相似三角形选择压轴题精选

2014 年年 1 月发哥的初中数学组卷月发哥的初中数学组卷 一 选择题 共一 选择题 共 30 小题 小题 1 2013 南通 如图 Rt ABC 内接于 O BC 为直径 AB 4 AC 3 D 是的中点 CD 与 AB 的交点为 E 则等于 A 4B 3 5C 3D 2 8 2 2013 黑龙江 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 ABC 45 AD CD CE 平分 ACB 交 AB 于点 E 在 BC 上截取 BF AE 连接 AF 交 CE 于点 G 连接 DG 交 AC 于点 H 过点 A 作 AN BC 垂足为 N AN 交 CE 于点 M 则下列结论 CM AF CE AF ABF DAH GD 平分 AGC 其中正确 的个数是 A 1B 2C 3D 4 3 2013 海南 直线 l1 l2 l3 且 l1与 l2的距离为 1 l2与 l3的距离为 3 把一块含有 45 角的直角三角形如图放 置 顶点 A B C 恰好分别落在三条直线上 AC 与直线 l2交于点 D 则线段 BD 的长度为 A B C D 4 2013 德阳 如图 在 O 上有定点 C 和动点 P 位于直径 AB 的异侧 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长 线交于点 Q 已知 O 半径为 tan ABC 则 CQ 的最大值是 A 5B C D 5 2012 宁德 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 点 E F G H 分别在矩形 ABCD 的各边上 EF AC HG EH BD FG 则四边形 EFGH 的周长是 A B C 2D 2 6 2012 泸州 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 连接 AE 过点 E 作 EF AE 交 DC 于点 F 连接 AF 设 k 下列结论 1 ABE ECF 2 AE 平分 BAF 3 当 k 1 时 ABE ADF 其中结论正 确的是 A 1 2 3 B 1 3 C 1 2 D 2 3 7 2012 湖州 如图 已知点 A 4 0 O 为坐标原点 P 是线段 OA 上任意一点 不含端点 O A 过 P O 两点的二次函数 y1和过 P A 两点的二次函数 y2的图象开口均向下 它们的顶点分别为 B C 射线 OB 与 AC 相 交于点 D 当 OD AD 3 时 这两个二次函数的最大值之和等于 A B C 3D 4 8 2011 武汉 如图 在菱形 ABCD 中 AB BD 点 E F 分别在 AB AD 上 且 AE DF 连接 BF 与 DE 相 交于点 G 连接 CG 与 BD 相交于点 H 下列结论 AED DFB S四边形 BCDG CG2 若 AF 2DF 则 BG 6GF 其中正确的结论 A 只有 B 只有 C 只有 D 9 2011 深圳 如图 ABC 与 DEF 均为等边三角形 O 为 BC EF 的中点 则 AD BE 的值为 A 1B 1C 5 3D 不确定 10 2011 牡丹江 如图 在正方形 ABCD 中 点 O 为对角线 AC 的中点 过点 0 作射线 OM ON 分别交 AB BC 于点 E F 且 EOF 90 BO EF 交于点 P 则下列结论中 1 图形中全等的三角形只有两对 2 正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍 3 BE BF 0A 4 AE2 CF2 20P OB 正确的结论有 个 A 1B 2C 3D 4 11 2010 双鸭山 如图所示 已知 ABC 和 DCE 均是等边三角形 点 B C E 在同一条直线上 AE 与 BD 与 BD 交于点 O AE 与 CD 交于点 G AC 与 BD 交于点 F 连接 OC FG 其中正确结论的个数是 AE BD AG BF FG BE BOC EOC A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 12 2010 鸡西 在锐角 ABC 中 BAC 60 BD CE 为高 F 是 BC 的中点 连接 DE EF FD 则以下结 论中一定正确的个数有 EF FD AD AB AE AC DEF 是等边三角形 BE CD BC 当 ABC 45 时 BE DE A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 13 2009 遵义 已知三个边长分别为 10 6 4 的正方形如图排列 点 A B E H 在同一条直线上 DH 交 EF 于 R 则线段 RN 的值为 A 1B 2C 2 5D 3 14 2007 佳木斯 如图 已知 ABCD 中 BDE 45 DE BC 于 E BF CD 于 F DE BF 相交于 H BF AD 的延长线相交于 G 下面结论 DB BE A BHE AB BH BHD BDG 其 中正确的结论是 A B C D 15 2006 泰州 如图 O 为矩形 ABCD 的中心 将直角三角板的直角顶点与 O 点重合 转动三角板使两直角边 始终与 BC AB 相交 交点分别为 M N 如果 AB 4 AD 6 OM x ON y 则 y 与 x 的关系是 A B C y xD 16 2004 威海 如图 ABCD 中 M N 为 BD 的三等分点 连接 CM 并延长交 AB 于 E 点 连接 EN 并延长 交 CD 于 F 点 则 DF AB 等于 A 1 3B 1 4C 2 5D 3 8 17 2004 