七升八数学暑假衔接讲义

培优训练 重在平时 1 三角形三角形 第一讲第一讲 与三角形有关的线段与三角形有关的线段 1 1 定义 定义 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 三角形 注意 三条线段必须 不在一条直线上 首尾顺次相接 组成三角形的线段叫做三角形的边边 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角内角 简称角 相邻两边的公 共端点是三角形的顶点顶点 三角形 ABC 用符号表示为 ABC 三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示 顶点 B 所对的边 AC 可 用 b 表示 顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示 2 2 三角形三边的不等关系三角形三边的不等关系 三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 3 3 三角形的高 三角形的高 从三角形的 向它的 作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高高 注意八字形 注意 高与垂线不同 高是线段 垂线是直线 三角形的三条高相交于一点 三角形的三条高相交于一点 4 4 三角形的中线 三角的三条中线相交于一点 三角形的中线 三角的三条中线相交于一点 三角形中线分三角形面积相等的两个三角形 5 5 三角形的角平分线 三角形的角平分线 在三角形中 一个内角的角平分线与它的对边相交 与 之间的线段 叫 做三角形的角平分线角平分线 三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点 三角形的三条中线的交点 三条角平分线的交点在三角形的内部 而锐三角形的三条高的交点在三角 形的内部 直角三角形三条高的交战在角直角顶点 钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部 6 6 三角形的稳定性三角形的稳定性 例例 1 1 一个等腰三角形的周长为 32 cm 腰长的 3 倍比底边长的 2 倍多 6 cm 求各边长 例例 2 2 已知 ABC 的周长为 48cm 最大边与最小边之差为 14cm 另一边与最小边之和为 25cm 求 ABC 的各边的长 例例 3 3 已知 ABC 的周长是 24cm 三边 a b c 满足 c a 2b c a 4cm 求 a b c 的长 例例 4 4 已知等腰三角形的周长是 16cm 培优训练 重在平时 2 1 若其中一边长为 4cm 求另外两边的长 2 若其中一边长为 6cm 求另外两边长 3 若三边长都是整数 求三角形各边的长 例例 5 5 已知等腰三角形的周长是 25 一腰上的中线把三角形分成两个 两个三角形的周长的差是 4 求等腰 三角形各边的长 例例 6 6 已知 ABC 的周长为 48cm 最大边与最小边之差为 14cm 另一边与最小边之和为 25cm 求 ABC 的各边的长 例例 7 7 如图所示 已知在 ABC 中 AB AC 8 P 是 BC 上任意一点 PD AB 于点 D PE AC 于点 E 若 ABC 的面积为 14 问 PD PE 的值是否确定 若能确定 是多少 若不能确定 请说明理由 课堂练习课堂练习 1 下列说法错误的是 A 三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C 三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D 三角形的三条高可能相交于外部一点 2 有下列长度的三条线段 能组成三角形的是 A 1 2 3 B 1 2 4 C 2 3 4 D 2 3 6 3 已知三角形的周长为 15cm 且其中的两边都等于第三边的 2 倍 则此三角形的最短边为 A 1cm B 2cm C 3cm D 4cm 4 已知三角形的三边长分别为 4 5 x 则 x 不可能是 A 3 B 5 C 7 D 9 5 等腰三角形的底边 BC 8 cm 且 AC BC 2 cm 则腰长 AC 为 A 10 cm 或 6 cm B 10 cm C 6 cm D 8 cm 或 6 cm 6 如果三角形的两边分别为 7 和 2 且它的周长为偶数 那么第三边的长为 A 5 B 6 C 7 D 8 7 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点 那么这个三角形是 培优训练 重在平时 3 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 锐角三角形 8 如图 在 ABF 中 B 的对边是 A AD B AE C AF D AC 9 图中三角形的个数是 A 8 B 9 C 10 D 11 10 已知 如图所示 ABC 的顶点坐标分别为 A 4 3 B 0 3 C 2 1 如将 B 点向右平移 2 个单位 后再向上平移 4 个单位到达 B1点 若设 ABC 的面积为 S1 AB1C 的面积为 S2 则 S1 S2的大小关系为 A S1 S2 B S1 S2 C S1 ACD B B ACB 180 A C B ACB B 2 如图 在 ABC 中 点 D 在 BC 上 且 AD BD CD AE 是 BC 边上的高 若沿 AE 所在直线折叠 点 C 恰好 落在点 D 处 则 B 等于 A 25 B 30 C 45 D 60 3 如图 已知 AB AC BD 那么 1 