 可见 1 2 k线性无关 设 1 2 k为内积空间V中的正交向量组 则 1 2 k线性无关 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定义2 1 7 内积空间V中由正交向量组构成的基称为正交基 若正交基中的向量都是单位向量 则称这组正交基为标准正交基 I 注 设 1 2 n为内积空间V的一组基 1 2 n为标准正交基 其度量矩阵 则 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 注 设A A1 A2 An n n 则 可见 A1 A2 An构成n的标准正交基 AHA I 即A为酉矩阵 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定理2 1 5 证明 设 1 2 n为V的一组基 则 1 2 n为V的标准正交基 设内积空间V满足0 dimV 则V有标准正交基 令 1 1 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 推论 证明 先把 1 m扩充为V的一组基 设 1 m是n维内积空间V中的正交向量组 则必可扩充为V的正交基 1 m m 1 n 再用Schmidt正交化方法得 1 m m 1 n 其中 1 1 m m 于是得到V的正交基 1 m m 1 n 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 设A为n阶可逆矩阵 则A的列向量组 1 2 n为酉空间n的一组基 令 1 1 则A 1 n 1 n 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 则A 1 n 1 n U 1 n 为酉矩阵 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 设A为n阶可逆矩阵 且A U1T1 U2T2 其中U1 U2为酉矩阵 T1 T2为主对角元恒正的上三角阵 则U2HU1 T2T1 1 令D U2HU1 T2T1 1 则DH U1H U2H H U1 1 U2H 1 U2HU1 1 D 1 且D T2T1 1为上三角阵 D 1 DH为下三角阵 由此可得D 1既是上三角阵又是下三角阵 因而D 1是对角阵 从而D是对角阵 注意到D T2T1 1为主对角元恒正的酉矩阵 故D I 可见U2 U1 T2 T1 第二章内积空间与等距变换 2 1内积空间的基本概念 定理2 1 6 设A为n阶可逆阵 则存在酉矩阵U及主对角元恒正的上三角阵T 使得A UT 可逆阵的UT分解 解 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 一 正交补 注 W V 定义2 2 1 设W是内积空间V的子空间 V 若 W 有 0 则称 正交于W 记为 W 若V的子空间U中每个向量都正交于W 则称U与W正交 记为U W 称W V W 为W的正交补 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 定理2 2 1 设W是内积空间V的有限维子空间 则 1 V W W 2 V W UU W 证明 1 设 1 r为W的一组标准正交基 V 令 1 1 r r 则 W且 j 0 j 1 r 故 W W W 因而V W W 若 W W 则 0 故 0 可见W W 0 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 2 设V W U且U W 则U W 另一方面 W V W U 存在 W U使得 于是 0 由此可得 0 因而 U 可见W U 综上两个方面可得U W 推论2 2 1 设W是有限维内积空间V的子空间 则 W W 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 例1 证明 记AH 1 s 则 X K A 有 设A s n 证明 K A R AH 0H AX H XHAH XH 1 s XH 1 XH s 1 X s X 因而 R AH 有 X 0 即 X 可见R AH K A 又因为dimR AH r AH r A n dimK A dimK A 所以K A R AH 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 注 R A K AH K AH R AH K A K A 利用例1和定理2 2 1可得 n K A R AH 用AH替换例1以及上式中的A可得 s K AH R A 由推论2 2 1可得 K AH R A 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 二 向量到子空间的最短距离 定理2 2 2 设W是内积空间V的有限维子空间 则对任意的 V 存在唯一的 W使得d min d W 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 证明 由定理2 2 1知V W W 故对任意的 V 存在 W W 使得 于是对任意的 W 有 W 2 2 2 2 2 2 2 2 故d min d W 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 假设还有 W也满足d min d W 则 2 d 2 d 2 2 2 2 2 故 2 0 因而 0 即 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 定理2 2 2 设W是内积空间V的有限维子空间 则对任意的 V 存在唯一的 W使得d min d W 注 定理中的 称为 在子空间W上的正投影 最佳逼近 称为 到W的最短距离 若 1 r为W的一组标准正交基 则 