盘点平面几何常考五大模型

盘点平面几何常考五大模型 一 等积变换模型性质与应用简介 一 等积变换模型性质与应用简介 导读 导读 平面几何问题 是历年小升初的必考题目 也在各大杯赛中占有很大比例 这 些题目都是以等积变形为主导思想 结合五大模型的变化应用交织而成的 这一期我们讲 解了解一下五大模型第一块 等积变换模型 等积变换模型例题讲解与课后练习题等积变换模型例题讲解与课后练习题 一 例题讲解与分析 一 例题讲解与分析 例 1 如右图 在 ABC 中 BE 3AE CD 2AD 若 ADE 的面积是 1 平方厘米 那么三角形 ABC 的面积是多少 解答 连接 BD S S ABD 和S S AED 同高 面积比等于底边比 所以 三角形 ABD 的面积是 4 S S ABD 和S S ABC 同高面积比等于底边比 三角形 ABC 的面积是 ABD 的 3 倍 是 12 总结 要找准那两个三角形的高相同 例 2 如图 四边形 ABCD 中 AC 和 BD 相交于 O 点 三角形 ADO 的 面积 5 三角形 DOC 的面积 4 三角形 AOB 的面积 15 求三角形 BOC 的面 积是多少 解答 S ADO 5 S DOC 4 根据结论 2 ADO 与 DOC 同高所以面积 比等于底的比 即 AO OC 5 4 同理 S AOB S BOC AO OC 5 4 因为 S AOB 15 所以 S BOC 12 总结 从这个题目我们可以发现 题目的条件和结论都是三角形的面 积比 我们在解题过程中借助结论 2 先把面积比转化成线段比 再把线段 比用结论 2 转化成面积比 解决了问题 事实上 这 2 次转化的过程就相当 于在条件和结论中搭了一座 桥梁 请同学们体会 一下 二 课后练习题讲解与分析 二 课后练习题讲解与分析 二 鸟头定理 共角定理 模型 二 鸟头定理 共角定理 模型 导语 导语 平面几何问题 是历年小升初的必考题目 也在各大杯赛中占有 很大比例 这些题目都是以等积变形为主导思想 结合五大模型的变化应用 交织而成的 第二期我们讲解了解一下五大模型第二块 鸟头定理 共角 定理 模型 o 三 蝴蝶定理模型 三 蝴蝶定理模型 导读 导读 平面几何问题 是历年小升初的必考题目 也在各大杯 赛中占有很大比例 这些题目都是以等积变形为主导思想 结合五 大模型的变化应用交织而成的 这一期我们讲解了解一下五大模型 第三块 蝴蝶定理模型 蝴蝶定理模型练习题蝴蝶定理模型练习题 练习练习 1 1 在直角梯形 ABCD 中 AB 15 厘米 AD 12 厘 米 阴影部分的面积为 15 平方厘米 梯形 ABCD 的面积是多 少平方厘米 解答 连接 AE 根据蝴蝶定理可得 S AEF S 阴 15 因为 S ABC 15 12 2 90 所以 S ABF 90 15 75 再次用蝴蝶定理可求 S EFC 15 15 75 3 所以 SABCD 12 15 15 3 198 练习练习 2 2 如图 在一个边长为 6 的正方形中 放入 一个边长为 2 的正方形 保持与原正方形的边平行 现在分 别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点 形成了 图中的阴影图形 那么阴影部分的面积为多少 解答 本题中小正方形的位置不确定 所以可以通 过取特殊值的方法来快速求解 也可以采用梯形蝴蝶定理来 解决一般情况 解法一 解法一 取特殊值 使得两个正方形的中心相重合 如 右图所示 图中四个空白三角形的高均为 1 5 因此空白处 的总面积为 6 1 5 2 4 2 2 22 阴影部分的面积为 6 6 22 14 解法二 解法二 连接两个正方形的对应顶点 可以得到四个梯 形 这四个梯形的上底都为 2 下底都为 6 上底 下底之比 为 2 6 1 3 根据梯形蝴蝶定理 这四个梯形每个梯形中 的四个小三角形的面积之比为 所以每个梯形中的空白三角 形占该梯形面积的 9 16 阴影部分的面积占该梯形面积的 7 16 所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 7 16 那么阴影部分的面积为 14 例例 已知正方形的面积是 120 平方厘米 B E 为正方 形边上的中点 求题中阴影部分的面积是多少平方厘米 分析 由巩固可知 BAEG 的面积为整个正方形面积的五 分之一为 120 5 24 平方厘米 由此对于阴影部分的面积 可以有两种求法 方法一 方法一 连接 FE 由图可知 BAF AEF 和 EFC 的面积相等 又因为 ABC 的面积为 120 4 30 平方厘米 所以 BAF AEF 和 EFC 的面积为 30 3 10 平方厘米 所以阴影部分的面 积为 24 10 14 平方厘米 方法二 方法二 本题用沙漏也可以解答能看见 BAF 和 CDF 是沙 漏 形象演示 AB CD BF FC 1 2 所以以 BF 为底的三角形 ABF 占整个三角形的 1 3 为 30 1 3 10 平方厘米 所以阴影面 积为 24 10 14 平方厘米 五 燕尾定理模型 五 燕尾定理模型 导语 导语 平面几何问题 是历年小升初的必考题目 也在 各大杯赛中占有很大比例 这些题目都是以等积变形为主导 思想 结合五大模型的变化应用交织而成的 最后一期我们 讲解一下五大模型最后一个 燕尾定理模型 练习练习 已知 如图 D E 分别是 ABC 的边 AB 和 AC 的中点 F 是 DE 的中点 求 DFG 的和四边 形 AEFG 的面积的比是多少 解析 因为 F 为 DEF 的中点 所以 C