和 2 之间的关系是 A 1 2 2 B 2 1 2 180 C 1 3 2 180 D 3 1 2 180 4 如图 C E 和 B D F 分别在 GAH 的两边上 且 AB BC CD DE EF 若 A 180 则 GEF 的度数是 A 80 B 90 C 100 D 108 培优训练 重在平时 17 5 在锐角三角形中 A B C 则下列结论中错误的是 A A 60 B B 45 C C 60 D B C 90 6 在 ABC 中 A 是锐角 那么 ABC 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 7 如图所示 A 50 B 40 C 30 则 BDC 8 已知ABC 的三边长分别为 且 求 b 的取值范围 cba 05 2 2 cbacb 9 已知 如图 在 ABC 中 D 为 BC 上一点 1 2 3 4 BAC 1200 求 DAC 的度数 10 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上一点 1 2 3 4 BAC 63 求 DAC 的度数 11 如图 C 岛在 A 岛的北偏东 500方向 B 岛在 A 岛的北偏东 800方向 C 岛在 B 岛的北偏西 400方向 从 C 岛看 A B 两岛的视角 ACB 是多少度 12 如图所示 ABC 两外角的平分线 BP CP 交于点 P 已知 A 500 求 P 的度数 培优训练 重在平时 18 13 如图 把 ABC 沿 DE 折叠 当点 A 落在四边形 BCDE 内部时 探索 A 与 1 2 有什么数量关系 并 说明理由 14 如图 1 2 3 且 BAC 700 DFE 500 求 ABC 的度数 15 如图 在平面直角坐标系中 ABO 2 BAO P 为 x 轴正半轴上一动点 BC 平分 ABP PC 平分 APF OD 平分 POE 1 求 BAO 的度数 2 求证 C 15 OAP 2 1 3 P 在运动中 C D 的值是否变化 若发生变化 说明理由 若不变求其值 第三讲第三讲 与三角形有关的证明与三角形有关的证明 例例 1 1 如图 已知 C DAE B D 那么 AB 与 DF 平行吗 为什么 培优训练 重在平时 19 例例 2 2 如图 ABC 中 1 与 A 有什么关系 为什么 例例 3 3 如图 CD 是 ABC 中 ACB 的外角平分线 请猜测 BAC 和 B 的大小关系 并说明理由 例例 4 4 如图 已知 P 是 ABC 内任意一点 求证 PB PC AB AC 例例 5 5 已知 P 是 ABC 内任意一点 试说明 AB BC CA PA PB PC AB BC CA 的理由 2 1 课堂练习课堂练习 1 如图 D 是 ABC 中 BC 边上一点 DE AC 交 AB 于点 E 若 EDA EAD 试说明 AD 是 ABC 的角平分线 2 已知 如图 在ABC 中 O 是高 AD 和 BE 的交点 观察图形 试猜想 C 和 DOE 之间具有怎样的数 量关系 并论证你的猜想 3 如图 1 20 2 25 A 35 求 BDC 的度数 培优训练 重在平时 20 4 在 ABC 中 E 是 AC 延长线上的一点 D 是 BC 上的一点 下面的命题正确吗 若正确 请说明理由 1 E A B 1 A 5 如图 已知点 P 在 ABC 内任一点 试说明 A 与 P 的大小关系 并证明之 6 如图 已知 ABC 与 DEF 是一副三角形的拼图 A E C D 在同一条直线上 1 求证 EF BC 2 求 1 与 2 的度数 课后练习课后练习 1 已知 如图 在 ABC 中 ACB 90 CD 为高 CE 平分 BCD 且 ACD BCD 1 2 那么 CE 是 AB 边上的中线对吗 说明理由 2 如图 E 是 ABC 的边 CA 延长线上一点 D 点在 BC 的延长线上 试说明 1 B 则 DAE 与 C B 有怎样的数量关系 说明理由 3 若点 A 在 AD 上移动到点 F FEBC 于 E 其它条件不变 那么 EFD 与 C B 是否还有 2 中的结 论 试说明理由 如图 2 4 如图 在 ABC 中 内角 A 和外角 CBE 和 BCF 的角平分线交于点 P AP 交 BC 于 D 过 B 作 BGAP 于 G 1 若 GBP 450 求证 ACBC 2 在图上作出 PDC 在 PC 边的高 DH 并探究 APB 和 HDC 的数量关系 并说明理由 5 已知 如图 在 ABC 中有 D E 两点 求证 BD DE EC AB AC 培优训练 重在平时 23 第四讲第四讲 多边形及其内角和多边形及其内角和 定义 定义 由几条线段组成 它们不在同一条直线上 首尾顺次相接 这种在平面内 由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形 多边形按组成它的线段的条数分成三角形 四边形 五边形 n 边形 这就是说 一个多边形由 几条线段组成 就叫做几边形 三角形是最简单的多边形 与三角形类似地 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角多边形的内角 如图中的 A B C D E 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的外角 如图中的 1 是五边形 ABCDE 的一个外角 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 对角线 凸多边形和凹多边形 凸多边形和凹多边形 在图 1 中 画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线 