江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题

南京师大附中南京师大附中 2018 届高三年级模拟考试届高三年级模拟考试 数数 学学 2018 05 注注意意事事项项 1 本试卷共 4 页 包括填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 两部分 本 试卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 2 答题前 请务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题纸的密封线内 试题的答案写 在答题纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题纸 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 锥体的体积公式 V Sh 其中其中 S 为锥体的底面积 为锥体的底面积 h 为锥体的高 为锥体的高 1 3 一一 填填空空题题 本本大大题题共共14 小小题题 每每小小题题5 分分 计计 70 分分 不不需需写写出出解解答答过过程程 请请把把答答案案写写在在答答题题纸纸的的 指指定定位位置置上上 1 已知集合 A 0 1 2 3 B x x2 x 2 0 则 A B 2 若复数 z 1 i 则 z 的虚部是 1 z 3 某公司生产甲 乙 丙三种不同型号的轿车 产量分别为 1400 辆 5600 辆 2000 辆 为检 验 产品的质量 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 45 辆进行检验 则应从丙种型号 的 产品中抽取件 4 设变量 x y 满足约束条件则目标函数 z 2x y 的最大值是 x 1 0 x y 1 0 x y 3 0 5 小明随机播放 A B C D E 五首歌曲中的两首 则 A B 两首歌曲至少有一首被播放的概 率 是 6 如图是一个算法的流程图 则输出的 n 的值是 B CA A1C1 B1 D 7 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长均为 2 D 为棱 B1C1上任意一点 则三棱锥 D A1BC 的体积是 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是 y 2x 它的一个焦点与抛物线 x2 a 2 y2 b2 y2 20 x 的焦点相同 则双曲线的方程是 9 若直线 y 2x b 是曲线 y ex 2 的切线 则实数 b 10 a 1 是 函数 f x sinx a 为奇函数 的条件 填 充分不必要 x 1 x 2 必 要不充分 充要 或 既不充分也不必要 11 在数列 an 中 若 a4 1 a12 5 且任意连续三项的和都是 15 则 a2018 12 已知直线 x y b 0 与圆 x y 9 交于不同的两点 A B 若 O 是坐标原点 且 2 2 则实数 b 的取值范围是 OA OB AB 13 在 ABC 中 已知 2 3 则 cosC 的最小值是 AB AC BA BC CA CB 14 已知函数 f x x3 3x2 1 g x 若方程 g f x a 0 a 0 有 6 个实 数根 互不相同 则实数 a 的取值范围是 第 6 题 第 7 题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请 把把 答案写在答题纸的指定区域内 答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 已知 A B C 是 ABC 的三个内角 向量 1 cosA sinA 且 1 m 3 n m n 1 求 A 的值 2 若 3 求 tanC 的值 1 sin2B cos2B sin2B 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 点 E 在棱 PC 上 异于点 P C 平面 ABE 与棱 PD 交于点 F 1 求证 AB EF 2 若 AF EF 求证 平面 PAD 平面 ABCD 17 本小题满分 14 分 如图 A B C 三个警亭有直道相通 已知 A 在 B 的正北方向 6 千米处 C 在 B 的正东方向 6千米处 3 1 警员甲从 C 出发 沿 CA 行至点 P 处 此时 CBP 45 求 PB 的距离 2 警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A 警员乙从 A 出发沿 AB 前 往 B 两人同时出发 甲的速度为 3 千米 小时 乙的速度 为 6 千米 小时 两人通过专用对讲机保持联系 乙到达 B 后原地等待 直到甲到达 A 时任务结束 若对讲机的有效 北 P C A B 第 16 题 通话距离不超过 9 千米 试问两人通过对讲机能保持联系 的总时长 18 本小题满分 16 分 如图 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 若椭圆 C 经过点 0 x2 a 2 y2 b2 3 离心率为 直线 l 过点 F2与椭圆 C 交于 A B 两点 1 2 1 求椭圆 C 的方程 2 若点 N 为 F1AF2的内心 三角形三条内角平分线的交点 求 F1NF2与 F1AF2面积的 比值 3 设点 A F2 B 在直线 x 4 上的射影依次为 点 D G E 连结 AE BD 试问当直线 l 的倾斜角变化时 直线 AE 与 BD 是否相交于 