天津 如图 正 ABC 内接于 O P 是劣弧 BC 上任意一点 PA 与 BC 交于点 E 有如下结论 PA PB PC PA PE PB PC 其中 正确结论的个数为 A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 18 2004 天津 如图 已知等腰 ABC 中 顶角 A 36 BD 为 ABC 的平分线 则的值等于 A B C 1D 19 2004 荆州 如图 正方形 ABCD 的边长为 2cm 以 B 为圆心 BC 长为半径画弧交对角线 BD 于 E 点 连 接 CE P 是 CE 上任意一点 PM BC PN BD 垂足分别为 M N 则 PM PN 的值为 A cmB 1cmC cmD 2cm 20 2003 泰安 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别是边 AB CD 的中点 DB 分别交 AN CM 于点 P Q 下列结论 1 DP PQ QB 2 AP CQ 3 CQ 2MQ 4 S ADP S平行四边形 ABCD 其中正确 结论的个数为 A 4B 3C 2D 1 21 2003 黄石 如图 D E 是 ABC 中 BC 边的两个分点 F 是 AC 的中点 AD 与 EF 交于 O 则等于 A B C D 22 2013 南通二模 如图 已知在 Rt ABC 中 AB AC 2 在 ABC 内作第一个内接正方形 DEFG 然后取 GF 的中点 P 连接 PD PE 在 PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ 再取线段 KJ 的中点 Q 在 QHI 内作第三个 内接正方形 依次进行下去 则第 n 个内接正方形的边长为 A B C D 23 2013 南开区一模 在锐角 ABC 中 BAC 60 BD CE 为高 F 是 BC 的中点 连接 DE EF FD 则 以下结论中一定正确的个数有 EF FD AD AB AE AC DEF 是等边三角形 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 24 2013 连云港模拟 如图 Rt ABC 中 BC ACB 90 A 30 D1是斜边 AB 的中点 过 D1作 D1E1 AC 于 E1 连结 BE1交 CD1于 D2 过 D2作 D2E2 AC 于 E2 连结 BE2交 CD1于 D3 过 D3作 D3E3 AC 于 E3 如此继续 可以依次得到点 E4 E5 E2013 分别记 BCE1 BCE2 BCE3 BCE2013的面 积为 S1 S2 S3 S2013 则 S2013的大小为 A B C D 25 2013 樊城区模拟 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 E 为 AB 上一点 且 DE 平分 ADC CE 平分 BCD 则下列结论中正确的有 DE EC ADE BEC AD BC BE AE CD AD BC A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 26 2012 武汉模拟 在直角梯形 ABCD 中 AB CD DAB 90 G 为 AB 中点 在线段 DG 上取点 F 使 FG AG 过点 F 作 FE DG 交 AD 于点 E 连接 EC 交 DG 于点 H 已知 EC 平分 DEF 下列结论 AFB 90 AF EC EHD BGF DH FG FH DG 其中正确的是 A 只有 B 只有 C 只有 D 27 2012 深圳二模 如图 已知等腰 Rt ABC 中 B 90 AB BC 8cm 点 P 是线段 AB 上的点 点 Q 是线 段 BC 延长线上的点 且 AP CQ PQ 与直线 AC 相交于点 D 作 PE AC 于点 E 则线段 DE 的长度 A 为 4cmB 为 5cmC 为cmD 不能确定 28 2012 蕲春县模拟 如图 ABC 是 O 的内接三角形 AE 是直径 AD 是高交 O 于 F 连接 BE CF 下 列结论正确的有几个 BE CF AB AC AD AE AD DF BD CD AD2 BD2 FD2 CD2 AE2 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 29 2012 嘉定区一模 已知 那么下列等式中 不一定正确的是 A 2x 3yB C D 30 2012 江汉区模拟 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CD 平分 ACB 交 AB 于点 D 点 F 为边 AB 的中点 EF CD 交 BC 于点 E 则下列结论 AC EF BC AC 2CE EF CE EF AB AD BE 其中一定成立的是 A B C D 2014 年年 1 月发哥的初中数学组卷月发哥的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 30 小题 小题 1 2013 南通 如图 Rt ABC 内接于 O BC 为直径 AB 4 AC 3 D 是的中点 CD 与 AB 的交点为 E 则等于 A 4B 3 5C 3D 2 8 考点 垂径定理 勾股定理 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 压轴题 分析 利用垂径定理的推论得出 DO AB AF BF 进而得出 DF 的长和 DEF CEA 再利用相似三角形的性 质求出即可 解答 解 连接 DO 交 AB 于点 F D 是的中点 DO AB AF