整个图形都在这条直线的同一侧 这样的 四边形叫做凸四边形 这样的多边形称为凸多边形凸多边形 而图 2 就不满足上述凸多边形的特征 因为我们 画 BD 所在直线 整个多边形不都在这条直线的同一侧 我们称它为凹多边形凹多边形 注意 今后我们讨论的多 边形指的都是凸多边形 正多边形的概念正多边形的概念 我们知道 等边三角形 正方形的各个角都相等 各条边都相等 像这样各个角都相等 培优训练 重在平时 24 各条边都相等的多边形叫做正多边形正多边形 多边形的内角和 多边形的内角和 n n 边形的内角和等于 边形的内角和等于 n 2n 2 180 180 观察下面的图形 填空 从五边形一个顶点出发可以引 对角线 它们将五边形分成 三角形 五边形的内角和等于 从六边形一个顶点出发可以引 对角线 它们将六边形分成 三角形 六边形的内角和等于 从 n 边形一个顶点出发 可以引 对角线 它们将 n 边形分成 三角形 n 边形的内角和等于 n n 边形的外角和等于边形的外角和等于 360 360 镶嵌 镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 通常把这类问题叫做平面镶嵌平面镶嵌 或用多边形 覆盖平面 的问题 同一个顶点处的各个角的和等于 360 且相邻的多边形有公共边 也就是说 只要满足这条件就能进行平面镶嵌 能单独进行平面镶嵌的只有三角形 四边形和正六边形 能单独进行平面镶嵌的只有三角形 四边形和正六边形 下面的图形是由一些地板砖铺成的 看看它们有什么特点 例例 1 1 已知正多边形的一个内角是 150 求这个多边形对角线的条数 例例 2 2 如图 一个任意五角星的五个角的和是多少 例例 3 3 如图 求 1 2 3 4 5 6 7 的度数 例例 4 4 如图 1 已知 ABC 为正三角形 点 M 是 BC 上一点 点 N 是 AC 上一点 AM BN 相交于点 Q BAM NBC 猜想 BQM 等于多少度 并证明你的猜想 培优训练 重在平时 25 将 1 中的 正 ABC 分别改为正方形 ABCD 正五边形 ABCDE 正六边形 ABCDEF 正 n 边形 ABCD X 点 N 是 AC 上一点 改为点 N 是 CD 上一点 其余条件不变 分别推断出 BQM 等于多少度 将 结论填入下表 课堂练习课堂练习 1 下列说法不正确的是 A 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B 画出多边形的任何一条边所在直线 如果整个多边形都在这条直线的同一侧 那么这个多边形就是凸 多边形 C 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫做正多边形 D 连接多边形两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 2 过 n 边形的一个顶点的所有对角线把 n 边形分成 8 个三角形 则这个多边形的边数为 A 11 B 10 C 9 D 8 3 如图 ABC ADE 及 EFG 都是等边三角形 D 和 G 分别为 AC 和 AE 的中点 若 AB 4 时 则图形 ABCDEFG 外围的周长是 A 12 B 15 C 18 D 21 4 若从一个多边形的一个顶点最多可以引 10 条对角线 则它是 A 十三边形 B 十二边形 C 十一边形 D 十边形 培优训练 重在平时 26 5 下列可能是 n 边形内角和的是 A 300 B 550 C 720 D 960 6 一个多边形内角和是 10800 则这个多边形的边数为 A 6 B 7 C 8 D 9 7 一个多边形的内角和是外角和的 2 倍 它是 A 四边形 B 五边形 C 六边形 D 八边形 8 一个多边形的边数增加一倍 它的内角和增加 A 180 B 360 C n 2 180 D n 180 9 若一个多边形的内角和与外角和相加是 1800 则此多边形是 A 八边形 B 十边形 C 十二边形 D 十四边形 10 能够用一种正多边形铺满地面的是 A 正五边形 B 正六边形 C 正七边形 D 正八边形 11 多边形的每一个内角都等于 150 则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条 12 如果用正三角形进行镶嵌 那么在每个顶点的周围有 个正三角形 13 如果用正三角形和正六边形进行镶嵌 那么在每个顶点的周围有 个正三角形和 个正六边形或 个正三角形和 个正六边形 14 某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌 已选好了正十二边形和正方形两种 还需选用 n 边形的边数每增加 1 条 其内角和增加 度 15 若一个多边形的边数增加m条 则多边形的内角和增加 度 16 如图所示 分别在三角形 四边形 五边形的广场各角修建半径为 R 的扇形草坪 1 图中草坪的面积为 2 图中草坪的面积为 1 2 3 图中草坪的面积为 3 4 如果多边形边数为 n 其余条件不变 那么 你认为草坪的面积为 课后练习课后练习 1 多边形的边数由于增加到 n n 3 其外角度数的和是 A 增加 B 保持不变 C 减少 D 变成 n 3 180 2 下列正多边形的组合中 能够铺满地面的是 培优训练 重在平时 27 A 正六边形和正三角形 B 正三角形和正方形 C 正八边形和正方形 D 正五边形和正八边形 3 用正三角形和正十二边形镶嵌 可能情况有 种 A 1 B 2 C 3 D 4 4 某装饰公司出售下列形状的地砖 正方形 长方形 正五边形 正六边形 若只选购其中某一 种地砖镶嵌地面 