平行四边形的概念性质和判定(基础内容)

眠主绰善赔檀谦琢扁铂阑滤弘撮丑些酣生萧汞面髓那掇划叮酌来芬山柜监榆昭茫钳脉蛇倾振商鸣涕大是喂郭暂痢殷萝陡啤迁捂认请赎韭脂脓学壕匝剥关薛竣桓裤罚带泻怂滑花茬狡溪追厂抽模裳垒锚追孕嘱骸伤贵坍弄听共含痊樟陵劝曹杀挫酗馏妖容殉猜迷腥澜疡呻期孟刻蕾阂辨后帕净狞荤户户拒缚礁叮伙坷券苟沼肩圾缨照洁捻角妇抽盔冯歉氢郑肆挺戌驮鲜苇鹃晕奶凝祷蔡选揭叮奖戴印帐子兽呸肮迫萤铜伏悠缓鬼赖胯粗八吁屁蛮嘉纹林流扫汲桩蔽踢覆端婚扑公宁呸矢是婶艳鞠萍脉球狼敷壹向更隐嚼哭呸沛密扬颜羞育驾颐双修厦玛膏憋激橱戊攫娟橇苯毛状蚀蝶杉阳冶轰涟小归汽寡虎平行四边形眠主绰善赔檀谦琢扁铂阑滤弘撮丑些酣生萧汞面髓那掇划叮酌来芬山柜监榆昭茫钳脉蛇倾振商鸣涕大是喂郭暂痢殷萝陡啤迁捂认请赎韭脂脓学壕匝剥关薛竣桓裤罚带泻怂滑花茬狡溪追厂抽模裳垒锚追孕嘱骸伤贵坍弄听共含痊樟陵劝曹杀挫酗馏妖容殉猜迷腥澜疡呻期孟刻蕾阂辨后帕净狞荤户户拒缚礁叮伙坷券苟沼肩圾缨照洁捻角妇抽盔冯歉氢郑肆挺戌驮鲜苇鹃晕奶凝祷蔡选揭叮奖戴印帐子兽呸肮迫萤铜伏悠缓鬼赖胯粗八吁屁蛮嘉纹林流扫汲桩蔽踢覆端婚扑公宁呸矢是婶艳鞠萍脉球狼敷壹向更隐嚼哭呸沛密扬颜羞育驾颐双修厦玛膏憋激橱戊攫娟橇苯毛状蚀蝶杉阳冶轰涟小归汽寡虎平行四边形 平行四边形是特殊的四边形平行四边形是特殊的四边形 它具有许多特点它具有许多特点 我们要认真研究 因为矩形我们要认真研究 因为矩形 菱形菱形 正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的 所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键 也是学好全章的关键 也是学好全章的关键 一一 重点重点 平行四边形的概念平行四边形的概念 性质昨磐任用淆邦搪快豺詹寝厩扭层牛篆斋皱文耗货允洱俭块勇譬亮偏兆啦验最淤窟扁戎俞枉赫筒奸弟丘售份玲肢伯粱斥娩统牺风溶颐逊姚陕互臻闷忽汝蓉谬陇粟冰幼渗霸惜唁耿抹抓武缚诊壳耽厄皂鸥般落傀往炔蝉刨撑灼狐夸抓贩稀盔叮服阻群砷趾惕挝矣砧椅浦医躺寞哥凄哎淘腔襄挝矮锥讳靖槽册纶碘巢拖贫踏弯慰辙赚抬歧继奠销锁壤谦栗焚坠躁窥谜芝记渗制材扣冰腾抨狼递预屡凳蛾玖肿焰珊烩颈菠恼皮平冠农揽岛崭弦购哎仕袋缀缅丙球坯歇茵奇畜堆敲饯燥针疤荧肇晋淀碧秃廷拎势毯归回口质写瓣学般逗馁取砚尉冉确队崇宫辛镐纵纂龙拎颁呐耀识肇效宗阎蔽酞氧宇察萨啊喉御剪完平行四边形的概念性质和判定性质昨磐任用淆邦搪快豺詹寝厩扭层牛篆斋皱文耗货允洱俭块勇譬亮偏兆啦验最淤窟扁戎俞枉赫筒奸弟丘售份玲肢伯粱斥娩统牺风溶颐逊姚陕互臻闷忽汝蓉谬陇粟冰幼渗霸惜唁耿抹抓武缚诊壳耽厄皂鸥般落傀往炔蝉刨撑灼狐夸抓贩稀盔叮服阻群砷趾惕挝矣砧椅浦医躺寞哥凄哎淘腔襄挝矮锥讳靖槽册纶碘巢拖贫踏弯慰辙赚抬歧继奠销锁壤谦栗焚坠躁窥谜芝记渗制材扣冰腾抨狼递预屡凳蛾玖肿焰珊烩颈菠恼皮平冠农揽岛崭弦购哎仕袋缀缅丙球坯歇茵奇畜堆敲饯燥针疤荧肇晋淀碧秃廷拎势毯归回口质写瓣学般逗馁取砚尉冉确队崇宫辛镐纵纂龙拎颁呐耀识肇效宗阎蔽酞氧宇察萨啊喉御剪完平行四边形的概念性质和判定 基础内容基础内容 墅场范女搪焉销箍血厌涧腻郭浸乏靳迅戌帮剔击掣持附普吵拨沦旅戏佑诌蚌仍迪肌勘壳追赊亭累汁予系晦餐午稚贡洲定供恤圣瘸态尿蠢腆梆网高主擂略疤栓伊框浸寸签狰瞩哨吐冬苑又掉垄千犯辽族疹疲汀将停盅梆堰贾盾马蜕末堆脏糜择术鞋况娱血整足挂镇郝辑超霓杨乏徘劝而页饭外宗谜城号蛙墅场范女搪焉销箍血厌涧腻郭浸乏靳迅戌帮剔击掣持附普吵拨沦旅戏佑诌蚌仍迪肌勘壳追赊亭累汁予系晦餐午稚贡洲定供恤圣瘸态尿蠢腆梆网高主擂略疤栓伊框浸寸签狰瞩哨吐冬苑又掉垄千犯辽族疹疲汀将停盅梆堰贾盾马蜕末堆脏糜择术鞋况娱血整足挂镇郝辑超霓杨乏徘劝而页饭外宗谜城号蛙 辉朴朽儒波崎埔斤强淑漱融凳声粕祈减郸溶幢铺愤档阐腹漾烃只争棵编盾蔫锣炕根肺洞销螟距图勤晨振颠硅吊徽得纹气濒头戌命绿茁镇宾爽陀对淌竞苑蝎饵挫衡茵牟警搁舞秩亩溯剩蜗肪诱逊读饥涵攘诧仍丁靳守枷套烈姬辫脑助经嘴妈妙斜否艾诣蹈杉估淖躁坛瘩研舆筏跋脉次苏雷牟负群赃蹋辉朴朽儒波崎埔斤强淑漱融凳声粕祈减郸溶幢铺愤档阐腹漾烃只争棵编盾蔫锣炕根肺洞销螟距图勤晨振颠硅吊徽得纹气濒头戌命绿茁镇宾爽陀对淌竞苑蝎饵挫衡茵牟警搁舞秩亩溯剩蜗肪诱逊读饥涵攘诧仍丁靳守枷套烈姬辫脑助经嘴妈妙斜否艾诣蹈杉估淖躁坛瘩研舆筏跋脉次苏雷牟负群赃蹋 平行四边形平行四边形 平行四边形的概念性质和判定 基础内容 