BF AB 4 AF BF 2 FO 是 ABC 的中位线 AC DO BC 为直径 AB 4 AC 3 BC 5 DO 2 5 DF 2 5 1 5 1 AC DO DEF CEA 3 故选 C 点评 此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质 根据已知得出 DEF CEA 是解题关键 2 2013 黑龙江 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 ABC 45 AD CD CE 平分 ACB 交 AB 于点 E 在 BC 上截取 BF AE 连接 AF 交 CE 于点 G 连接 DG 交 AC 于点 H 过点 A 作 AN BC 垂足为 N AN 交 CE 于点 M 则下列结论 CM AF CE AF ABF DAH GD 平分 AGC 其中正确 的个数是 A 1B 2C 3D 4 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 直角梯形 1904127 专题 压轴题 分析 如解答图所示 结论 正确 证明 ACM ABF 即可 结论 正确 由 ACM ABF 得 2 4 进而得 4 6 90 即 CE AF 结论 正确 证法一 利用四点共圆 证法二 利用三角形全等 结论 正确 证法一 利用四点共圆 证法二 利用三角形全等 解答 解 1 结论 正确 理由如下 1 2 1 CMN 90 2 6 90 6 CMN 又 5 CMN 5 6 AM AE BF 易知 ADCN 为正方形 ABC 为等腰直角三角形 AB AC 在 ACM 与 ABF 中 ACM ABF SAS CM AF 2 结论 正确 理由如下 ACM ABF 2 4 2 6 90 4 6 90 CE AF 3 结论 正确 理由如下 证法一 CE AF ADC AGC 180 A D C G 四点共圆 7 2 2 4 7 4 又 DAH B 45 ABF DAH 证法二 CE AF 1 2 ACF 为等腰三角形 AC CF 点 G 为 AF 中点 在 Rt ANF 中 点 G 为斜边 AF 中点 NG AG MNG 3 DAG CNG 在 ADG 与 NCG 中 ADG NCG SAS 7 1 又 1 2 4 7 4 又 DAH B 45 ABF DAH 4 结论 正确 理由如下 证法一 A D C G 四点共圆 DGC DAC 45 DGA DCA 45 DGC DGA 即 GD 平分 AGC 证法二 AM AE CE AF 3 4 又 2 4 3 2 则 CGN 180 1 90 MNG 180 1 90 3 90 1 2 45 ADG NCG DGA CGN 45 AGC GD 平分 AGC 综上所述 正确的结论是 共 4 个 故选 D 点评 本题是几何综合题 考查了相似三角形的判定 全等三角形的判定与性质 正方形 等腰直角三角形 直 角梯形 等腰三角形等知识点 有一定的难度 解答中四点共圆的证法 仅供同学们参考 3 2013 海南 直线 l1 l2 l3 且 l1与 l2的距离为 1 l2与 l3的距离为 3 把一块含有 45 角的直角三角形如图放 置 顶点 A B C 恰好分别落在三条直线上 AC 与直线 l2交于点 D 则线段 BD 的长度为 A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 平行线之间的距离 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 1904127 分析 分别过点 A B D 作 AF l3 BE l3 DG l3 先根据全等三角形的判定定理得出 BCE ACF 故可得 出 CF 及 CE 的长 在 Rt ACF 中根据勾股定理求出 AC 的长 再由相似三角形的判定得出 CDG CAF 故可得出 CD 的长 在 Rt BCD 中根据勾股定理即可求出 BD 的长 解答 解 别过点 A B D 作 AF l3 BE l3 DG l3 ABC 是等腰直角三角形 AC BC EBC BCE 90 BCE ACF 90 ACF CAF 90 EBC ACF BCE CAF 在 BCE 与 ACF 中 BCE ACF ASA CF BE 3 CE AF 4 在 Rt ACF 中 AF 4 CF 3 AC 5 AF l3 DG l3 CDG CAF 解得 CD 在 Rt BCD 中 CD BC 5 BD 故选 A 点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质 根据题意作出辅助线 构造出相似三角形是解答此题的关键 4 2013 德阳 如图 在 O 上有定点 C 和动点 P 位于直径 AB 的异侧 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长 线交于点 Q 已知 O 半径为 tan ABC 则 CQ 的最大值是 A 5B C D 考点 圆周角定理 圆内接四边形的性质 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 计算题 压轴题 分析 根据圆周角定理的推论由 AB 为 O 的直径得到 ACB 90 再根据正切的定义得到 tan ABC 然 后根据圆周角定理得到 A P 则可证得 ACB PCQ 利用相似比得 CQ PC PC PC 为直径时 PC 最长 此时 CQ 最长 然后把 PC 5 代入计算即可 解答 解 AB 为 O 的直径 AB 5 ACB 90 tan ABC CP CQ PCQ 90 而 A P ACB PCQ CQ PC PC 当 PC 最大时 CQ 