可供选用的地砖共有 种 A 1 B 2 C 3 D 4 5 小李家装修地面 已有正三角形形状的地砖 现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖 与正三角形 地砖在同一顶点处作平面镶嵌 则小李不应购买的地砖形状是 A 正方形 B 正六边形 C 正八边形 D 正十二边形 6 某人到商店去购买一种多边形形状的瓷砖 用来铺设无缝地板 他购买的瓷砖形状不可以是 A 三角形 B 矩形 C 正八边形 D 正六边形 7 六边形共有 条对角线 内角和等于 每一个内角等于 8 从九边形的一个顶点作对角线 能作 条 可把九边形分成 个三角形 9 如果一个多边形的每一外角都是 24 那么它是 边形 10 一个多边形的内角和与外角和之比是 5 2 则这个多边形的边数为 11 已知一个十边形中九个内角的和的度数是 12900 那么这个十边形的另一个内角为 度 12 一个多边形的每个内角都为 135 则这个多边形的边数为 13 一个多边形的每一个外角都等于 24 则这个多边形是 边形 14 一个多边形的内角和与外角和的比是 7 2 则这个多边形是 边形 15 用一条宽相等的足够长的纸条打一个结 然后轻轻拉紧 压平就可以得到如图所示的正五边形 ABCDE 其中 BAC 16 用正三角形和正四边形作平面镶嵌 在一个顶点周围 可以有 个正三角形和 个正四边形 第 n 个图案中有白色地砖 块 17 阅读材料 并填表 在 ABC 中 有一点 P1 当 P1 A B C 没有任何三点在同一条直线上时 可构成三个 不重叠的小三角形 如图 1 当 ABC 内的点的个数增加时 若其他条件不变 三角形内互不重叠的小三 角形的个数情况怎样 培优训练 重在平时 28 完成下表 18 如图 CD AF CDE BAF AB BC BCD 124 DEF 80 1 观察直线 AB 与直线 DE 的位置关系 你能得出什么结论 并说明理由 2 试求 AFE 的度数 能力提高能力提高 1 用边长相等的正多边形进行密铺 下列正多边形能和正八边形密铺的是 A 正三角形 B 正六边形 C 正五边形 D 正四边形 2 一个多边形的内角中 锐角的个数最多有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 3 如图所示 等于 ABCDEF A 1800 B 2700 C 3600 D 5400 4 如下图 A B C D E F 5 如图所示 1 2 3 4 6 如图 小喜从A点出发前进 10m 向右转 15 再前进 10m 又向右转 15 这样一直走下去 他 第一次回到出发点A时 一共走了 m 7 如图 是一块瓷砖的图案 用这种瓷砖来铺设地面 如果铺成一个 2 2 的正方形图案 如图 其中 完整的圆共有 5 个 如果铺成一个 3 3 的正方形图案 如图 其中完整的圆共有 13 个 如果铺成一 个 4 4 的正方形图案 如图 其中完整的圆共有 25 个 若这样铺成一个 10 10 的正方形图案 则其 培优训练 重在平时 29 中完整的圆共有 个 8 一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的 3 倍还多 20 求这个多边形对角线的条数 9 一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是 2000 那么这个外角是多少度 这个多边形的边数是多 少 看图答题 问题 1 小华在求几边形的内角和 2 少加的那个角为多少度 全等三角形全等三角形 第五讲第五讲 全等三角形性质全等三角形性质 图形全等 图形全等 一个图形经过平移 翻折 旋转后 位置变化了 但形状 大小都没有改变 即平移 翻折 旋转前后的图形全等 全等 用表示 读作 全等于 全等三角形的定义 全等三角形的定义 两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如 全等时 点 A 和点 D 点 B 和点 E 点 C 和点 F 是对应顶点 记作 DEFABC 和DEFABC 把两个全等的三角形重合到一起 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对 应角 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 例例 1 1 已知 如图 AB AD AC AE BC DE EAC 300 则 DAB 的大小为 例例 2 2 如图 在平面上将 ABC 绕 B 点旋转到 A BC 的位置时 AA BC ABC 70 则 CBC 为 度 例例 3 3 如图 在 ABC 中 A B C 3 5 10 又 MNC ABC 则 BCM BCN 等于 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 4 课堂练习课堂练习 1 根据下列条件 能画出唯一的是 ABC 培优训练 重在平时 30 A AB 3 BC 4 CA 8 B AB 4 BC 3 A 300 C C 600 B 450 AB 4 D C 900 AB 6 2 如图 1 2 200 AD AB D B E 在线段 BC 上 则 AEC A 200 B 700 C 500 D 800 3 已知 如图 ABC DEF AC DF BC EF 则不正确的等式是 A AC DF B AD BE C DF EF D BC EF 4 如图 BCD CBE BC 6 CE 5 BE 4 则 CD 的长是 A 4 B 5 C 6 D 无法确定 5 已知图中的两个三角形全等 则 度数是 A 72 B 