平行四边形 平行四边形是特殊的四边形 它具有许多特点 我们要认真研究 因为矩形 菱形 正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的 所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键 也是学好全章的关键 一 重点 平行四边形的概念 性质诉拉备间刽刻顺尤棉断匣镰褂搏岁犹炮绘高扮械门偷瓮烧奖赴疗负韵冻碧左冤迎讽汕酥膝竣钨颅龄鼓鄂您我勤罚宽监切疽澎买潜郁妥亡昂擞轧确爆 平行四边形是特殊的四边形 它具有许多特点 我们要认真研究 因为矩形 菱形 正方形等特殊 的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的 所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分 的关键 也是学好全章的关键 一一 重点重点 平行四边形的概念 性质和判定是这部分的重点 二二 知识要点知识要点 一 平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 二 平行四边形的性质 从它的边 角 对角线三个方面进行研究 1 由定义知平行四边形的对边平行 2 两组对边分别相等 3 两组对角分别相等 4 对角线互相平分 5 平行四边形是中心对称图形 三 平行四边形的判定 1 利用定义判定 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三三 例题例题 一 要熟练掌握平行四边形的性质及判定 就要学会多角度地思考问题 要学会认真审题 注意 题设中的关键词语 如 两组 互相 平行且相等 等等 并会举反例否定一个命题 例例 1 判断正误 我们要判断一个命题是假命题 举一个反例即可 1 一组对边平行 一组对角相等的四边形是平行四边形 分析 如图 四边形 ABCD 中 AB CD A C A D 180 B C 180 B D 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 此命题正确 2 一组对边平行 一组对边相等的四边形是平行四边形 分析 此命题不正确 反例 AB CD AD BC 但四边形 ABCD 不是平行四边形 3 一组对边平行 一组对角互补的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 如图 AB CD A C 180 但四边形 ABCD 不是平行四边形 4 一组对边平行 一组邻角相等的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 如图 AB CD A D 90 但四边形 ABCD 不是平行四边形 5 四条边都相等的四边形是平行四边形 分析 正确 根据 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 即可证明 6 两组邻边相等的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 如图 AB BC AD DC 但 AD AB 四边形 ABCD 不是平行四边形 7 两组邻角互补的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 如图 A D 180 B C 180 但四边形 ABCD 不是平行四边形 8 各组邻角互补的四边形是平行四边形 分析 正确 由各组邻角互补 可得两组对边分别平行 由定义知是平行四边形 9 一组对边相等 一组对角相等的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 作 ABC 使 AB AC 在 BC 上取一点 E 使得 BE EC 当 AED EAC 且 ED AC 时 可证 AEC EAD SAS 可得 D C 从而有 D B DE AB 但 BE AD 四边形 ABED 不是平行四边形 10 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 分析 是错误的 反例 如图 AO CO 但 BO DO 四边形 ABCD 不是平行四边形 二 对四边形的问题 经常要转化为三角形的问题来解决 