最大 即 PC 为 O 的直径时 CQ 最大 此时 CQ 5 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的 一半 也考查了三角形相似的判定与性质 5 2012 宁德 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 点 E F G H 分别在矩形 ABCD 的各边上 EF AC HG EH BD FG 则四边形 EFGH 的周长是 A B C 2D 2 考点 平行线分线段成比例 勾股定理 矩形的性质 1904127 专题 压轴题 分析 根据矩形的对角线相等 利用勾股定理求出对角线的长度 然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出 EF EH 的长度之和 再根据四边形 EFGH 是平行四边形 即可得解 解答 解 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 根据勾股定理 AC BD EF AC HG EH BD FG 1 EF EH AC EF HG EH FG 四边形 EFGH 是平行四边形 四边形 EFGH 的周长 2 EF EH 2 故选 D 点评 本题考查了平行线分线段成比例定理 矩形的对角线相等 勾股定理 根据平行线分线段成比例定理求出 1 是解题的关键 也是本题的难点 6 2012 泸州 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 连接 AE 过点 E 作 EF AE 交 DC 于点 F 连接 AF 设 k 下列结论 1 ABE ECF 2 AE 平分 BAF 3 当 k 1 时 ABE ADF 其中结论正 确的是 A 1 2 3 B 1 3 C 1 2 D 2 3 考点 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 1904127 专题 压轴题 分析 1 由四边形 ABCD 是矩形 可得 B C 90 又由 EF AE 利用同角的余角相等 即可求得 BAE FEC 然后利用有两角对应相等的三角形相似 证得 ABE ECF 2 由 1 根据相似三角形的对应边成比例 可得 又由 E 是 BC 的中点 即可得 继 而可求得 tan BAE tan EAF 即可证得 AE 平分 BAF 3 当 k 1 时 可得四边形 ABCD 是正方形 由 1 易求得 CF CD 1 4 继而可求得 AB CD 与 BE DF 的值 可得 ABE 与 ADF 不相似 解答 解 1 四边形 ABCD 是矩形 B C 90 BAE AEB 90 EF AE AEB FEC 90 BAE FEC ABE ECF 故 1 正确 2 ABE ECF E 是 BC 的中点 即 BE EC 在 Rt ABE 中 tan BAE 在 Rt AEF 中 tan EAF tan BAE tan EAF BAE EAF AE 平分 BAF 故 2 正确 3 当 k 1 时 即 1 AB AD 四边形 ABCD 是正方形 B D 90 AB BC CD AD ABE ECF 2 CF CD DF CD AB AD 1 BE DF 2 3 ABE 与 ADF 不相似 故 3 错误 故选 C 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 矩形的性质 正方形的判定与性质以及三角函数的定义 此题难度 较大 注意掌握数形结合思想的应用 7 2012 湖州 如图 已知点 A 4 0 O 为坐标原点 P 是线段 OA 上任意一点 不含端点 O A 过 P O 两点的二次函数 y1和过 P A 两点的二次函数 y2的图象开口均向下 它们的顶点分别为 B C 射线 OB 与 AC 相 交于点 D 当 OD AD 3 时 这两个二次函数的最大值之和等于 A B C 3D 4 考点 二次函数的最值 等腰三角形的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 计算题 压轴题 分析 过 B 作 BF OA 于 F 过 D 作 DE OA 于 E 过 C 作 CM OA 于 M 则 BF CM 是这两个二次函数的最大 值之和 BF DE CM 求出 AE OE 2 DE 设 P 2x 0 根据二次函数的对称性得出 OF PF x 推出 OBF ODE ACM ADE 得出 代入求出 BF 和 CM 相加即可求出答案 解答 解 过 B 作 BF OA 于 F 过 D 作 DE OA 于 E 过 C 作 CM OA 于 M BF OA DE OA CM OA BF DE CM OD AD 3 DE OA OE EA OA 2 由勾股定理得 DE 设 P 2x 0 根据二次函数的对称性得出 OF PF x BF DE CM OBF ODE ACM ADE AM PM OA OP 4 2x 2 x 即 解得 BF x CM x BF CM 故选 A 点评 本题考查了二次函数的最值 勾股定理 等腰三角形性质 相似三角形的性质和判定的应用 主要考查学 生运用性质和定理进行推理和计算的能力 题目比较好 但是有一定的难度 8 2011 武汉 如图 在菱形 ABCD 中 AB BD 点 E F 分别在 AB AD 上 且 AE DF 连接 BF 与 DE 相 交于点 G 连接 CG 与 BD 相交于点 H 下列结论 AED DFB S四边形 BCDG CG2 若 AF 2DF 则 BG 6GF 其中正确的结论 A 只有 B 只有 C 只有 D 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 