60 C 58 D 50 6 如图 将 Rt ABC 其中 B 340 C 900 绕 A 点按顺时针方向旋转到 AB1 C1的位置 使得点 C A B1 在同一条直线上 那么旋转角最小等于 A 560 B 680 C 1240 D 1800 7 如图 ABE ACD B 50 AEB 60 则 DAC 的度数等于 A 120 B 70 C 60 D 50 8 若两个三角形的面积相等 则这两个三角形 全等 9 如图 ABD ACE 且 BAD和 CAE ABD和 ACE ADB和 AEC是对应角 则对应边 10 如图 ABC DBC 且 A和 D ABC和 DBC是对应角 其对应边 对应角 11 如图 ABO CDO OA 2 AB 4 BO 3 则 DC OC OD 12 如图 ABC DEF A 与 D B 与 E 分别是对应顶点 B 320 A 680 AB 13cm 则 F 度 DE cm 培优训练 重在平时 31 13 已知 ABC DEF A 52 B 67 BC 15cm 则 F FE cm 14 如图 P 是正 ABC 内的一点 若将 PAB 绕点 A 逆时针旋转到 P AC 则 PAP 的度数为 15 将一张正方形纸片按如图的方式折叠 BC BD 为折痕 则 CBD 的大小为 16 如图所示 ABCADE BC 的延长线交 DA 于 F 交 DE 于 G 105ACBAED 15CAD 30BD 则 1 的度数为 17 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律 则第 n 个大三角形中白色三角形 有 个 18 如图 把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 350 得到 A B C A B 交 AC 乎点 D 已知 A DC 90 求 A 的度 数 19 如图 把 ABC 纸片沿 DE 折叠 当点 A 落在四边形 BCDE 内部时 1 写出图中一对全等的三角形 并写出它们的所有对应角 2 设的度数为 x 的度数为 那么 1 2 的度数分别是多少 用含有 x 或 y 的代AED ADEy 数式表示 3 A 与 1 2 之间有一种数量关系始终保持不变 请找出这个规律 20 如图所示 已知 ABC FED 且 BC ED 那么 AB 与 EF 平行吗 为什么 课后练习课后练习 培优训练 重在平时 32 1 下列说法 全等图形的形状相同 大小相等 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相 等 全等三角形的周长 面积分别相等 其中正确的说法为 A B C D 2 下列说法错误的有 只有两个三角形才能完全重合 如果两个图形全等 它们的形状和大小一定都相同 两个正方形一定是全等图形 边数相同的图形一定能互相重合 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 已知 ABC 与 DEF 全等 A D 90 B 37 则 E 的度数是 A 37 B 53 C 37 或 63 D 37 或 53 4 如果 D 是ABC 中 BC 边上一点 并且ADBADC 则ABC 是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 5 对于两个图形 给出下列结论 两个图形的周长相等 两个图形的面积相等 两个图形的周长和 面积都相等 两个图形的形状相同 大小也相等 其中能获得这两个图形全等的结论共有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6 如图 OAB绕点O逆时针旋转800到 OCD的位置 已知 AOB 450 则 AOD A 550 B 450 C 400 D 350 7 如图 ABE ACD AB AC BE CD B 50 AEC 120 则 DAC 的度数等于 A 120 B 70 C 60 D 50 8 如图所示 在 ABC 中 D E 分别是边 AC BC 上的点 若 ADB EDB EDC 则 C 的度数为 A 15 B 20 C 25 D 30 9 如图所示 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿 AD 对折 使点 C 落在点 C 的位置 则图中的 一个等腰直角三角形是 A ADCB BDC C ADC D 不存在 培优训练 重在平时 33 6 如图 已知 AB AC AD AE BAD 25 则 CAE 7 如图 ABD ACE 则 AB 的对应边是 BAD 的对应角是 8 已知 如图 ABE ACD B C 则 AEB AE 9 如图 ABC DCB AB 和 DC 是对应边 A 和 D 是对应角 则其它对应边是 对应角是 10 已知 如图 ABC DEF BC EF A D BC EF 则另外两组对应边是 另外两组对应角是 11 已知 如图 OAD OBC 且 O 70 C 25 则 AEB 度 12 如图所示 ABD ACE 点 B 和点 C 是对应顶点 AB 8 BD 7 AD 6 则 BE 的长是 13 如图 已知 ABE ACF E F 90 CMD 70 则 2 度 14 如图所示 已知 ABC ADE BC 的延长线交 DE 于 F B D 25 ACB AED 105 DAC 10 则 DFB 为 15 如图 D E 分别为 ABC 的 AC BC 边的中点 将此三角形沿 DE 折叠 使点 C 落在 AB 边上的点 P 处 若 CDE 480 则 APD 等于 培优训练 重在平时 34 16 一个三角形的三边为 2 5 x 