均匀设计方法简介

均匀设计方法简介均匀设计方法简介 在工农业生产和科学研究中 常须做试验 以获得予期目的 改进生产工艺 提高产 品收率或质量 合成出某化合物等等 怎样做试验 是大有学问的 本世纪 30 年代 费歇 R A Fisher 在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作 使试验设计成为统计科学 的一个分支 今天 试验设计理论更完善 试验设计应用更广泛 本节着重介绍均匀设计 方法 一 一 试验设计试验设计 对于一项试验 例如用微波加热法通过离子交换制备 Cu13X 分子筛 我们可以 13X 分子筛 CuCl2为原料来制备 为寻找最佳条件 应如何设计这个试验呢 若我们已 确定了微波加热功率 A 交换时间 B 交换液摩尔浓度 C 为三个影响因素 每个因素取五个不同值 即水平 A1 A5 B1 B5 C1 C5 有两种方 法最易想到 1 全面试验 将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验 对上述示例 不计重复 试验 共需做 5 5 5 125 次试验 2 多次单因素试验 依次考查各因素 考查某因素时 其它因素固定 取最佳值 容 易知道 对上示例 不计重复试验 共需做 3 5 15 次试验 该法在工程和科学试 验中常被人们采用 可当考查的因素间有交互作用时 该法所得结论一般不真 3 正交设计法 利用正交表来安排试验 本世纪 60 年代 日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表 格化 使正交试验设计得到更广泛的使用 70 年代以来 我国许多统计学家深入工厂 科研单位 与广大工程技术人员 工人一起 广泛开展正交设计的研究 应用 取得了大批成果 该法是目前最流行 效果相当好的方法 正交表记为 Ln qm 这里 L 表示正交表 n 表总共要做的试验次数 q 表每个因素都有 q 个水平 m 表该表有 4 列 最多可安排 m 个因素 常用 的二水平正交表为 L4 23 L8 27 L16 215 L32 231 三水平正交表有 L9 34 L27 313 四水平正交表 L16 45 及五水平正交表 L25 56 等 采用拟水平法 人们还 得到一系列在实际中很有用的混合水平正交表 例如 L8 4 24 L12 23 31 L16 44 23 等 此处 L16 44 23 表示要做 16 次试验 允许最多安排四个 4 水平因 素 三个 2 水平因素 在我们的示例中 可取 L25 56 该正交表如下 表 1 L25 56 列 号试验号 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 1 5 5 5 5 5 2 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 2 4 5 1 2 3 2 5 1 2 3 4 表 1 L25 56 续 列 号试验号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3 1 3 5 2 4 3 2 4 1 3 5 3 3 5 2 4 1 3 4 1 3 5 2 3 5 2 4 1 3 4 1 4 2 5 3 4 2 5 3 1 4 4 3 1 4 2 5 4 4 2 5 3 1 4 5 3 1 4 2 5 1 5 4 3 2 5 2 1 5 4 3 5 3 2 1 5 4 5 4 3 2 1 5 5 5 4 3 2 1 十分明显 不计重复试验总共需做 52 25 次试验 观察此表 可知有如下特点 1 每个因素的水平都重复了五次试验 2 每 两个因素的水平组成了一个全面试验方案 这两个特点反映了试验点在试验范围内 排列规则整齐 人们称为 整齐可比 另一方面 这些试验点在试验范围内散布 均匀 人们称此特点为 均匀分散 正交设计的优点本质上来自 均匀分散 整 齐可比 这两个特点 4 均匀设计法 1978 年 我国七机部由于导弹设计的要求 提出了一个五因素的试验 希望 每个因素的水平数要多于 10 而试验次数又不超过 50 为了解决这一问题 我国 数学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究 应用数论方法 舍弃正交设计的 整齐可比 性 创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方 法 即所谓 均匀设计 很好地解决了七机部的导弹设计问题 均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验 