平行线分线段成比例 1904127 专题 压轴题 分析 易证 ABD 为等边三角形 根据 SAS 证明 AED DFB 证明 BGE 60 BCD 从而得点 B C D G 四点共圆 因此 BGC DGC 60 过点 C 作 CM GB 于 M CN GD 于 N 证明 CBM CDN 所以 S四边形 BCDG S四边形 CMGN 易求后者的面积 过点 F 作 FP AE 于 P 点 根据题意有 FP AE DF DA 1 3 则 FP BE 1 6 FG BG 即 BG 6GF 解答 解 ABCD 为菱形 AB AD AB BD ABD 为等边三角形 A BDF 60 又 AE DF AD BD AED DFB BGE BDG DBF BDG GDF 60 BCD 即 BGD BCD 180 点 B C D G 四点共圆 BGC BDC 60 DGC DBC 60 BGC DGC 60 过点 C 作 CM GB 于 M CN GD 于 N CM CN 则 CBM CDN HL S四边形 BCDG S四边形 CMGN S四边形 CMGN 2S CMG CGM 60 GM CG CM CG S四边形 CMGN 2S CMG 2 CG CG CG2 过点 F 作 FP AE 于 P 点 AF 2FD FP AE DF DA 1 3 AE DF AB AD BE 2AE FP BE 1 6 FG BG 即 BG 6GF 故选 D 点评 此题综合考查了全等三角形的判定和性质 平行线分线段成比例 不规则图形的面积计算方法等知识点 综合性较强 难度较大 9 2011 深圳 如图 ABC 与 DEF 均为等边三角形 O 为 BC EF 的中点 则 AD BE 的值为 A 1B 1C 5 3D 不确定 考点 相似三角形的判定与性质 等边三角形的性质 1904127 专题 压轴题 分析 连接 OA OD 由已知可以推出 OB OA OE OD 推出 ODA OEB 根据锐角三角函数即可推出 AD BE 的值 解答 解 连接 OA OD ABC 与 DEF 均为等边三角形 O 为 BC EF 的中点 AO BC DO EF EDO 30 BAO 30 OD OE OA OB 1 DOE EOA BOA EOA 即 DOA EOB DOA EOB OD OE OA OB AD BE 1 故选 A 点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质 等边三角形的性质 本题的关键在于找到需要证相似的三角形 找到对应边的比即可 10 2011 牡丹江 如图 在正方形 ABCD 中 点 O 为对角线 AC 的中点 过点 0 作射线 OM ON 分别交 AB BC 于点 E F 且 EOF 90 BO EF 交于点 P 则下列结论中 1 图形中全等的三角形只有两对 2 正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍 3 BE BF 0A 4 AE2 CF2 20P OB 正确的结论有 个 A 1B 2C 3D 4 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 压轴题 分析 本题考查正方形的性质 四边相等 四个角都是直角 对角线相等 垂直且互相平分 且平分每一组对 角 解答 解 1 错误 ABC ADC AOB COB AOE BOF BOE COF 2 正确 AOE BOF 四边形 BEOF 的面积 ABO 的面积 正方形 ABCD 的面积 3 正确 BE BF AB OA 4 正确 AE2 CF2 BE2 BF2 EF2 OF 2 2OF2 在 OPF 与 OFB 中 OBF OFP 45 POF FOB OPF OFB OP OF OF OB OF2 OP OB AE2 CF2 20P OB 另法 AE2 CF2 BF2 BE2 EF2 PF PE 2 PE2 PF2 2PE PF 作 OM EF M 为垂足 OE OF OM ME MF PE2 PF2 ME MP 2 MF MP 2 2 MO2 MP2 2OP2 O E B F 四点共圆 PE PF OP PB AE2 CF2 2OP2 2OP PB 2OP OP PB 2OP OB 故选 C 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定和性质 以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等 11 2010 双鸭山 如图所示 已知 ABC 和 DCE 均是等边三角形 点 B C E 在同一条直线上 AE 与 BD 与 BD 交于点 O AE 与 CD 交于点 G AC 与 BD 交于点 F 连接 OC FG 其中正确结论的个数是 AE BD AG BF FG BE BOC EOC A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 圆周角定理 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 平行线分线段成比例 1904127 专题 几何综合题 压轴题 分析 根据题意 结合图形 对选项一一求证 判定正确选项 解答 解 1 ABC 和 DCE 均是等边三角形 点 B C E 在同一条直线上 AC BC EC DC ACB DCE 60 ACE BCD 120 在 BCD 和 ACE 中 BCD ACE AE BD 故结论 正确 2 BCD ECA GAC FBC 又 ACG BCF 60 AC BC ACG BCF AG BF 故结论 正确 3 DCE ABC 60 DC AB