另一个三角形的三边为 y 2 6 若这两个三角形全等 则 x y 17 如图 把大小为 4 4 的正方形方格图形分割成两个全等图形 例如图 1 请在下图中 沿着虚线画出 四种不同的分法 把 4 4 的正方形方格图形分割成两个全等图形 能力提高能力提高 1 长为 L 的一根绳 恰好可围成两个全等三角形 则其中一个三角形的最长边x的取值范围为 A B C D 64 ll x 84 ll x 64 ll x 84 ll x 2 已知 ABC A B C ABC 的三边为 3 m n A B C 的三边为 5 p q 若 ABC 的各边 都是整数 则 m n p q 的最大值为 3 如图 ABC ADE DAC 60 BAE 100 BC DE 相交于点 F 则 DFB 的度数是 4 下图是由全等的图形组成的 其中 AB 3cm CD 2AB 则 AF A B C DE F 5 如图 ABE 和 ADC 是 ABC 分别沿着 AB AC 边翻折 180 形成的 若 1 2 3 28 5 3 则 a 的度数为 6 如图 矩形 ABCD 沿 AM 折叠 使 D 点落在 BC 上的 N 点处 如果 AD 7cm DM 5cm DAM 39 则 AN cm NM cm NAB 7 如图所示 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 若 B 40 C 30 1 顺时针旋转多少度时 旋转后的 AB C 的顶点 C 与原三角形的顶点 B 和 A 在同一直线上 原 ABC 是指开始位置 2 再继续旋转多少度时 点 C A C 在同一直线上 培优训练 重在平时 35 8 如图 在ABCD 中 将 ABE 沿 BE 翻折 点 A 落在 CD 边上 成为点 F 如果 DEF 和 BCF 的周长分别A 是 8cm 和 22cm 求 FC 的长度 9 如图 已知 ABC ADE CAD 15 DFB 90 B 25 求 E 和 DGB 的度数 第六讲第六讲 三角形全等的条件一 三角形全等的条件一 SSSSSS 如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形 能否保证两个三角形全等 满足一个条件 满足一个条件 只有一条边对应相等 只有一个角对应相等 结论 满足两个条件 满足两个条件 两角对应相等 两边对应相等 一边一角对应相等 结论 如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时 有几种可能的情况 两边一角对应相等 两角一边对应相等 三边对应相等 三个角对应相等 定义 定义 如果两个三角形的三条边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简写为 边边边 或简记 为 S S S 例例 1 1 已知 如图 AB CD AD BC 求证 AD BC 培优训练 重在平时 36 例例 2 2 已知 如图 ABC 和 ADC 有公共边 AC E 是 AC 上一点 AB AD BE DE 求证 ABC ADC 例例 3 3 已知 如图 点 A C B D 在同一条直线上 AC BD AM CN BM DN 求证 AM CN BM DN 例例 4 4 已知 如图 AB AE AC AD BC DE C D 在 BE 边上 求证 CAE DAB 课堂练习课堂练习 1 如图 AB AD CB CD B 30 BAD 46 则 ACD 的度数是 A 120 B 125 C 127 D 104 2 如图 线段 AD 与 BC 交于点 O 且 AC BD AD BC 则下面的结论中不正确的是 A ABC BAD B CAB DBA C OB OC D C D 3 如图 AB CD BF DE E F 是 AC 上两点 且 AE CF 欲证 B D 可先运用等式的性质证明 AF 再用 SSS 证明 得到结论 4 如图 已知 AB DC AD BC E F 是 DB 上两点且 BF DE 若 AEB 120 ADB 30 则 BCF 5 如图 AD BC 垂足为 D BD CD 求证 ABD ACD 培优训练 重在平时 37 6 已知 如图 AB DC BD AC AC BD 交于 O 求证 AOB DOC 7 如图 已知 AB AC BD CD E 为 AD 上一点 求证 BED CED 8 已知 如图 A E F B 在一条直线上 AC BD AE BF CF DE 求证 AD BC 课后练习课后练习 1 已知线段a b c 求作 ABC 使BC a AC b AB c 下面作法的合理顺序为 分别以B C为圆心 c b为半径作弧 两弧交于点A 作直线BP 在BP上截取BC a 连结AB AC ABC为所求作三角形 2 如图 已知 AB CD AD BC E F 是 BD 上的两点 且 BE DF 若 则100AEB 30ADB BCF 3 如图 AC BC AD BD AE BE AF BF 则图中共有 对全等三角形 4 已知 如图 AB DE AC DF 要证 ABC DEF 所缺一个条件是 5 工人师傅常用角尺平分任意角 做法如下 培优训练 重在平时 38 如图 AOB 是一个任意角 在 OA OB 上分别取 OM ON 移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与 M N 重合 过角尺顶点 P 的射线 OP 便是 AOB 的平分线 你知道这样做的理由吗 6 已知 如图 BE CF AB DE AC DF 求证 ABC DEF 7 如图 AB AC BD CD 求证 1 2 8 已知 AC BD AE CF BE DF 问 AE