定点 T 若是 请求出定点 T 的坐标 若不 是 请说明理由 19 本小题满分 16 分 已知函数 f x lnx ax a a R 1 若 a 1 求函数 f x 的极值 2 若函数 f x 有两个零点 求 a 的范围 3 对于曲线 y f x 上的两个不同的点 P x f x Q x f x 记直线 PQ 的斜率为 k 1 1 2 2 若 y f x 的导函数为 f x 证明 f k 20 本小题满分 16 分 已知等差数列 an 和等比数列 bn 均不是常数列 若 a1 b1 1 且 a1 2a2 4a4成等比数列 4b2 2b3 b4成等差数列 1 求 an 和 bn 的通项公式 第 17 题 第 18 题 2 设 m n 是正整数 若存在正整数 i j k i j k 使得 ambj amanbi anbk成等差数列 求 m n 的最小值 3 令 cn 记 cn 的前 n 项和为 Tn 的前 n 项和为 An 若数列 pn 满足 p1 c1 且对 an bn 1 an n 2 n N 都有 pn Ancn 设 pn 的前 n 项和为 Sn 求证 Sn 4 4lnn Tn 1 n 南师大附中南师大附中 2018 届高三年级模拟考试届高三年级模拟考试 数学附加题数学附加题 2018 05 注注意意事事项项 1 附加题供选修物理的考生使用 2 本试卷共 40 分 考试时间 30 分钟 3 答题前 考生务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答题纸的密封线内 试题的答案 写在答题纸上对应题目的答案空格内 考试结束后 交回答题纸 21 选做题选做题 在在 A B C D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答卷纸指分 请在答卷纸指 定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 在 ABC 中 已知 AC AB CM 是 ACB 的平分线 AMC 的外接圆交 BC 边于点 N 求证 1 2 BN 2AM N M O B A C 第 21A 题 B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵 M 的一个特征值为 3 求 M 的另一个特征值 1 2 2 x C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知圆 C 2cos 和直线 l R 相交于 A B 两点 求线 2 4 段 AB 的长 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 已知 a 0 b 0 a b 1 求证 1 2a 1 4 2b 1 9 4 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共分 共 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 设 P1 P2 P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点 现任选其中三个不同 点构成一个三角形 记该三角形的面积为随机变量 S 1 求 S 的概率 3 2 2 求 S 的分布列及数学期望 E S 第 22 题 23 本小题满分 10 分 设集合 A B 是非空集合 M 的两个不同子集 1 若 M a1 a2 且 A 是 B 的子集 求所有有序集合对 A B 的个数 2 若 M a1 a2 a3 an 且 A 的元素个数比 B 的元素个数少 求所有有序集 合对 A B 的个数 南师大附中南师大附中 2018 届高三年级校模考试届高三年级校模考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较 严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 一一 填填空空题题 本本大大题题共共14 小小题题 每每小小题题5 分分 计计 70 分分 不不需需写写出出解解答答过过程程 请请把把答答案案写写在在答答题题纸纸的的 指指定定位位置置上上 1 0 1 2 3 10 4 5 5 6 4 2 1 10 7 7 8 9 2ln210 充分不必要 3 32 1 205 22 yx 11 912 13 14 23 6 623 4 5 1 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请 把答案写在答题纸的指定区域内 把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 解 1 因为 1 nm 所以 1 cosA sinA 1 3 即 2 分1cossin3 AA 则 即 4 分1 2 1 cos 2 3 sin2 AA 2 1 6 sin A 又 所以 A0 5 666 A 故 所以 6 分 66 A 3 A 2 由题知 整理得3 sincos cossin21 22 BB BB 8 分0cos2cossinsin 22 BBBB 易知 所以 0cos B02tantan2 BB 所以或 10 分2tan B1tan B 而时 不合题意舍去 1tan B0sincos 22 BB 所以 12 分2tan B 故 tan tan tanBABAC 14 分 tantan85 3 1tantan11 AB AB 16 本小题满分 14 分 证明 1 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 