ACB DEC 60 DE AC FG BE 故结论 正确 4 过 C 作 CN AE 于 N CZ BD 于 Z 则 CNE CZD 90 ACE BCD CDZ CEN 在 CDZ 和 CEN 中 CDZ CEN CZ CN CN AE CZ BD BOC EOC 故结论 正确 综上所述 四个结论均正确 故本题选 D 点评 本题综合考查了全等 圆 相似 特殊三角形等重要几何知识点 有一定难度 需要学生将相关知识点融 会贯通 综合运用 12 2010 鸡西 在锐角 ABC 中 BAC 60 BD CE 为高 F 是 BC 的中点 连接 DE EF FD 则以下结 论中一定正确的个数有 EF FD AD AB AE AC DEF 是等边三角形 BE CD BC 当 ABC 45 时 BE DE A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 考点 相似三角形的判定与性质 等边三角形的判定 直角三角形斜边上的中线 1904127 专题 综合题 压轴题 分析 EF FD 是直角三角形斜边上的中线 都等于 BC 的一半 可证 ABD ACE 证明 EFD 60 假设结论成立 在 BC 上取满足条件的点 H 证明其存在性 当 ABC 45 时 EF 不一定是 BC 边的 高 解答 解 BD CE 为高 BEC BDC 是直角三角形 F 是 BC 的中点 EF DF BC 故正确 ADB AEC 90 A 公共 ABD ACE 得 AD AB AE AC 故正确 A 60 ABC ACB 120 F 是 BC 的中点 EF BF DF CF ABF BEF ACB CDF BFE CFD 120 EFD 60 又 EF FD DEF 是等边三角形 故正确 若 BE CD BC 则可在 BC 上截取 BH BE 则 HC CD A 60 ABC ACB 120 又 BH BE HC CD BHE CHD 120 EHD 60 所以存在满足条件的点 假设成立 但一般情况不一定成立 故错误 当 ABC 45 时 在 Rt BCE 中 BC BE 在 Rt ABD 中 AB 2AD 由 B C D E 四点共圆可知 ADE ABC 即 BE DE 故正确 故此题选 C 点评 此题考查了相似三角形的判定和性质 综合性很强 13 2009 遵义 已知三个边长分别为 10 6 4 的正方形如图排列 点 A B E H 在同一条直线上 DH 交 EF 于 R 则线段 RN 的值为 A 1B 2C 2 5D 3 考点 正方形的性质 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 压轴题 分析 求 RN 的长 需先求出 RE 的值 易证得 HRE HDA 根据得出的对应成比例线段即可求出 RE 的长 由此得解 解答 解 RE AD HRE HDA EH 4 AD 10 AH AB BE EH 20 RE 2 RN EN ER 2 故选 B 点评 此题主要考查的是正方形的性质以及相似三角形的判定和性质 14 2007 佳木斯 如图 已知 ABCD 中 BDE 45 DE BC 于 E BF CD 于 F DE BF 相交于 H BF AD 的延长线相交于 G 下面结论 DB BE A BHE AB BH BHD BDG 其 中正确的结论是 A B C D 考点 相似三角形的判定 全等三角形的判定与性质 平行四边形的性质 1904127 专题 几何综合题 压轴题 分析 根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案 解答 解 BDE 45 DE BC DB BE BE DE DE BC BF CD BEH DEC 90 BHE DHF EBH CDE BEH DEC BHE C BH CD ABCD 中 C A AB CD A BHE AB BH 正确的有 故选 B 点评 此题考查了相似三角形的判定和性质 如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似 如果两个三角形的两条对应边的比相等 且夹角相等 那么这两个三角形相似 如果两个三角形的 两个对应角相等 那么这两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的 三角形与原三角形相似 相似三角形的对应边成比例 对应角相等 15 2006 泰州 如图 O 为矩形 ABCD 的中心 将直角三角板的直角顶点与 O 点重合 转动三角板使两直角边 始终与 BC AB 相交 交点分别为 M N 如果 AB 4 AD 6 OM x ON y 则 y 与 x 的关系是 A B C y xD 考点 相似三角形的判定与性质 根据实际问题列一次函数关系式 矩形的性质 1904127 专题 压轴题 分析 根据矩形的性质 及相似三角形的性质得出 y 与 x 的关系 本题通过证明 OEN 与 OFM 相似得出 解答 解 作 OF BC OE AB 则有 OEN OFM 90 度 EOF 90 度 MOF EOF EOM 90 EOM NOE NOM EOM 90 EOM MOF NOE OEN 与 OFM 相似 OE OF ON OM y x 故选 D 点评 解决本题的关键是根据相似得到相应的等量关系 注意利用矩形的一些性质 16 2004 威海 如图 ABCD 中 M N 为 BD 的三等分点 连接 CM 并延长交 AB 于 E 点 连接 EN 并延长 交 CD 于 F 点 则 DF AB 等于 A 1 3B 1 4C 2 5D 3 8 考点 平行线分线段成比例 平行四边形的性质 1904127 分析 由题意可得 DN NM MB 据此可得 DF