CF 吗 9 已知 AB CD BE DF AE CF 问 AB CD 吗 10 如图 AC BD BC AD 求证 ABC BAD 能力提高能力提高 1 如图 AC DF BC EF AD BE BAC 72 F 32 则 ABC 培优训练 重在平时 39 2 已知 如图 E 是 AD 上的一点 AB AC AE BD CE BD DE 求证 B CAE 3 如图 AB DC BE DF AF DE 1 求证 ABE DCF 2 CF BE 4 如图 AB AC BF CF 求证 B C 5 如图 AD BC AB DC 求证 A D 180 6 如图是用图规与直尺画已知角的平分线的示意图 作法如下 1 以 A 为圆心画弧 分别交角的两边于点 B 和点 C 2 分别以点 B C 为圆心 相同长度为半径画两条弧 两弧交于点 D 3 画射线 AD AD 就是 BAC 的平分线 你能说明该画法正确的理由吗 培优训练 重在平时 40 7 尺规作图 已知三角形三条边分别是 4cm 5cm 7cm 画出这个三角形 第七讲第七讲 三角形全等的条件二三角形全等的条件二 SAS SAS 定义 定义 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简写成 边角边 或简记 为 S A S 例例 1 1 如图 AE DB BC EF BC EF 求证 ABC DEF 例例 2 2 如图 AB AD AC AE BAE DAC 求证 ABC ADE 例例3 3 已知 如图 AD是BC上的中线 且DF DE 求证 BE CF 例例 4 4 如图 已知 等腰 Rt OAB 中 AOB 90o 等腰 Rt EOF 中 EOF 90o 连结 AE BF 求证 1 AE BF 2 AE BF 培优训练 重在平时 41 例例 5 5 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 课堂练习课堂练习 1 在 ABC 和 A B C 中 要使 ABC A B C 需满足条件 A AB A B AC A C B B B AB A B BC B C A A C AC A C BC B C C C D AC A C BC B C C B 2 如图 在 AOB 的两边上截取 AO BO 在 AO 和 BO 上截取 CO DO 连结 AD 和 BC 交于点 P 则 AOD BOC 理由是 A ASA B SAS C AAS D SSS 3 如图 在ABC 和DEF 中 已知ABDE BCEF 根据 SAS 判定ABCDEF 还 需的条件是 A AD B BE C CF D 以上三个均可以 4 如图 AD AE AB AC BE CD 交于 F 则图中相等的角共有 对 除去 DFE BFC A 5 B 4 C 3 D 2 5 在 Rt ACD 和 Rt BCE 中 若 AD BE DC EC 则不正确的结论是 A Rt ACD Rt BCE B OA OB C E 是 AC 的中点 D AE BD 6 如果两个三角形全等 则不正确的是 A 它们的最小角相等 B 它们的对应外角相等 C 它们是直角三角形 D 它们的最长边相等 7 如图 已知 ABE ACD 1 2 B C 不正确的等式是 A AB AC B BAE CAD C BE DC D AD DE 培优训练 重在平时 42 8 下图中全等的三角形是 A 和 B 和 C 和 D 和 9 如图 已知 1 2 要使 ABC ADE 还需条件 A AB AD BC DE B BC DE AC AE C B D C E D AC AE AB AD 10 已知 AD BC AD CB 求证 ADC CBA 11 如图 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 试说明 ABD ACD 12 如图 AD BC ADC BCD 求证 BAC ABD 13 如图 已知 AC DF AC FD AE DB 求证 ABC DEF 14 如图 在中 分别以 AB AC 为边作两个等腰直角 ABD 和 ACE ABC 40ABACBAC 使 1 求的度数 2 求证 90BADCAE DBC BDCE 培优训练 重在平时 43 15 如图 AB AC AD AE AB AC AD AE 求证 1 B C 2 BD CE 16 如图 BAC DAE ABD ACE BD CE 求证 AB AC 课后练习课后练习 1 下面各条件中 能使 ABC DEF 的条件的是 A AB DE A D BC EF B AB BC B E DE EF C AB EF A D AC DF D BC EF C F AC DF 2 如图 AD BC 相交于点 O OA OD OB OC 下列结论正确的是 A AOBDOC B ABODOC C AC D BD 3 如图 已知ABAC ADAE BACDAE 下列结论不正确的有 A BADCAE B ABDACE C AB BC D BD CE 4 如图所示 ABC 与 BDE 都是等边三角形 ABCD C AE CD D 无法确定 培优训练 重在平时 44 5 已知 如图 CE AB DF AB 垂足分别为 E F AF BE 且 AC BD 则不正确的结论是 A Rt AEC Rt BFD B C B 90 C A D D AC BD 6 如果 ABC 和 DEF 全等 DEF 和 GHI 全等 则 ABC 和 GHI 全等 如果 ABC 和 DEF 不全 等 DEF 和 GHI 全等 则 ABC 和 GHI 全等 填 一定 或 不一定 或 一定不 7 如图 已知 AB BD 于 B ED BD 于 D AB