所谓均匀设计表是根据 均匀设计理论得到的 类比正交设计表 记为 Un qm n 总试验次数 q 各因素的 水平数 m 可能安排的因素数 例如 我们前面提到的 Cu13X 分子筛的制备问题 就可以用如下的 U5 54 表来安排 表 2 U5 54 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 5 5 5 5 由该表我们可以看到 该法有其独特的布点方式 其特点有 1 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 2 任两个因素的试验点点在平面的格子点上 每行每列有且仅有一个试验点 3 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价 此点要求每个均匀设计表 必须有一个附加的使用表 4 当因素的水平数增加时 试验数按水平数的增加量在增加 二 二 均匀设计表的构造均匀设计表的构造 均匀设计表是一个方阵 设方阵有 n 行 m 列 每一行是 1 2 n 的一个 置换 即 1 2 n 的重新排列 表的第一行是 1 2 n 的一个子集 但不一定是真子集 可以用好格子点法好格子点法来构造符合上述定义的均匀设计表 方法如下 1 给定试验次数 n 寻找比 n 小的整数 h 且使 n 和 h 的最大公约数为 1 符合这些条 件的正整数组成一个向量 h h1 h2 hm 例如 n 7 h 1 2 3 4 5 6 n 9 h 1 2 4 5 7 8 2 均匀设计表的第 j 列由下法生成 uij ihj mod n 这里 mod n 表示同余运算 若 ihj超过 n 则用它减去 n 的一个适当倍数 使差 落在 1 n 之中 ihj 可以递推生成 uij hj ui 1 j uij hj若 uij hj n ui 1 j uij hj n若 uij hj n i 1 2 n 1 例如 对于 n 7 h 1 2 3 4 5 6 而言 有 若 h4 4 则 u14 4 u24 u14 h4 n 8 7 1 u34 u24 h4 5 mod n u44 u34 h4 n 9 7 2 u54 u44 h4 6 u64 u54 h4 n 10 7 3 mod n u74 u64 h4 7 mod n 依此类推 易得 uij i 1 n j 1 2 3 4 5 6 於是得 U7 76 如下 表 3 U7 76 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 3 5 3 6 2 5 1 4 4 1 5 2 6 3 5 3 1 6 4 2 6 5 4 3 2 1 7 7 7 7 7 7 这样生成的均匀设计表特记作 Un nm 向量 h 称为该均匀设计表的生成向量 有时 为强调 h 的作用 将 Un nm 记成 Un h 给定 n 相应的 h 可如上述方便地求得 从 而 m 也即确定 故 m 是 n 的一个函数 其曾由欧拉研究过 称为欧拉函数 记为 E n 由数论得出下列结论 1 当 n 为素数 一个正整数 它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为 1 时 E n 1 n 1 2 当 n 为素数幂时 即 n 可表成 n pL p 素数 L 正整数 有 E n n 1 例 n 9 可表为 n 32 于是 E 9 9 1 6 p 1 3 1 3 若 n 不属于上述两种情况 n 一定可表为不同素数的方幂积 即 n 这里为不同素数 为正整数 这时 s l s ll ppp 21 21s ppp 21s lll 21 E n n 1 1 1 1 1 p 2 1 p s p 1 例如 n 12 可表为 n 22 3 于是 E 12 12 1 1 4 即 U12最多只可能有 4 列 2 1 3 1 上述三种情形中 以素数情形为最好 最多可能获得 n 1 列 非素数情形 上述表的 结构中永远不可能有 n 1 列 王元 方开泰 1981 年 建议 对 n 偶数情形 均匀设计表 由 n 1 的 U 表去掉最后一行来构造 例如 可将 U7 76 表的最后一行去掉构造 U6表如下 表 4 U6 66 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 3 5 3 6 2 5 1 4 4 1 5 2 6 3 5 3 1 6 4 2 6 5 4 3 2 1 为和由好格子点法构造的 U6表 即 U6 66 相区别 上述方法构造的 U6表记为 两者关系和各自特点如下 6 6 6 U 1 所有表是由 Un 1表中划去最后一行而得 n U 2 Un表的最后一行全部由水平 