1 1 r r 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 例2 解 令V C 并在V中定义内积如下 求系数ak bk 使三角多项式 p x akcoskx bksinkx a02 k 1 n 代替连续函数f x 时 f x p x 2dx最小 f x g x V 于是原问题转化为求f x 在V的子空间W span 1 cosx sinx cosnx sinnx 上的正投影 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 f x 在W上的正投影为 注意到1 cosx sinx cosnx sinnx是W的正交基 单位化得标准正交基 第二章内积空间与等距变换 2 2正交补 向量到子空间的最短距离 f x 2k 1 f x coskxdx k 1 n k 1 n k 1 n 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 2 3等距变换 一 定义与例子 定义2 3 1 设f是内积空间V的线性变换 若 V 有 f f 则称f为等距变换 酉空间上的等距变换称为酉变换 欧氏空间上的等距变换称为正交变换 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 例1 1 设A n n X n 令f X AX 若A为酉矩阵 则 X Y n 有 f X f Y AX AY AY H AX YHAHAX YHX X Y 故f为酉变换 反之 若f为酉变换 则 i j 1 n 有ejH AHA ei f ei f ej ei ej ij 故AHA I 即A为酉矩阵 可见f为酉变换 A为酉矩阵 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 例1 2 设A n n X n 令f X AX f X f Y AX AY AY T AX YTATAX YTX X Y 故f为正交变换 反之 若f为正交变换 则 i j 1 n 有ejT ATA ei f ei f ej ei ej ij 故ATA I 即A为正交矩阵 可见f为正交变换 A为正交矩阵 若A为正交矩阵 则 X Y n 有 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 二 判定 定理2 3 1 设f是内积空间V的线性变换 则下列条件等价 1 f V 2 f f V 当dimV 时 上述条件还与下列条件等价 3 f把V的标准正交基变为标准正交基 4 f在标准正交基下的矩阵为酉矩阵 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 证明 2 1 f 2 f f 2 当V为欧氏空间时 V 由 1 得 f f f 2 2 2 其中 f f f 2 2 f f f 2 2 故2 f f 2 因而 f f f f f f f f 2 f f f f 1 2 故 f 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 当V为酉空间时 V k 由 1 得 f k f k k k 展开并整理得分别取k 1和i得 2Re f f 2Re 2Im f f 2Im 因而 f f 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 2 3 设 1 n为V的一组标准正交基 下面设dimV 并证明 2 3 4 1 i j 1 n 由 2 得 f i f j i j ij 可见f 1 f n 也是V的一组标准正交基 3 4 设 1 n为V的一组标准正交基 f 1 n 1 n A 其中A A1 An 则 i j 1 n 由 3 得AjHAi AjHIAi f i f j ij 可见AHA I 即A为酉矩阵 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 4 1 设 1 n为V的一组标准正交基 f 1 n 1 n A 其中A为酉矩阵 则 V 令 1 n X 于是f f 1 n X 1 n AX 因而 f 2 AX HI AX XHAHAX XHIX 2 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 三 旋转与镜像变换 例2 1 2中的旋转 f e1 cos e1 sin e2 f e2 sin e1 cos e2 f在基e1 e2下的矩阵A A 1 ATA I f的坐标变换公式为Y AX 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 例2 2 3中的绕z轴旋转 f e1 cos e1 sin e2 f e2 sin e1 cos e2 f e3 e3 f在基e1 e2 e3下的矩阵为 A 1 ATA I f的坐标变换公式为Y AX 注 一般地 若A为n阶正交阵且 A 1 则称 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 例3 1 2中的镜像变换 可以验证f是一个线性变换 f在基 n下的矩阵A 如图所示 n为2的一组标准正交基 可见关于n的镜像变换为 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 例3 2 n中的镜像变换 设 为n中的单位向量 则称 为关于 的镜像变换 可以验证f是一个线性变换 将 扩充为n的标准正交基 2 n 则f f i i i 2 n 故f在这组基下的矩阵A diag 1 1 1 是一个酉矩阵 且 A 1 又因为线性变换在不同基下的矩阵相似 而相似矩阵的行列式相等 故 第二章内积空间与等距变换 2 3等距变换 定理2 3 2 设 n 0 并且