一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法 摘要 摘要 常微分方程是微积分学的重要组成部分 广泛用于具体问题的研究中 在整个数学 中占有重要的地位 本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结 并举例加以分析了变 量可分离方程 线性微分方程 积分因子 恰当微分方程 主要归纳了一阶微分方程的初 等解法 并以典型例题加以说明 关键词 关键词 变量分离 积分因子 非齐次微分方程 常数变易法 Solution of first order differential equation Abstract Differential equations important parts of calculus are widely used in the research of practical problems which also play important role in mathematics The solution of a differential equation is summarized briefly and illustrates the analysis of variable separable equation linear differential equation integral factor exact differential equation mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations and the typical examples to illustrate Keywords variable separation integral factor non homogeneous differential equation constant variation method 1 引言 一阶常微分方程初等解法 就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程 本文通过对一阶微分方程的初等 解法的归纳与总结 以及对变量分离 积分因子 微分方程等各类初等解法的 简要分析 同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题 进行求解 2 一般变量分离 2 1 变量可分离方程 形如 dy f x g y dx 1 1 或 1122 Mx N y dxMx Ny dy 1 2 的方程 称为变量可分离方程 分别称 1 1 1 2 为显式变量可分离方程 和微分形式变量可分离方程 1 1 显式变量可分离方程的解法 在方程 1 1 中 若 1 1 变形为 0g y dy f x dx g y 积分得 dy f x dxC g y 1 3 此为 1 1 的解 若 使 则也是 1 1 的解 0g y 0 y 0 0g y 0 yy 注 当不包含于 1 3 时要特别补上解 0 yy 0 yy 例 1 求解方程 2 2 1 1 ydy dx x 解 当时 方程的通积分为 即1y 22 11 dydx C yx arcsinarcsinyxC 即 sin arcsin yxC 另外 方程还有解 不包含在通解中 1y 2 2 微分形式变量可分离方程的解法 方程 1122 Mx N y dxMx Ny dy 1 2 是变量可分离方程的微分形式表达式 这时 和在方程中的地位是 平等 xy 的 即和都可以被认为是自变量或函数 1 xy 在求常数解时 若 则为方程 1 2 的解 同样 若 10 0Ny 0 yy 则也是方程 1 2 的解 20 0Mx 0 xx 当时 用它除方程 1 2 两端 分离变量 得 12 0Ny Mx 21 12 NyMx dydx NyMx 上式两端同时积分 得到方程 1 2 的通积分 21 12 NyMx dydxC NyMx 例 2 求解方程 22 110 x ydxy xdy 解 首先 易见为方程的解 其次 当时 分离变量1 1yx 22 1 10 xy 得 22 11 0 ydy xdx xy 积分 得方程的通积分 C 0 22 ln1ln1lnxyC 或 C 0 22 11xyC 以上内容归纳了变量可分离方程的解法 有些方程虽然不是变量可分离方 程 但是经过变量变换之后 就能化成变量可分离方程 接下来归纳了两类可化为 变量可分离的方程及其解法 2 2 可化为变量可分离方程 1 1 第一类可化为变量可分离的方程 齐次微分方程 如果一阶显式方程 dy f x y dx 1 4 的右端函数可以改写为的函数 那么称方程 1 4 为一阶齐次 f x y y x y g x 微分方程 也可以写为 1 5 dyy g dxx 作变量变换 1 6 y u x 于是 从而yux 1 7 dydu ux dxdx 把 1 6 1 7 代入 1 5 得 du xug u dx 即 1 8 dug uu dxx 方程 1 8 是一个变量可分离方程 当时 分离变量并积分 得到它 0g uu 的通积分 1 9 1 ln dudx C g uux 或 1 du g uu C xe 即 u xCe 其中 1 1 du uC g uuC 以代入 得到原方程 1 5 的通积分 y u x y x xCe 若存在常数 使 则是 1 8 的解 由 得是 0 u 00 0g uu 0 uu y u x 0 yu x 原方程 1 5 的解 1 例 3 解方程 22 dy xxyy dx 解 将方程化为 令 代入上式得 即 2 dyyy dxxx y u x 2 du uxuu dx 易于看出 为这个方程的一个解 从而为原方程的一个解 2 du xu dx 0u 0y 当时 分离变量得两端积分后得0u 2 dudx ux 1 ln xC u 或 1 ln u xC 将换成 并解出 便得到原方程的通解 u y x y ln x y xC 2 2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 2 1 111 222 a xb ycdy dxa xb yc 的方程是第二类可化为变量可分离的方程 1 其中均为常数 分如下情况 111222 a b c a b c 12 0i cc 11 22 a xb ydy dxa xb y 即 11 22 y ab dy x y dx ab x 用变量代换即可化为可分离变量的微分方程 y u x 111 222 abc iik abc 令 22 ua xb y 则 1 2222 2 kucdudy abab dxdxuc 是可分离变量的微分方程 11 22 ab iii ab 若不全为零 则 12 c c 111 222 0 0 a xb yc a xb yc 代表平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点 设为oxy 令 则上述方程变为 Xx