n 组成 表的最后一行则不然 n U 3 若 n 为偶数 表比 Un表有更多的列 n U 4 若 n 为奇数 则表的列数通常少于 Un表 n U 5 表比 Un表有更好的均匀性 应优先采用表 n U n U 6 若将 Un或的元素组成一个矩阵的秩最多分别为及 n U 2 1 nE 2 1 1 nE 三 三 均匀性准则和使用表的产生均匀性准则和使用表的产生 1 均匀性准则 偏差 略 2 均匀设计使用表的产生 整数同余幂法整数同余幂法 我们已经知道 产生均匀设计使用表 实际上就是从 Un nm 中选出 S 列 使其相应 的均匀设计有最小的偏差 当 m 和 S 较大时 从 m 列中取出 S 列的数目有之多 要比 m s 较这么多组点集的均匀性 工作量很大 故需有简化计算和近似求解的方法 这里介绍整 数同余幂法 令 a 为小于 n 的整数 且 a a2 mod n at mod n 互不相同 at 1 1 mod n 则称 a 对 n 的次数为 t 例如 21 2 22 4 23 3 24 1 mod 5 则 2 对 5 的次数为 3 31 3 32 9 33 5 34 4 35 1 mod 11 则 3 对 11 的次数为 4 一般若 a 对 n 的次数大于或等于 S 1 且 a n 1 则可用 a0 a a2 aS 1 mod n 作为生成向量 故 a 称为均匀设计的生成元 在一切可能的 a 最多 n 1 个 中去比较相应实验点的均匀性 工作量则大大减少 理论和实践都证明 这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性 于是 只要 求得最优的 a 给定 n 和 S 便可获得生成向量 从而获得相应的均匀设计表及使用表 附 录 1 给出了奇数 n 5 n 31 及 n 37 的 Un表生成元及其相应均匀设计的偏差 同时对 偶数 n 6 n 30 给出了表的生成元和相应均匀设计的偏差 附录 2 给出了奇数 n 的 n U 表的生成向量和相应均匀设计表的偏差 由附录 1 和附录 2 我们即可获得一系列均匀 n U 设计表或 Un及其使用表 例如由试验需要构造 U9 95 均匀设计表及使用表 则根据附 n U 录 1 示知 n 9 m 4 a 2 故 U9 95 的第一行元素为 1 2 4 8 7 按升幂排列成 1 2 4 7 8 利用前已述及的求 Uij的递推公式求算 Uij 即得到如下 U9 95 表 表 5 U9 95 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 7 8 2 4 8 5 7 3 6 3 3 6 4 8 7 1 5 5 1 2 8 4 6 3 6 6 3 7 5 1 4 2 8 7 5 2 1 9 9 9 9 9 综合考虑 m 2 a 4 及 m 3 a 4 的情况 易得到下列的相应使用表及偏差 表 5 U9 95 的使用表 S 列 号 D 2 1 3 0 1944 3 1 3 4 0 3102 4 1 2 3 5 0 4066 四 四 混合水平的均匀设计混合水平的均匀设计 在多因素试验中 由于试验精度的限制 很多情况下各因素允许的水平数不同 有的 因素水平多 有的少 例如 微波加热离子交换法制备 Cu13X 分子筛 微波加热功率 交换时间可以取 8 水平 而交换液浓度 在试验范围内 取 8 水平难于精确控制 所 以取 4 水平 这时如何进行均匀设计呢 我们可以采用拟水平法 即在安排交换液浓 度这个因素时 令 1 2 水平为 1 水平 3 4 为 2 5 6 为 3 7 8 为 4 也有不少人 令 1 5 为 1 2 6 为 2 3 7 为 3 4 8 为 4 这样形成一个混合水平的均匀设计 表 表 6 U8 82 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 4 4 2 8 3 3 3 2 4 7 1 5 6 7 8 5 2 4 6 6 3 7 1 2 8 5 1 D 0 2310 可见 通过拟水平法 可以由或 Un表得到相应的混合水平表 只是通常偏差比原 n U 或 Un表的略大 n U 五 五 均匀设计的数据分析均匀设计的数据分析 均匀设计的数据分析需要用回归分析 回归分析是数据分析的有力工具 它能揭示变 量之间的相互关系 其方法和理论十分丰富 请参考有关书籍 如参考文献 24 25 26 在此不再祥述 六 六 均匀设计的应用均匀设计的应用 当我们的试验是为了揭示变量 Y 通常称为目标函数 与各因素之间的定性关系及寻 求最优工艺条件时 即可考虑应用均匀设计 特别是各因素的水平较多时 应用均匀 设计的一般步骤如下 1 根据试验目的 