AB CD 2 分 又 AB 平面 PDC CD 平面 PDC 所以 AB 平面 PDC 4 分 又因为 AB 平面 ABE 平面 ABE 平面 PDC EF 所以 AB EF 7 分 2 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 AB AD 8 分 因为 AF EF 1 中已证 AB EF 所以 AB AF 9 分 又 AB AD 由点 E 在棱 PC 上 异于点 C 所以 F 点异于点 D 所以 AF AD A AF AD 平面 PAD 所以 AB 平面 PAD 12 分 又 AB 平面 ABCD 所以平面 PAD 平面 ABCD 14 分 17 本小题满分 14 分 解 1 在中 ABC 6 AB 60A 75APB 由正弦定理 A BP APB AB sinsin 即 3 6 12 362 12 3 2 3 362 42662 4 BP 故的距离是 9 3千米 4 分PB 2 6 2 甲从 C 到 A 需要 4 小时 乙从 A 到 B 需要 1 小时 设甲 乙之间的距离为 要保持通话则需要 tf 9 tf 当时 110 t 60cos312623126 22 tttttf 6 分 2 3 716169tt 即 解得 又07167 2 tt 7 158 7 158 t 1 0 t 所以 8 分1 7 158 t 时长为小时 7 115 当时 241 t 60cos3126231236 2 tttf 10 分 2 36129tt 即 解得 又036 2 tt6363 t 4 1 t 所以 12 分41 t 时长为 3 小时 3 小时 7 115 1520 7 答 两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时 14 分 1520 7 注 不答扣 1 分 18 本小题满分 16 分 解 1 由题意 b 又因为 所以 解得 a 2 3 c a 1 2 b a 所以椭圆 C 的方程为 1 4 分 x2 4 y2 3 2 因为点 N 为 F1AF2的内心 所以点 N 为 F1AF2的内切圆的圆心 设该圆的半径为 r 则 8 分 F1F2 AF1 AF2 F1F2 c a c 1 3 3 若直线 l 的斜率不存在时 四边形 ABED 是矩形 此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点 0 9 分 5 2 下面证明 当直线 l 的倾斜角变化时 直线 AE 与 BD 相交于定点 T 0 5 2 设直线 l 的方程为 y k x 1 化简得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 因为直线 l 经过椭圆 C 内的点 1 0 所以 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 11 分 8k2 3 4k2 4k2 12 3 4k2 由题意 D 4 y1 E 4 y2 直线 AE 的方程为 y y2 x 4 y2 y1 4 x1 令 x 此时 y y2 4 5 2 y2 y1 4 x1 5 2 2 x1 4 y2 3 y2 y1 2 x1 4 2 x1 4 k x2 1 3k x2 x1 2 x1 4 8k 2kx1x2 5k x2 x1 2 x1 4 8k 3 4k2 2k 4k2 12 5k 8k2 2 x1 4 3 4k2 0 24k 32k3 8k3 24k 40k3 2 x1 4 3 4k2 40k3 40k3 2 x1 4 3 4k2 所以点 T 0 在直线 AE 上 5 2 同理可证 点 T 0 在直线 BD 上 16 分 5 2 所以当直线 l 的倾斜角变化时 直线 AE 与 BD 相交于定点 T 0 5 2 19 本小题满分 16 分 解 1 11 ax fxa xx 0 x 当时 在上单调递增 无极值 2 分0a 0fx f x 0 当时 在上单调递增 0a 1 0 x a 0fx f x 1 0 a 在上单调递减 1 x a 0fx f x 1 a 函数有极大值 无极小值 4 分 1 ln1faa a 2 由 1 可知当 a 0 时 f x 在 0 上单调增 不可能有两个零点 当 a 0 时 函数有极大值 1 ln1faa a 令 x 0 ln1g xxx 11 1 x g x xx 在 0 1 上单调递减 0 1 x 0g x 0g x 在 1 上单调递增 1 x 0g x g x 函数有最小值 g x 1 0g 要使若函数有两个零点时 必须满足 6 分 f x01aa 且 下面证明时 函数有两个零点 01aa 且 因为 1 0f 所以下面证明还有另一个零点 f x 当时 01a 1 ln10faa a 22 2 112 ln12 ln1 2ln aaaaaa faa aaaa 令 2 2 ln1h aaaa 01a 2 ln1 22 ln1 0h aaaaa 在上单调递减 则 h a 0 1 1 0h ah 2 1 0f a 所以在上有零点 又在上单调递减 f x 2 11 a a f x 1 a 所以在上有惟一零点 从而有两个零点 f x 2 11 a a f x 当时 1a 1 ln10faa a 111 0 aaa faaaa eee 易证 可得 a ea 11 a ea 所以在上有零点 又在上单调递减 f x 11 a ea f x 1 a 所以在上有惟一零点 从而有两个零点 f x 11 a ea f x 综上 的范围是 10 分a 0 1 1 3 证明 121221 lnln f xf xxxa xx 12122112 121212 lnln lnlnf