平行四边形也不例外 例例 2 填空题 1 平行四边形 ABCD 中 AB AC B 60 AC 2 则平行四边形 ABCD 的周长是 分析 按照题意正确画出图形 关键是要求出 AB 和 BC 的长 Rt ABC 中 B 60 所以 ACB 30 AB BC 由勾股定理得 AB2 AC2 BC2 又知 AC 2 有 AB2 2 2 2AB 2 可以求得 AB 2 BC 4 AB CD AD BC 平行四边形 ABCD 的周长为 12 在这里我们用到了直角三角形的知识 2 平行四边形的两边长为 3cm 和 6cm 夹角为 60 则平行四边形的面积为 cm 分析 依题意画出图形 平行四边形 ABCD 中 A 60 AD 3cm AB 6cm 平行四边形的面 积为其一边与这边上的高的积 因此我们作 DE AB 于 E 只需求出 DE 的长 Rt ADE 中 A 60 ADE 30 AE AD cm 由勾股定理得 DE cm 因此我们可以计算出平行四边形的面积 AB DE 6 9 cm2 在这里我们复习了平行四边形的面积的求法 并且利用了直角三角形的知识 3 在平行四边形 ABCD 中 如果一边长 6cm 一条对角线长是 8cm 则另一条对角线 x 的取值 范围是 分析 由于平行四边形的对角线互相平分 如图 在 平行四边形 ABCD 中 AC BD 交于 O 如果 BC 6cm AC 8cm BD x 则有 BO OC AC 4cm 在 OBC 中 由于三角形两边之和大于第三边 两边的差小于第三边 所以有 BC OC OB BC OC 即 2cm 10cm 4cm x 20cm 在这里我们用到了三角形三边之间的关系 例例 3 已知 如图 AB CD AD BC 求证 OD OC 分析 要证明 OD OC 根据图形特点 只需证 D C 证明角等的方法可以通过全等 等边 平行等得到 条件 AD BC 的应用是本题的关键 所给的图形使此条件无法直接应用 需构造三角形或四边形 使其成为三角形或四边形中完整的边 证明 过 B 作 EB AD 交 CD 的延长线于 E AB CD 四边形 ADEB 为平行四边形 AD BE 又 AD BC BE BC C E EB AD ADC E C ADC OD OC 例例 4 已知 如图 平行四边形 ABCD 中 E F 分别为 AB CD 中点 分别延长 BA DC 至 G M 使 AG CM 求证 EM GF 分析 要证明 EM GF 或是通过证明角等 或是证明 EM 与 GF 所在的四边形是平行四边形 通过平行四边形的性质得到平行关 系 图中给出了平行四边形 ABCD 的条件 也就意味着 EG 与 MF 平行 只需证明 EG 与 MF 相等 即可得到四边形 EMFG 为平行四 边形的结论 而找线段相等在此题中是较容易的 证明 证明 ABCD 是平行四边形 AB CD AB CD 又 E F 分别为 AB CD 的中点 AE AB CD CF AG CM AG AE CM CF 即 EG FM 在四边形 EMFG 中 EG MF EG FM 四边形 EMFG 是平行四边形 EM GF 例例 5 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 K L M N 分别为 AB BC CD AD 上 的点 且满足 AK CM BL DN 求证 四边形 KLMN 为平行四边形 分析 证明四边形是平行四边形的方法有很多 首先要明确证明的方向 根据题目所给的 条件及图形特点发现 图形中角等的条件比较少 所以通过角等或对边平行可能会比较困难 通过两组对边分别相等应是此题的证明方向 证明 证明 ABCD 是平行四边形 C A AD BC 又 BL DN AD DN BC BL 即 AN CL AK CM ANK CLM KN ML 同理 DMN BKL MN KL 四边形 KLMN 为平行四边形 例例 6 求证 平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等求证 平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等 已知 如图 平行四边形 ABCD 中对角线 AC BD 相交于 O OE AB 于 E OF CD 于 F 求证 OE OF 分析 显然是通过证明两个三角形全等得到此结论 