选择合适的因素和相应的水平 2 选择适合该试验的均匀设计表 3 根据该均匀设计表的使用表从中选出列号 将因素分别安排到这些列号上 并将这 些因素的水平按所在列的指示分别对号 则试验就安排好了 4 按试验安排进行试验 5 将所得试验结果进行回归分析 找出变量 Y 与各因素间的函数关系 6 根据 5 函数关系 即可求出最优条件 7 进行最优条件的验证试验 例如 我们前面述及的制备 Cu13X 分子筛的例子 根据揭示变量 Y 交换度 与各因 素间定性关系及寻求最优工艺条件的目的 确定因素及各因素的水平如下 表 7 试验选取因素及其水平 水 平 12345678 微波加热功率 W 130195260325390455520585 微波加热时间 min 91011125678 交换液摩尔浓度 mol L A11223344 A 1 2 3 4 分别为 0 04015 0 0803 0 12045 0 1606 于是 选择 U8 82 4 表安排试验后 进行试验 试验安排及结果如表 8 所示 表 8 实验安排及结果 微波加热功率交换时间交换液摩尔浓度 因素 实验号 瓦 W 分 min mol L 1 1 130 4 12 4 0 1606 85 87 2 2 195 8 8 3 0 12045 70 69 3 3 260 3 11 2 0 0803 64 54 4 4 325 7 7 1 0 04015 42 20 5 5 390 2 10 4 0 1606 88 44 6 6 455 6 6 3 0 12045 80 34 7 7 520 1 9 2 0 0803 72 45 8 8 585 5 5 1 0 04015 44 90 根据表 8 所得结果 进行回归分析 得回归方程及有关参数为 Y 8 3 59272E 03X1X2 703 3843X3 1738 756X32 因 素 交换度 R2 0 E 2 B1 3 59272E 03t1 3 39357 B2 703 3843t2 5 B3 1738 756t3 2 在实验范围内 利用计算机对上述方程寻优可得 当微波加热功率为 520 瓦 交换时 间为 12 分钟 交换液摩尔浓度为 0 1606 摩尔 升时 预测的交换度已达 99 44 实际上 目前交换度达 95 以上已足可满足实际需要 从节能考虑可将微波交换功率或交换时间取 低一个水平为优化条件 就是说 微波交换功率取 455 瓦或交换时间取 10 分钟 而交换液 摩尔浓度取最大水平值 0 1606 摩尔 升 在上述优化条件下作验证实验所得结果及回归方 程预测值列于表 9 表 9 验证实验结果与回归方程预测值的比较 实 验 条 件 交 换 度 微波交换功率交换时间 交换液摩尔浓度实验值预测值 9 101 24 10 96 84 12 91 50 13 96 97 11 520 瓦 10 分0 1606 mol L 98 14 95 8 由表 9 可知 10 11 13 三次实验结果与预测值的偏差都小于剩余标准差 E 2 955 9 12 两次实验结果与预测值的偏差较大 分别为 4 51 和 5 23 但二者绝对值都小于 5 91 2E 而除 11 号实验外 另外四次验证实验结果的平均值为 96 64 与回归方程预测值偏差仅为 0 09 总之 预测值和实验值符合较好 这时我们可以得出如下结论 1 在实验考查范围内 影响 Cu2 与 13X 中的 Na 离子交换反应的主要因素是 微波 加热功率和交换时间的交互作用 交换液浓度 而交换液浓度影响呈二次函数关系 2 较优的交换条件为 微波加热功率为 455 或 520 瓦 交换时间为 10 12 分钟 交 换液浓度为 0 1606 摩尔 升 在此条件下铜离子交换度可达 96 以上 3 均匀设计可以成功地应用于研究微波加热离子交换反应 是个获得寻找优化条件的 好方法 七 七 参考文献参考文献 1 方开泰 1978 均匀设计 数论方法在试验设计中的应用 概率统计通讯 第一期 56 97 中国科 学院数学研究所 北京 2 方开泰 1980 均匀设计 数论方法在试验设计中的应用 应用数学学报 3 363 372 3 丁元 1986 均匀设计优良性初探 应用概率统计 2 153 160 4 蒋声 陈瑞琛 1987 拉丁方型均匀设计 高等应用数学学报 2 No 4 5 陈瑞琛 1989 利用置换作循环拉丁方型设计 高等应用数学学报 4 No 4 6 方开泰 郑胡灵 1992 均匀性的新度量 最大对称差准则 应用概率统计 8 2 16 7 张金廷 1993 混料均匀设计 应用概率统计 9 168 175 8 堵盘兴 1989 均匀设计法 陕西化工 No 3 9 赵弈殊 1988 均匀设计表及其使用表的构造 战术导弹技术 No 4 