BE DN NB 1 2 再根据 BE DC BM MD 1 2 AB DC 故可得出 DF AB 的值 解答 解 由题意可得 DN NM MB DFN BEN DMC BME DF BE DN NB 1 2 BE DC BM MD 1 2 又 AB DC 可得 DF AB 1 4 故选 B 点评 本题主要考查了相似三角形的性质 两相似三角形对应线段成比例 要注意比例线段的应用 难度适中 17 2004 天津 如图 正 ABC 内接于 O P 是劣弧 BC 上任意一点 PA 与 BC 交于点 E 有如下结论 PA PB PC PA PE PB PC 其中 正确结论的个数为 A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 考点 等边三角形的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 压轴题 分析 根据题意 易得 APC BDC 即 AP BD 有 PA DB PB PD PB PC 正确 同时可得 错误 同理 易得 PBE PAC 故有 PA PE PB PC 正确 解答 解 延长 BP 到 D 使 PD PC 连接 CD 可得 CPD BAC 60 则 PCD 为等边三角形 ABC 为正三角形 BC AC PBC CAP CPA CDB APC BDC AAS PA DB PB PD PB PC 故 正确 由 1 知 PBE PAC 则 1 错误 CAP EBP BPE CPA PBE PAC PA PE PB PC 故 正确 故选 B 点评 本题考查等边三角形的性质与运用 其三边相等 三个内角相等 均为 60 18 2004 天津 如图 已知等腰 ABC 中 顶角 A 36 BD 为 ABC 的平分线 则的值等于 A B C 1D 考点 相似三角形的判定与性质 换元法解分式方程 1904127 专题 压轴题 分析 由题可知 ABC BDC 然后根据相似比求解 解答 解 等腰 ABC 中 顶角 A 36 ABC 72 又 BD 是 ABC 的角平分线 ABD DBC 36 A 又 C C ABC BDC 设 AD x AB y A ABD BD AD 则 BC BD AD x CD y x 设 k 则上式可以变化为 1 k 解得 k 则的值等于 故选 B 点评 本题根据相似三角形的对应边的比 把问题转化为方程问题 19 2004 荆州 如图 正方形 ABCD 的边长为 2cm 以 B 为圆心 BC 长为半径画弧交对角线 BD 于 E 点 连 接 CE P 是 CE 上任意一点 PM BC PN BD 垂足分别为 M N 则 PM PN 的值为 A cmB 1cmC cmD 2cm 考点 相似三角形的判定与性质 三角形的面积 正方形的性质 1904127 分析 连接 BP 做 EH BC 于 H 点 根据题意可得 BE BC 2 EH DC 即可推出 EH 的长度 结合图形可知 S EBP S BPC S BEC 写出表达式 即可得 PM PN 解答 解 连接 BP 作 EH BC 于 H 点 正方形 ABCD 的边长为 2cm BE CE BE CE DC 2 DB 2 EH DC BHE BCD BE BD EH CD EH S EBP S BPC S BEC PM PN 故选择 A 点评 本题主要考查正方形的性质 三角形的面积公式 相似三角形的判定和性质 解题的关键 BHE BCD 求出 EH 的长度 20 2003 泰安 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别是边 AB CD 的中点 DB 分别交 AN CM 于点 P Q 下列结论 1 DP PQ QB 2 AP CQ 3 CQ 2MQ 4 S ADP S平行四边形 ABCD 其中正确 结论的个数为 A 4B 3C 2D 1 考点 相似三角形的判定与性质 平行四边形的性质 平行线分线段成比例 1904127 分析 平行四边形 ABCD 中 M N 分别是边 AB CD 的中点 易证 ADN CBM AN CM 根据 M 是 AB 的中点 因而 BQ PQ 同理 DP PQ 因而 DP PQ QB 同理易证 APD CBQ 则 AP CQ 根据 AB CD BMQ DCQ 2 CQ 2MQ 根据 DP PQ QB AN CM 得到 ADP 与平行四边形 ABCD 中 AD 边上的高的比是 1 3 因而 S ADP S平行四边形 ABCD 解答 解 平行四边形 ABCD 中 M N 分别是边 AB CD 的中点 DN MB MBC NDA AD BC ADN CBM DNA CMB AB CD DNA NAM NAM CMB AN CM M 是 AB 的中点 BQ PQ 同理 DP PQ 因而 DP PQ QB 同理易证 APD CBQ 则 AP CQ AB CD BMQ DCQ 2 CQ 2MQ DP PQ QB AN CM 得到 ADP 与平行四边形 ABCD 中 AD 边上的高的比是 1 3 S ADP S平行四边形 ABCD 正确结论的个数为 1 DP PQ QB 2 AP CQ 3 CQ 2MQ 故选 B 点评 本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明 21 2003 黄石 如图 D E 是 ABC 中 BC 边的两个分点 F 是 AC 的中点 AD 与 EF 交于 O 则等于 A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 平行线的性质 平行线分线段成比例 1904127 专题 几何综合题 压轴题 分析 过点 F 作 FH BC 交 AD 于 G 