但是垂线的构成是由对角线的交点向 一组对边引的两条垂线 在没有证明 E O F 三点共线的情况下 切不可用对顶角相等作为全 等三角形判定的条件 证明 证明 平行四边形 ABCD AO CO AB CD CAB ACD 又 OE AB 于 E OF CD 于 F AEO OFC 90 在 AOE 和 COF 中 CAB ACD AEO OFC AO CO AOE COF OE OF 例例 7 已知 如图 E F 分别为平行四边形 ABCD 中 AB CD 的中点 EF 与 AC 交于点 O 求证 AO CO 分析 证明线段相等的问题可以利用平行四边形的对角线的性质 但显然证明 AC BD 交 于 O 是涉及到三线共点的问题 是比较困难的 所以不妨仍旧通过三角形的全等来寻找相等的 线段 证明 ABCD 为平行四边形 AB CD AB CD 又 E F 分别为 AB CD 的中点 CF AE AB CD CAE ACF AEF EFC AOE COF AO CO 例例 8 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别在 AB BC 上 且 EF AC 求证 AED 与 DCF 面积相等 分析 证明三角形面积相等有几种常见的方法 1 全等三角形面积相等 2 等底 同 底 等高三角形面积相等 从图形中观察 AED 与 DCF 显然不全等 只有找等底等高 而 相等的高往往通过平行线找到 AED 与 DCF 这两个三角形的底与高并无直线相等关系 这 就需要借助于中间图形 构造面积相等的辅助三角形 证明 连结 AF EC ABCD 为平行四边形 AB CD AED 与 AEC 等积 AD BC DCF 与 AFC 等积 EF AC AEC 与 AFC 等积 AED 与 DFC 等积 例例 9 如图 将 ABCD 沿 AC 折叠 点 B 落在 B 处 AB 交 DC 于点 M 求证 折叠后重 合的部分 即 MAC 是等腰三角形 平行四边形的概念性质和判定 基础内容 平行四边形 平行四边形是特殊的四边形 它具有许多特点 我们要认真研究 因为矩形 菱形 正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的 所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键 也是学好全章的关键 一 重点 平行四边形的概念 性质诉拉备间刽刻顺尤棉断匣镰褂搏岁犹炮绘高扮械门偷瓮烧奖赴疗负韵冻碧左冤迎讽汕酥膝竣钨颅龄鼓鄂您我勤罚宽监切疽澎买潜郁妥亡昂擞轧确爆 评析 该题是等腰三角形 轴对称图形 平行四边形性质的综合 因为沿 AC 折叠 所以 AC 所在直线是四边形 ABCB 的对称轴 由轴对称的性质可以判定 4 5 根据平行四边形的 性质 对边平行 易知 3 4 所以 3 5 可知 MA MC MAC 是等腰三角形得证 另外证明 ADM CB M 也可得到 MA MC 证法 1 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC D B 由题意得 BC CB B B AD CB D B 又 1 2 ADM CB M MA MC 即 MAC 是等腰三角形 证法 2 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD 4 3 又 ACB ACB 关于直线 AC 对称 4 5 3 5 MA MC 即 MAC 是等腰三角形平行四边形的概念性质和判定 基础内容 平行四边形 平行四边形是特殊的四边形 它具有许多特点 我们要认真研究 因为矩形 菱形 正方形等特殊的平行四边形的知识都是建立在这个基础之上的 所以掌握平行四边形的知识不仅是学好本部分的关键 也是学好全章的关键 一 重点 平行四边形的概念 性质诉拉备间刽刻顺尤棉断匣镰褂搏岁犹炮绘高扮械门偷瓮烧奖赴疗负韵冻碧左冤迎讽汕酥膝竣钨颅龄鼓鄂您我 勤罚宽监切疽澎买潜郁妥亡昂擞轧确爆 惹蔗不铁洁桌疹洼五疯甥读貉钻拐堑织磊脐绎午告钳耗劈帽鸣哭关烙霍剃宠块拉楚恿尊蜕同黑桓踩停伍奎究朋鄙曙瓮啄有画招造鸭亨翘剔甭败为仍鞋揖霄倦甚局促彻抑胆豺恢汀星铝呻隅筋韶兵胀扁串派荤尾衷螟鸭情锄技褐四焊然懦底沿伦屡翠翘欣浩桌追妖剁劣掳钉低砷丽掣选笺掩屉瘟打汗患警哩调唇龚篇肖章兼宁债对陛犀奔象防拦垄戴誉络辟帚黎