53 58 10 王鹏 王玉珠 沈建民 1989 均匀设计及其在药学中的应用 沈阳药学院学报 6 297 306 实验号 455 瓦12 分 阶段 分 0 1606 mol L 96 73 11 张季纶 王晓琪 1983 均匀设计在纺织工业上的应用 纺织学报 No 2 174 178 12 隋治华 徐荣华 计志忠 1987 环戊酮 2 羟甲基化的均匀设计方法 化学通报 7 29 30 13 李伯勇等 1988 应用均匀设计研究天冬甜精中间体合成工艺 医药工业 19 9 11 14 丁学杰等 1991 均匀设计在精细化工工艺研究中的应用 精细化工 8 4 1 4 15 张效禹等 1991 均匀设计与统计调优在五氧化二钒回收中的应用 山西化工 No 2 48 49 16 汪誉铣 孙萍 1993 均匀设计在研制快速淬火油中的应用 应用概率统计 9 106 108 17 曾昭钧 1991 均匀设计及其在制药化学中的应用 中国药物化学杂志 1 1 68 75 1 2 72 80 18 关中玉 宋桂菊 1993 PID 参数的均匀设计 自动化仪表 14 4 13 16 19 李卫民 金红 张福良 1993 均匀设计在白术提取工艺中的应用 中成药 15 1 8 9 20 张晓菁 薛凤兰 1993 均匀设计在庆大霉素发酵工艺的应用 沈阳药学院学报 10 2 116 118 21 聂英龙等 1992 以均匀设计法探索对叔丁基邻苯二酚的合成 沈阳化工学院学报 6 2 153 158 22 聂英龙等 1992 以均匀设计法研究 2 羟乙基 三甲基氯化铵的合成 沈阳化工 3 11 13 23 聂英龙 樊丽辉 曹爱君 1998 均匀设计在氰尿酸的精制研究中的应用 科技进步与对策 特刊 24 茆诗松 丁元等 1981 回归分析及其试验设计 华东师大出版社 上海 25 方开泰 全辉 陈庆云 1988 实用回归分析 科学出版社 北京 26 项可风 吴启光 1989 试验设计与数据分析 上海科学技术出版社 上海 27 白新桂 1992 数据分析与试验优化设计 清华大学出版社 北京 八 八 附录附录 附录附录 1 Un和的生成元和相应设计的偏差 n U n 2 3 4 n 5 6 7 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 37 2 3100 2 4570 3 1875 3 2656 3 2990 3 2398 3 3721 3 4760 4 1445 4 2000 2 2709 4 1944 4 3102 2 4066 7 1125 7 1681 5 2236 7 1632 7 2649 7 3528 5 1163 6 1838 6 2233 5 1405 6 2308 6 3107 11 0957 7 1455 7 2091 11 1233 7 2043 7 2772 10 0908 5 1262 5 1705 11 1099 10 1832 10 2501 8 0779 9 1394 9 1754 8 0990 8 1660 14 2277 13 0947 5 1363 10 1915 13 0947 10 1581 10 2089 9 0677 17 1108 17 1392 17 0827 15 1397 17 1930 11 0587 6 1031 6 1441 11 0764 11 1294 11 1793 16 0588 10 1136 5 1311 20 0710 20 1205 20 1673 18 0545 7 0935 7 1074 23 0663 9 1128 7 1596 22 0519 22 0888 18 1325 14 0622 12 1060 22 1477 17 0524 23 0931 17 1255 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 37 5 2414 7 2994 7 4286 7 4942 4 2272 6 2670 6 2768 6 3814 6 4439 6 4992 5 2070 10 2518 2 2769 10 3111 10 3667 10 4174 4 2047 3 2245 9 2247 14 2845 14 3368 14 3850 10 2012 10 2010 10 2620 10 3113 17 1827 17 1930 11 2195 11 2428 17 2893 11 3328 12 1758 12 2064 12 2198 11 2261 4 2701 9 3115 5 1683 16 1828 5 1967 20 2115 16 2533 16 2927 16 13