《集合》公式汇总

集合 1 集合集合 公式汇总公式汇总 集合 简称集 是数学中一个基本概念 它是集合论的研究对象 集合论的基本理论直到 19 世纪才被创立 最简单的说法 即是在最原 始的集合论 朴素集合论中的定义 集合就是 一堆东西 集合里的 东西 叫作元素 由一个或多个元素所构成的叫做集合 若 x 是集合 A 的元素 则记作 x A 集合中的元素有三个特征 1 确定性 集合中的元素必须是确 定的 2 互异性 集合中的元素互不相同 例如 集合 A 1 a 则 a 不能等于 1 3 无序性 集合中的元素没有先后之分 并交集 并集定义 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 记作 A B 或 B A 读作 A 并 B 或 B 并 A 即 A B x x A 或 x B 并集越并越多 交集定义 由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合 记作 A B 或 B A 读作 A 交 B 或 B 交 A 即 A B x x A 且 x B 交集越交越少 若 A 包含 B 则 A B B A B A 补集 相对补集定义 由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合 称为 B 关于 A 的相对补集 记作 A B 或 A B 即 A B x x A 且 x B 绝对补集定义 A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集 记作 A 或 u A 或 A U U 一 元素与集合 一 元素与集合 1 元素与集合的关系 元素与集合的关系 若是集合的元素 就说属于 记作 读作 属于 aAaAaA aA 若不是集合的元素 就说不属于 记作 读作 不属于 aAaAaA aA 2 集合的表示 集合的表示 列举法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合 形如 1 2 3 5 描述法 描述法 具有的性质 其中为集合的代表元素 形如 x x2 2x 3 0 xxx 图示法 图示法 用数轴或韦恩图来表示集合 3 常见数集的符号表示 常见数集的符号表示 自然数集 非负整数集 N 正整数集或 N N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 正实数集R 符号法 N 非负整数集合或自然数集合 0 1 2 3 N 或 N 正整数集合 1 2 3 集合 2 Z 整数集合 1 0 1 Q 有理数集合 Q 正有理数集合 Q 负有理数集合 R 实数集合 包括有理数和无理数 R 正实数集合 R 负实数集合 C 复数集合 空集合 不含有任何元素的集合称为空集合 又叫空集 二 集合间的基本关系 二 集合间的基本关系 概念概念写法写法含义含义 相等相等AB A B 子集子集AB 读作 包含于 或 包含 ABBA 1 2 A 3 AB 真子集真子集 AB 读作 真包含于 或 真包含 ABBA 1 2 A 非空真子集非空真子集 且 A AB 空集空集 空集是任何集合的子集 注 1 任何集合都是它本身的子集 空集是任何集合的子集 2 集合个数 集合个数 集合 3 集合集合 A 中有中有 n 个元素 则集合个元素 则集合 A 的子集有 的子集有 个 真子集有 个 真子集有 个 非空真子集有 个 非空真子集有 个 个2n21 n 22 n 元素子集真子集非空子集非空真子集 n 2n21 n 21 n 22 n 三 集合的基本运算及运算法则 三 集合的基本运算及运算法则 集合集合韦恩图韦恩图数轴表示数轴表示 交集 在画数轴时 要注意层次感和实心空心 并集 只要是线下面的部分都要 补集 U UA A 注 1 1 集合运算法则 从括号内开始 由内而外 集合运算法则 从括号内开始 由内而外 Cu A B Cu A Cu B Cu A B Cu A Cu B 2 2 常见结论 常见结论 若 A B B 则AB 若 则ABA AB 一 知识归纳 一 知识归纳 1 集合的有关概念 1 集合 集 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集 其中每一个对象叫元素 集合 4 注意 集合与集合的元素是两个不同的概念 教科书中是通过描述给出的 这与平面几何中的点与直线的概念类似 集合中的元素具有确定性 a A 和 a A 二者必居其一 互异性 若 a A b A 则 a b 和无序性 a b 与 b a 表示同一个集合 集合具有两方面的意义 即 凡是符合条件的对象都是它的元素 只要是它的元素就必须符号条件 2 集合的表示方法 常用的有列举法 描述法和图文法 3 集合的分类 有限集 无限集 空集 4 常用数集 N Z