2010年全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题

20102010 年全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题年全国大学生数学竞赛中北大学选拔赛试题 总分总分 得分 一 选择题 本大题共 5 小题 每题 3 分 共 15 分 1 以下说法错误错误的是 A 设与分别是上的奇函数与偶函数 则与都是 xf xg xfg xgf 上的偶函数 B 若是可导的奇函数 则其导函数是偶函数 xf xf C 若为上的奇函数 且存在反函数 则其反函数为奇函数 xf 1 xf D 若为 a a 上 a 0 的偶函数 且存在原函数 则为奇函数 xf xF xF 2 是 的间断点 则其类型为1x 1 1 2 1 x y e A 无穷间断点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 振荡间断点 3 设为微分方程的解 则在处 yf x sin 0 x yye 0 0fx 0 xx f x A 的邻域内单增 B 的邻域内单减 0 xx 0 xx C 取极大值 D 取极小值 4 下列级数中 收敛的是 A B 100 0 2n n n 0 1 ln n nn C D 1 1 11 11 2 n n n 1 0 1 1 n n n 5 若点为曲线的拐点 则 00 xf x yf x A 必有存在且等于 0 B 必有存在但不一定等于 0 0 fx 0 fx C 如果存在则必有 D 如果存在 则必不等于 0 0 fx 0 0fx 0 fx 二 填空题 本大题共 5 小题 每题 3 分 共 15 分 1 表示单位球面外侧 则 222 1xyz xdydzydzdxzdxdy A 2 设是以为周期的周期函数 且f x 2 2 0 0 0 2 0 xx f xx x 又设的傅立叶级数展开式的和函数为 则 f x S x 2 S 3 表示由曲面围成的立体 则 22 1 4zxyzz 22 xydv 4 设函数在处可导 且 则 f x0 x 2 0 0 sin2 lim5 x f xfx x 0 f 5 设为椭圆 其周长为 则 L 22 1 34 xy a 22 243 L xyxy ds A 三 解答题 本大题共 5 小题 每题 8 分 共 40 分 1 讨论下面函数在处的连续性0 x 2 sin 1 0 ln 1 10 cos1 0 sin x x e x xx f xx ex x x 2 fx 3 2 1 02x 已知函数在 上连续 且其导函数导函数的图形如图所示 求函数 xf fx 的所有极值点 极值和拐点 1 f x 3 表示从沿上半圆周到一段弧 其中 曲线积分L 0 t 222 xyt 0 t 0t 求的最大值 33 3 L I ty dxxxdy I t 4 求级数的收敛域 2 1 1 1 n n xx n n 5 证明函数 在原点处可微 22 1 sin 0 0 0 0 0 xyx y f x yxy x y 四 本大题共 5 小题 每题 6 分 共 30 分 1 试确定常数 使得当时 与互为等价无穷小na 0 x n ax 1ln sin 2 xxx 2 交换积分次序 22 0 ay a ay Idyf x y dx 3 已知都在闭区间上连续 且 单调增 p xf x g x a b 0p x f xg x 证明 bbbb aaaa p x f x dxp x g x dxp x dxp x f x g x dx 4 已知连续函数满足 判定级数的敛散性 并 xf 0 x f xxf txt dt 1 1 n f n 求极限 0 2 0 lim 11 x x f t dt x 数学竞赛试题评分标准 一 选择题 本大题共 5 小题 每题 3 分 共 15 分 D B D A C 二 填空题 本大题共 5 小题 每题 3 分 共 15 分 1 2 3 4 5 12 4 1 45 2 5 2 a 三 解答题 本大题共 5 小题 每题 8 分 共 40 分 1 解 因为 3 分 2 00 1 lim lim1 ln 1 x xx e f x xx 3 分 00 cos1 lim lim1 sin x xx ex f x x 所以 1 分 00 lim lim 1 0 xx f xf xf 因此函数在处连续 1 分 f x0 x 2 解 根据导数的符号可以判断出 极值点分别为 或或极值分别为 3 分2 0 1 2 0 1 fff 如果没有考虑到考察的是函数也可以不扣分 1 f x 不可导点为 0 再结合左右导数的符号判断 极值点还有 0 f x f x 的极值点 1 为或极值为 2 分 1 f x 1 f 拐点 3 分 1 1 f 3 解 以表示线段上到的一段 表示半径为 的上半圆域 由格 1 L0y 0 t 0 tDt 林公式得 2 分 11 33 3 LL LL I ty dxxxdy 1 分 1 22 333 0 L D xydxdydx 1 分 22 00 3 3 2 t tdr rdr 24 33 24 tt 得 1 分 3 1 1 0I tttt 0 1 1ttt 容易判定为极大值点 2 分1t 极大值为 1 分 3 1 4 I 4 解 令 于是级数化为 1 分 2 1yxx 1 1 n n y n n 容易求出新级数的收敛域为 2 分 1 1 由于 1 分 2 2 133 1 244 xxx 解不等式 2 分 2 1 1xx 得收敛域为 2 分 1 0 5 解 2 分 2 00 1 0sin 0 0 0 0 0 limlim0 x xx x xfxf f xx 同理 0 0 0 y f 于是 2 分 220 0 00 0 0 lim x x fxyxyf xy 22 220 0 1 sin lim x y x y xy xy 由 2 分 22 22 2222 1 sin 1 0 2 x y xyx y xy xyxy 根据夹逼准则 可得 因此可微 2 分 22 220 0 1 sin lim0 x y x y xy xy 注 注 只要写出微分概念就可得 2 分 四 本大题共 5 小题 每题 6 分 共 30 分 1 解 本题使用泰勒公式方便 下面就是泰勒公式 2 0 sinln 1 lim n x xxx ax 2 分 33244 0 11 3 2 lim n x x xxo xxxo x ax 2 分 44 0 1 3 lim n x xo x ax 为使上述极限为 1 显然应有 2 分 1 4 3 an 注 注 使用罗比达法则 需要使用 3 次 只要正确使用 2 次就得 3 分 第三次 1 分 结果 2 分 2 解 6 分 22 2 0 aaaa axax a Idxf x y dydxf x y dy 草图正确 其余不对可以给 1 分 上面两部分对一部分可以给 3 分 3 证明 bbbb aaaa p x dxp x f x g x dxp x f x dxp x g x dx 1 2 bbbb aaaa p x dxp y f y g y dyp x f x dxp y g y dy 2 分 bbbb aaaa p y dyp x f x g x dxp y f y dyp x g x dx 1 2 a ba b p x p y f y g yp x f x p y g y 2 分 p y p x f x g xp y f y p x g x dxdy 1 分 1 2 a ba b p x p yf yf xg yg x dxdy 1 分0 注 注 若用定积分和单调性 则构造辅助函数得 2 分 求导数 2 分 结果 2 分 4 解 1 000 xxx f xxf txt dtxxf t dttf t dt 两边求导数得 2 1 分 00 1 1 xx fxxf xf t dtxf xf t dt 对 1 再求导数 得 3 1 分 fxf x 由 1 由 2 1 分 0 0f 0 1 f 解微分方程 3 得通解为 xx f xaebe 由初值条件 得通解 1