xf xxxa xxxx ka xxxxxx 又 12 分 11 ax fxa xx 12 12 2 2 xx fa xx 1212121 121212122 1 21 1 122 2 lnln2 21 ln 2 2 1 1 ln 1 xxxxxxx fk xxxxxxxxx x xx x xxx x 不妨设 0 x2 x1 t 则 t 1 x1 x2 则 1 21 1 2 2 2 1 2 1 lnln 1 1 x xxt t x xt x 令 2 1 ln 1 t h tt t 1t 则 2 2 1 0 1 t h t tt 因此 h t 在 1 上单调递减 所以 h t h 1 0 又 0 x2 x1 所以 x1 x2 0 所以 f k 0 即 f k 16 分 20 本小题满分 16 分 解 1 设等差数列的公差为 d d 0 等比数列在公比为 q q 1 由题意得 22 214111 23 324111 44 3 4444 aa aada ad bbbbqbqbq 解得 d 1 q 2 4 分 所以 1 2n nn an b 2 由 ambj amanbi anbk成等差数列 有 2 mn imjnk a a ba ba b 即 111 2222 ijk mnmn 由于 且为正整数 所以 ijk 1 2jiki 所以 6 分22224 j ik i mnmnmn 可得 即 2mnmn 21 1 mn 当 1 m 2 时 不等式不成立 21 1 mn 当 或 时 成立 8 分 4 2 m n 3 3 m n 111 2222 ijk mnmn 当时 即 则有 4n 0 1 n 1 2 m 2 m6 nm 所以的最小值为 6 nm 当且仅当 且 或 时取得 10 分1 ij2 ik 4 2 m n 3 3 m n 3 由题意得 1 22 1 1 22 c pc 12 33 11 1 323 cc pc 11 分 123 123 111 1 23 111 1 23 nn n n Spppp cccc n T n 1 123nn Tcccc 2 12 1111 2222 nn Tccc 1 2 得 1 11111 1 224822 n nn n T 12 分 11 22 22 nn n 求得 1 1 4 2 4 2 n n Tn 所以 111 4 1 23 n S n 设 则 1 ln1 1 f xxx x 22 111 0 x fx xxx 所以 在上单调递增 有 f x 1 1 0f xf 可得 14 分 1 ln1x x 当 且N 时 2k k 1 1 k k 有 11 ln1 1 kk kkk 所以 12 131 ln ln ln 21 321 n nn 可得 11123 11 lnlnln1 ln 23121 n n nn 所以 16 分 111 4 1 4 1 ln 23 n Sn n 南师大附中南师大附中 2018 届高三年级校模考试届高三年级校模考试 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21 选做题选做题 在在 A B C D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答卷纸指分 请在答卷纸指 定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 证明 如图 在 ABC 中 因为 CM 是 ACM 的平分线 所以 AC BC AM BM 又 AC AB 所以 4 分 1 2 AB BC 2AM BM 因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的弦 所以 BM BA BN BC 即 8 分 AB BC BN BM 由 可知 2AM BM BN BM 所以 BN 2AM 10 分 B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 矩阵 M 的特征多项式为 f 1 x 4 3 分 1 2 2 x 因为 1 3 是方程 f 0 的一个根 所以 3 1 3 x 4 0 解得 x 1 6 分 由 1 1 4 0 得 1 或 3 所以 2 1 10 分 C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 圆 C 2cos 直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 即 x 2 y2 2 22 2 直线 l R 的直角坐标方程为 y x 6 分 4 圆心 C 到直线 l 的距离 d 1 8 分 所以 AB 2 10 分 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 证明 证法一 因为 a 0 b 0 a b 1 所以 2a 1 2b 1 1 4 1 2a 1 4 2b 1 2b 1 2a 1 4 2a 1 2b 1 5 2 9 8 分 而 2a 1 2b 1 4 所以 10 分 1 2a 1 4 2b 1 9 4 证法二 因为 a 0 b 0 由柯西不等式得 2a 1 2b 1 1 2a 1 4 2b 1 2 1 2a 1 2a 1 4 2b 1 2b 1 1 2 2 9 8 分 由 a b 1 得 2a 1 2b 1 4 所以 10 分 1 2a 1 4 2b 1 9 4 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共分 共 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答应写出文分 请在答题