Q R N 2 子集 交集 并集 补集 空集 全集等概念 1 子集 若对 x A 都有 x B 则 A B 或 A B 2 真子集 A B 且存在 x0 B 但 x0 A 记为 A B 或 且 3 交集 A B x x A 且 x B 4 并集 A B x x A 或 x B 5 补集 CUA x x A 但 x U 注意 A 若 A 则 A 若 则 若 且 则 A B 等集 3 弄清集合与元素 集合与集合的关系 掌握有关的术语和符号 特别要注意以下的符号 1 与 的区别 2 与 的区别 3 与 的区别 4 有关子集的几个等价关系 A B A A B A B B A B A B C uA C uB A CuB 空集 CuA B CuA B I A B 5 交 并集运算的性质 A A A A A B B A A A A A A A B B A Cu A B CuA CuB Cu A B CuA CuB 6 有限子集的个数 设集合 A 的元素个数是 n 则 A 有 2n 个子集 2n 1 个非空子集 2n 2 个非空真子集 二 例题讲解 二 例题讲解 例 1 已知集合 M x x m m Z N x x n Z P x x p Z 则 M N P 满足关系 A M N P B M N P C M N P D N P M 分析一 从判断元素的共性与区别入手 解答一 对于集合 M x x m Z 对于集合 N x x n Z 对于集合 P x x p Z 由于 3 n 1 1 和 3p 1 都表示被 3 除余 1 的数 而 6m 1 表示被 6 除余 1 的数 所以 M N P 故选 B 分析二 简单列举集合中的元素 解答二 M N P 这时不要急于判断三个集合间的关系 应分析各集合中不同的元素 N N M N 又 M M N P N P 又 N P N 故 P N 所以选 B 集合 5 点评 由于思路二只是停留在最初的归纳假设 没有从理论上解决问题 因此提倡思路一 但思路二易人手 变式 设集合 则 B A M N B M N C N M D 解 当 时 2k 1 是奇数 k 2 是整数 选 B 例 2 定义集合 A B x x A 且 x B 若 A 1 3 5 7 B 2 3 5 则 A B 的子集个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 确定集合 A B 子集的个数 首先要确定元素的个数 然后再利用公式 集合 A a1 a2 an 有子集 2n 个来求解 解答 A B x x A 且 x B A B 1 7 有两个元素 故 A B 的子集共有 22 个 选 D 变式 1 已知非空集合 M 1 2 3 4 5 且若 a M 则 6 a M 那么集合 M 的个数为 A 5 个 B 6 个 C 7 个 D 8 个 变式 2 已知 a b A a b c d e 求集合 A 解 由已知 集合中必须含有元素 a b 集合 A 可能是 a b a b c a b d a b e a b c d a b c e a b d e 评析 本题集合 A 的个数实为集合 c d e 的真子集的个数 所以共有 个 例 3 已知集合 A x x2 px q 0 B x x2 4x r 0 且 A B 1 A B 2 1 3 求实数 p q r 的值 解答 A B 1 1 B 12 4 1 r 0 r 3 B x x2 4x r 0 1 3 A B 2 1 3 2 B 2 A A B 1 1 A 方程 x2 px q 0 的两根为 2 和 1 变式 已知集合 A x x2 bx c 0 B x x2 mx 6 0 且 A B 2 A B B 求实数 b c m 的值 解 A B 2 1 B 22 m 2 6 0 m 5 B x x2 5x 6 0 2 3 A B B 又 A B 2 A 2 b 2 2 4 c 2 2 4 b 4 c 4 m 5 例 4 已知集合 A x x 1 x 1 x 2 0 集合 B 满足 A B x x 2 且 A B x 1 分析 先化简集合 A 然后由 A B 和 A B 分别确定数轴上哪些元素属于 B 哪些元素不属于 B 解答 A x 21 由 A B x 1 2 可知 1 1 B 而 2 B 综合以上各式有 B x 1 x 5 变式 1 若 A x x3 2x2 8x 0 B x x2 ax b 0 已知 A B x x 4 A B 求 a b 答案 a 2 b 0 点评 在解有关不等式解集一类集合问题 应注意用数形结合的方法 作出数轴来解之 变式 2 设 M x x2 2x 3 0 N x ax 1 0 若 M N N 求所有满足条件的 a 的集合 解答 M 1 3 M N N N M 集合 6 当 时 ax 1 0 无解 a 0 综 得 所求集合为 1 0 例 5 已知集合 函数 y log2 a