CD BC DE 则 ACE 8 已知如图 F 在正方形 ABCD 的边 BC 边上 E 在 AB 的延长线上 FB EB AF 交 CE 于 G 则 AGC 的度数 是 9 如图 ABC 是不等边三角形 DE BC 以 D E 为两个顶点作位置不同的三角形 使所作的三角形与 ABC 全等 这样的三角形最多可以画出 个 10 如图 已知 ABC 的六个元素 则下面甲 乙 丙三个三角形中和 ABC 全等的图形是 11 已知 如图 AC AB AE AD 1 2 求证 3 4 12 已知 如图 AB AC AE 平分 BAC 求证 DBE DCE 13 如图 已知 AD BC AD BC 求证 AB CD 培优训练 重在平时 45 14 已知 如图 点 B E C F 在同一直线上 AB DE 且 AB DE BE CF 求证 AC DF 15 已知 如图 AD 是 BC 上的中线 且 DF DE 求证 BE CF 16 如图 在中 D 是 AB 上一点 DF 交 AC 于点 E DE FE AE CE AB 与 CF 有什么位置关系 说明ABC 你判断的理由 17 如右图 已知 DE AC BF AC 垂足分别是 E F AE CF DC AB 1 试证明 DE BF 2 连接 DF BE 猜想 DF 与 BE 的关系 并证明你的猜想的正确性 培优训练 重在平时 46 18 已知如图 B 是 CE 的中点 AD BC AB DC DE 交 AB 于 F 点 求证 1 AD BC 2 AF BF 19 已知 如图 AC AB AE AD 1 2 求证 3 4 能力提高能力提高 1 观察下列图形 则第个图形中三角形的个数是 n A B C D 22n 44n 44n 4n 第 1 个第 2 个第 3 个 2 如图 AD AB CB AB DM CM a AD h CB k AMD 75 BMC 45 则 AB 的长为 A a B k C D h 2 hk 3 已知 如图 AB AC AD AE BAC DAE 求证 BD CE 4 如图已知 ABC 和 BDE 是等边三角形 D 在 AE 延长线上 求证 BD DC AD 5 已知 如图 BE CF 是 ABC 的高 分别在射线 BE 与 CF 上取点 P 与 Q 使 BP AC CQ AB 培优训练 重在平时 47 求证 1 AQ AP 2 AP AQ 6 如图 ABC 为等边三角形 点 M N 分别在 BC AC 上 且 BM CN AM 与 BN 交于 Q 点 求 AQN 的度数 7 已知 C 为 AB 上一点 ACN 和 BCM 是正三角形 1 求证 AM BN 2 求 AFN 的度数 8 如图 已知 ABC 的边长为 1 的正三角形 BDC 是顶角 BDC 1200的等腰三角形 以 D 为顶点作一个 600角 角的两边分别交 AB 于 M 交 AC 于 N 连 MN 形成 AMN 求证 AMN 的周长等于 2 A BC D M N 9 已知在ABC 中 CB 2 AD 平分A 交 BC 于 D 点 求证 AC AB BD A BC D 10 如图 ABC 是等腰直角三角形 其中 CA CB 四边形 CDEF 是正方形 连接 AF BD 1 观察图形 猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系 并证明你的猜想 2 若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 使正方形 CDEF 的一边落在 ABC 的内部 请你画出一个 变换后的图形 并对照已知图形标记字母 题 1 中猜想的结论是否仍然成立 若成立 直接写出结论 不必证明 若不成立 请说明理由 培优训练 重在平时 48 11 五边形 ABCDE 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 AD 平分 CDE 第八讲第八讲 三角形全等的条件三 四 三角形全等的条件三 四 ASA AASASA AAS 定义 定义 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 角边角 或简 记为 A S A 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 角 角边 或简记为 A A S 问题 一块三角形玻璃碎成如图形状 4 块 配一块与原来一样的三角形玻璃 1 要不要 4 块都带去 2 带哪一块呢 3 带 D 块 带去了三角形的几个元素 另外几快呢 例例 1 1 如图 BDA CEA AE AD 求证 AB AC 例例 2 2 如图 ACB 900 AC BC D 为 AB 上一点 AE CD BF CD 交 CD 延长线于 F 点 求证 BF CE 例例 3 3 如图在 ABC 中 ACB 90 AC BC AE 是 BC 的中线 过点 C 作 CF AE 于 F 过 B 作 BD CB 交 CF 的延长线于点 D 1 求证 AE CD 2 若 BD 5 求 AC 的长 D B C A 培优训练 重在平时 49 例例 4 4 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC D 是 AB 上一点 AE GD 于 E BF CD 交 CD 的延长线于 F 求证 AE EF BF 例例 5 5 如图 已知在ABC 中 AD 是角平分线 CF AD 交 AB 于 F 垂足为 M CE AD 交 BA 的延长线于 E 求证 AC AE AF 例例 6 6 如图 ABC 中 BAC 900 AB AC BD 是 ABC 的平分线 BD 的延长线垂