圆锥曲线中典型问题的求解策略与方法

圆锥曲线中典型问题的求解策略与方法圆锥曲线中典型问题的求解策略与方法 圆锥曲线中的几个重点问题久考不衰 且常考常新 因此 掌握其求解的基本策略 与方法是至关重要的 一 求曲线方程问题 求曲线方程问题的基本形式有两种 一是已知曲线的形状与位置关系求曲线方程 即通常所说的 求曲线方程 问题 求解的基本策略是 根据题设的 定位 条件 合 理选择曲线方程形式 根据 定量 条件利用待定系数法建立关于特征参数 a b c e p 的方程 组 解出有关参数 得到所求曲线方程 二是题设条件给 出了点的运动规律 但难以判断曲线类型和方程的具体形式 即通常所说的 求轨迹方 程 问题 求解的基本策略是 分析清楚动点运动的基本规律 动点所满足的几何条件 把该条件坐标化 使条件坐标化的常用方法有定义法 直接法 代点法 转移法 参 数法 向量法等 例 1 如图 1 所示 抛物线的准线和焦点分别是双曲线的右yp x p p 2 2 2 0 准线和右焦点 直线与抛物线及双曲线在第一象限分别交于 A B 两点 且 Aykx 为 OB 中点 图 1 1 当时 求双曲线渐近线的斜率 k 3 2 在 1 的条件下 若双曲线的一条渐近线在 y 轴上截距为 求抛物线 4 7 3 和双曲线方程 分析 1 注意 故需求出 e k b a e 渐 2 1 2 由题意知双曲线方程为 xx a y b 0 2 2 2 2 1 根据已知条件利用特征参数 a b c p 的关系可获解 解 1 由 得点 A p 或 A 舍 yx yp x p 3 2 2 2 3p p p 3 3 3 去 由 A 是 OB 的中点 得点 B 2p 2 3p 则 且点 B 到准线的距离为 OBppp 22 34 22 xp dp 3 由离心率及双曲线定义 得 e c a OB d p p k b a e 4 3 4 3 1 7 3 2 渐 2 依题意设双曲线方程为 则双曲线的一条渐近 xx a y b xp 0 2 2 2 2 0 1 线方程为 由渐近线在 y 轴上截距为 得 从而知双yxx 7 3 0 4 7 3 x04 曲线的半焦距 c 4 由 得 b a c cab 7 3 4 222 a b 2 2 9 7 所求双曲线方程为 xy 4 97 1 22 pc a c 2 4 9 4 7 4 所求抛物线方程为yx 2 7 2 7 8 评注 圆锥曲线中的特征参数 a b c e p 焦点到相应准线的距离 及其间的 关系 椭圆取 双曲线取 反映了圆锥acb 222 e c a p b c 2 曲线的本质属性 且与坐标系的选取无关 在解决圆锥曲线的诸多问题中起着十分重要 的作用 二 直线与圆锥曲线位置关系问题 求解的基本策略是 将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题 进而转 化为一元二次方程的实根问题 因而判别式 韦达定理 弦长公式 焦半径公式的应用 以及设而不求 整体代入 数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用 例 2 直线与双曲线相交于不同两点 A B ykx 131 22 xy 1 以 AB 为直径的圆恰好过原点 求 k 的值 2 是否存在 k 使 A B 两点关于直线对称 若存在 求出 k 值 若不yx 2 存在 请说明理由 分析 1 所给圆过原点的条件为 C 为 AB 中点 将其转化为 k2 OCAB 的方程 2 用假设法求解 解 1 将代入 消去 y 得 ykx 131 22 xy 3220 22 kxkx 依题意知 由 得或k 3 48 30 22 kk 63k 或 33k36 k 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 中点 C x0 y0 由韦达定理 得 xx k k xx k 12 2 12 2 2 3 2 3 于是x xxk k ykx k 0 12 2 00 2 23 1 3 3 即 C k kk3 3 3 22 因以 AB 为直径的圆过原点 则在 Rt AOB 中 由两点距离公式2 OCAB 及弦长公式 得 2 3 3 3 1 2 3 4 2 3 2 2 2 22 2 2 2 k kk k k kk 化简 得 解得或 舍去 kk 42 430 k 1k 3 2 假设存在 k 使 A B 关于直线对称 则直线垂直平分线段yx 2yx 2 AB 于是且 AB 中点在直线上 k 1 2 yx 2 由与联立 消去 y 得 yx 1 2 131 22 xy 11480 2 xx 由韦达定理 中点公式 可得 AB 中点 C 2 11 12 11 显然点 C 不在直线上 故满足条件的 k 不存在 yx 2 评注 1 中要注意圆锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次项 系数 对它们交点个数的影响 2 属探索型问题 也是高考中的常见题型 基本解 法有假设法 反证法 三 最值问题 求解的基本策略有二 一是从几何角度考虑 当题目中的条件和结论明显体现几何 特征及意义时 可用图形性质来解 二是从代数角度考虑 当题中的条件和结论体现出 一种明显的函数关系时 可通过建立目标函数 求其目标函数的最值 求函数最值的常 用方法有 一元二次函数法 基本不等式法 判别式法 定义法 函数单调性法等 例 3 已知 O 为坐标原点 A B 为抛物线上的点 设ypx p 2 20 试求 m 的最小值 SmAOB AOB tan 图 2 分析 设 AB 与 x 轴交点为 M t 0 则可根据题设条件利用向量数量积建立目 标函数 mf t 解 如图 2 设 AB 交 x 轴于点 M t 0 A x1 y1 B x2 y2 当 AB 与 x 轴斜交时 设 AB yk xtk 0 由 得 yk xt ypx 2 2 x xty ytp 12 2 12 2 当轴时 上面结论仍成立 AB x SOA OBAOB AOB 1 2 sin 1 2 costanOA OBAOBAOB 由已知条件SmAOB AOB tan 得mOA OBAOB 1 2 cos 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1212 2222 x xy ytpttppp 当 t p 时 mp min 1 2 2 评注 选取自变量 t 是关键 这是一道立意新颖 涉及知识点多且难度适中的好题 四 参数范围问题 求解的基本策略是构建以待定参数为主元的关系式 常用方法有 不等式法 列出 关于待定参数的不等式组 解得待定参数的范围 函数法 例 4 如图 3 抛物线的一段与椭圆的一段围成封闭图形 点yx 2 4 xy 22 43 1 N 1 0 在 x 轴上 又 A B 两点分别在抛物线及椭圆上 且 AB x 轴 求 NAB 的 周长 l 的取值范围 图 3 分析 利用 l 与抛物线的准线和椭圆右准线之间的距离关系是求解的关键 解 易知 N 为抛物线的焦点 又为椭圆的右焦点 抛物线的准线yx 2 4 椭圆的右准线 过 A 作于 C 过 B 作于 D 则lx 1 1 lx 2 4 AC l 1 BD l 2 C A B D 在同一条与 x 轴平行的直线上 由 得抛物线与椭圆的交点 M