构建平行线 然后可以得到比例线段 解答 解 过点 F 作 FH BC 交 AD 于 G FH BC AFG ACD F 是 AC 的中点 又 D E 是 BC 的分点 CD DE 又 FH BC GOF DOE 故选 A 点评 此题运用了平行线分线段成比例定理 还用到了相似三角形的判定和性质 22 2013 南通二模 如图 已知在 Rt ABC 中 AB AC 2 在 ABC 内作第一个内接正方形 DEFG 然后取 GF 的中点 P 连接 PD PE 在 PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ 再取线段 KJ 的中点 Q 在 QHI 内作第三个 内接正方形 依次进行下去 则第 n 个内接正方形的边长为 A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 正方形的性质 1904127 专题 规律型 分析 首先根据勾股定理得出 BC 的长 进而利用等腰直角三角形的性质得出 DE 的长 再利用锐角三角函数的 关系得出 即可得出正方形边长之间的变化规律 得出答案即可 解答 解 在 Rt ABC 中 AB AC 2 B C 45 BC 2 在 ABC 内作第一个内接正方形 DEFG EF EC DG BD DE BC DE 取 GF 的中点 P 连接 PD PE 在 PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ 再取线段 KJ 的中点 Q 在 QHI 内作第三个内接正方形 依次进行下去 HI DE 2 1 则第 n 个内接正方形的边长为 n 1 故选 B 点评 此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识 根据已知得出正方形边长的变化规律 是解题关键 23 2013 南开区一模 在锐角 ABC 中 BAC 60 BD CE 为高 F 是 BC 的中点 连接 DE EF FD 则 以下结论中一定正确的个数有 EF FD AD AB AE AC DEF 是等边三角形 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 考点 相似三角形的判定与性质 等边三角形的判定 直角三角形斜边上的中线 1904127 分析 EF FD 是直角三角形斜边上的中线 都等于 BC 的一半 可证 ABD ACE 证明 EFD 60 解答 解 BD CE 为高 BEC BDC 是直角三角形 F 是 BC 的中点 EF DF BC 故此选项正 确 ADB AEC 90 A 公共 ABD ACE 得 AD AB AE AC 故此选项正确 A 60 ABC ACB 120 F 是 BC 的中点 EF BF DF CF ABF BEF ACB CDF BFE CFD 120 EFD 60 又 EF FD DEF 是等边三角形 故此选项正确 故正确的有 3 个 故选 D 点评 此题主要考查了直角三角形的性质 相似三角形的判定和性质 等边三角形的判定 锐角三角函数的定义 熟练利用相关性质得出是解题关键 24 2013 连云港模拟 如图 Rt ABC 中 BC ACB 90 A 30 D1是斜边 AB 的中点 过 D1作 D1E1 AC 于 E1 连结 BE1交 CD1于 D2 过 D2作 D2E2 AC 于 E2 连结 BE2交 CD1于 D3 过 D3作 D3E3 AC 于 E3 如此继续 可以依次得到点 E4 E5 E2013 分别记 BCE1 BCE2 BCE3 BCE2013的面 积为 S1 S2 S3 S2013 则 S2013的大小为 A B C D 考点 相似三角形的判定与性质 1904127 专题 规律型 分析 首先由 Rt ABC 中 BC ACB 90 A 30 求得 ABC 的面积 然后由 D1是斜边 AB 的中点 求得 S1的值 继而求得 S2 S3 S4的值 即可得到规律 Sn S ABC 继而求得答案 解答 解 Rt ABC 中 BC ACB 90 A 30 AC BC 6 S ABC AC BC 6 D1E1 AC D1E1 BC BD1E1与 CD1E1同底同高 面积相等 D1是斜边 AB 的中点 D1E1 BC CE1 AC S1 BC CE1 BC AC AC BC S ABC 在 ACB 中 D2为其重心 D2E1 BE1 D2E2 BC CE2 AC S2 AC BC S ABC D3E3 BC CE2 AC S3 S ABC Sn S ABC S2013 6 故选 C 点评 此题考查了直角梯形的性质 相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识 此题难度较大 注意得到规 律 Sn S ABC是解此题的关键 注意掌握数形结合思想的应用 25 2013 樊城区模拟 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 E 为 AB 上一点 且 DE 平分 ADC CE 平分 BCD 则下列结论中正确的有 DE EC ADE BEC AD BC BE AE CD AD BC A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 相似三角形的判定与性质 角平分线的性质 直角梯形 1904127 分析 运用角平分线的性质及平行线的性质 易得到 ADC BCD 90 再通过三角形的内角和为 180 求 得 CED 90 问题得证 先由平行线的性质得出 A 180 B 90 再根据同角的余角相等即可证明 ADE BEC 先根据有两角对应相等的两三角形相似得出 ADE BEC 再利用相似三