Yy 11 22 0 0 a XbY a Xb Y 则 1 7 变为为可分离变量的微分方程 11 22 a XbYdXx g dYa Xb Yy 注 若 则为的情形 12 0cc i 例 4 求方程 2 5 yx yx dx dy 解 令 则 代入得到 有 2 yxududxdy u u dx du7 1 所以dxudu7 7 2 2 为常数CCx u 把u代入得到 7 2 2 2 为常数 CCx yx 例 5 求方程 12 12 yx yx dx dy 解 由 得 令 有 代入得到 012 012 yx yx 3 1 3 1 y x 3 1 3 1 yv xu dudx dvdy u v u v vu vu du dv 21 2 2 2 令 有 代入得到 化简得到 u v t udttdudv t t du dt ut 21 2 1 2 1 222 21 2 2 2 tt ttd dt tt t u du 有 所以有 2 1ln ln 2 为常数CC tt u 1 1 2 1 C eC tt C u 故代入得到 0 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 2 1 C x y x y C x 3 常数变易法 一阶线性微分方程的一般形式 dy p x yf x dx 2 2 其中在考虑的区间上是的连续函数 p xf xx 当时 即 f 0 x 2 3 0 dy P x y dx 称为一阶线性齐次微分方程 当 称为一阶线性非齐次微分方程 0f x 3 1 齐次方程通解的解法 一般变量分离 对分离变量 得 0 dy p x y dx 1 dyp x dx y 两边同时积分 得 1 ln yp x dxc 即 2 p x dx yc e 则 0 p x dx ycec 3 2 非齐次方程通解的解法 常数变易法 不难看出 2 3 是 2 2 的特殊情形 两者既有联系又有差别 因此可以 设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别 现试图利用方程的通解的形式去 求出方程的通解 显然 如果中 恒保持为常数 它们不可能是的解 可以设想在c 中将常数 变易为的待定函数 使它满足方程 从而求出为此 令cx xc p x dx yc xe 2 4 为方程 2 2 的解 其中待定 将 2 4 代入 2 2 c x 得 p x dxp x dxp x dx c x ec x ep xp xc x ef x 即 p x dx c xf x e 从而 p x dx c xf x edxc 故 方程 2 2 的通解为 p x dxp x dxp x dx yceef x edx 注 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一 个特解之和 4 例 6 求解方 2 dyy x dxx 2 5 解 方程 2 5 所对应的齐次方程为 2 6 dyy dxx 其通解为 1 ln dx x x ycececx 由常数变易法 令为方程 2 5 的通解 并代入 2 5 x xyc 2 x x c x c x xc 即 则方程 2 5 的通解为 x xc 2 1 2 c xxc 3 1 2 ycxx 4 恰当微分方程 若一阶微分方程 2 7 0 dyyxNdxyxM 的左端恰好是某个二元函数的全微分 即 dy y u dx x u yxdudyyxNdxyxM 则 2 7 为恰当微分方程 其中 为某矩形区域上连续且具有 yxM yxN 连续的一阶偏导数 1 那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢 下面给出其判别方 法 若 2 7 为恰当微分方程 则 2 8 x u M 2 9 y u N 对 2 8 2 9 分别求关于 的偏导数 有 yx yx u y M 2 由 的连续性 可知故 此即 xy u x N 2 y M x N xy u yx u 22 x N y M 为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件 下面来讨论 2 7 的通解形式 由 2 8 知 uM x y dxy 是的可微函数 下面来求 使也满足 2 9 y y y y udy M x y dxN yydy 由此知 dy NM x y dx dyy 下证与无关即可 dxyxM y N x 0 y M x N dxyxM xyx N dxyxM yxx N dxyxMN x 所以左边与无关 x 积分得 yNM x y dx dy y 所以 dydxyxM y NdxyxMyxu 从而 原方程的通解为 CdydxyxM y NdxyxMyxu 为任意常数 C 例 7 0 46 63 3222 dyyyxdxxyx 解 由题意得到 由 3222 46 63 yyxyxNxyxyxM 得到 原方程是一个恰当方程 x N xy y M 12 下面求一个 由 yxN y yxG yXM x yxG tsyxG 得 22 63 xyxyXM x yxG 两边对y求偏导得到 3 223 yyxxyxG 322 46 6yyxyyx y G 得到 有 故 由 得到 3 4 yy 4 yy 4223 3 yyxxyxG 0 dG 3 4223 为常数CCyyxx 5 5 积分因子 积分因子 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解 因此能否将一个非恰当微分方 程化为恰当微分方程就有很大的意义 积分因子就是为了解决这个问题引进的 概念 如果存在连续可微函数 使得 0 x y 0 x y M x y dxx y N x y dy 为一恰当微分方程 即存在函数 使u MdxNdydu 则称为方程的积分因子 积分因子不唯一 2 x y 0M x y dxN x y dy 函数为积分因子的充要条件是 x y 0M x y dxN x y dy MN yx 即 MN NM xyyx 假设原方程存在只与有关的积分因子 则 则为原方x x 0 x 程的积分因子的充要条件是 即仅是关于 MN xyx MN yx x N 的函数 此时可求得原方程的一个积分因子为 同样有只与有关x x dx e y 的积分因子的充要条件是是仅为的函数 此时可求得方程 MN yx y M y 1 1 的一个积分因子为 3 y dy e 例 8 求解方程 0 dyxyydx 解 这里方程不是恰当的 因为只 1 1 X N y M xyNyM yy M2 与有关 故方程有只与的积分因子yy 2 ln2 2 1 y eeu yy 以乘方程两边 得到 2 1 y u 0 11 2 y xdy dy y dx y 或者写成 0 2 y dy y xdyydx 因而通解为 lncy y x 6 小结 一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题 其 解的表达式由初等函数或超越函数表示 是常微分方程发