2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2008年4月13日)

20082008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2008 年 4 月 13 日 命题人 胡云华 版权所有 请不要转传其他商业网站 版权所有 请不要转传其他商业网站 本卷满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 三 题号一二 151617 总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 6 分 共 48 分 题号12345678得分评卷人 答案 1 已知集合 集合 映射表示把集 Ma babaR bR 1 0 1 P fxx 合中的元素映射到集合中仍为 则以为坐标的点组成的集合有元素 个 MxPx a bS A 2 B 4 C 6 D 8 2 设为 的边的中点 为 内一点 且满足 则DABCABPABC 2 5 APADBC APD ABC S S A B C D 3 5 2 5 1 5 3 10 3 在点 O 处测得远处质点 P 作匀速直线运动 开始位置在 A 点 一分钟后到达 B 点 再过一分 钟到达 C 点 测得 则 00 90 30AOBBOC tanOAB A B C D 3 2 3 2 2 3 3 2 3 4 已知当时 函数取最大值 则函数图象的一条 6 x sincosyxax sincosyaxx 对称轴为 A B C D 3 x 3 x 6 x 6 x 5 已知是函数 的一个零点 是函数 log2008 1 a f xxxa 的一个零点 则的值为 2008 x g xxa A 1 B 2008 C D 4016 2 2008 6 函数的定义域为 D 若满足 在 D 内是单调函数 存在使在 f x f x m nD f x 上的值域为 那么就称为 好函数 现有 m n 11 22 mn yf x log x a f xak 是 好函数 则的取值范围是 0 1 aa k A B C D 0 1 4 1 0 4 1 0 4 7 如图 一个棱长为的立方体内有 1 个大球和 8 个小球 大球与立方体的六个面都相切 每a 个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切 现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥 截面 都为正三角形并与小球相切 变成一个新的立体图形 则原立方体的每条棱还剩余 A B C D 63 3 2 a 63 3 a 5 38 2 a 5 38 a 8 使为完全平方数的正整数有 232 n n A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 8 分 共 48 分 9 已知向量满足 若 则cba bacbacba 01 a b c 10 若数列中任意连续三项和都为正数 任意连续四项和都为负数 则 n a 项数的最大值为 n 11 如图是一个长方体 ABCD A1B1C1D1截去几个角后的 多面体的三视图 在这个多面体中 AB 4 BC 6 CC1 3 则这个多面体的体积为 12 把一根长为 7 米的铁丝截下两段 也可以直接截成 两段 这两段的长度差不超过 1 米 分别以这两段为圆 的周长围成两个圆 则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米 13 在正整数数列中 由 1 开始依次按如下规则取它的项 第一次取 1 第二次取 2 个连续偶数 2 4 第三次取 3 个连续奇数 5 7 9 第四次取 4 个连续偶数 10 12 14 16 第五次取 5 个 连续奇数 17 19 21 23 25 按此规则一直取下去 得到一个子数列 1 2 4 5 7 9 12 14 16 17 则在这个子数列中 由 1 开始的第 2008 个数是 14 设 则函数的最小值为 0 2 x 2 12 2 4 cossin y xx 得分评卷人 主 主 主 主 主 主 主 主 主 B A C B D BC1 A1C1A1C1 A1 三 解答题 本大题共 3 小题 共 54 分 15 本小题 16 分 已知函数 2 2cos 3cos21 4 f xxxxR 1 求函数单调递增区间 f x 2 若 不等式的解集为 B 求实数 4 2 Ay yf x x 3xm ABA 的取值范围 m 16 本小题满分 18 分 设 若 2 32f xaxbxc 0abc 0 0 f0 1 f 1 求证 方程在区间 0 1 内有两个不等的实数根 0f x 2 若都为正整数 求的最小值 a b cabc 得分评卷人 得分评卷人 17 本小题 20 分 在平面上有一系列点 对每个xoy 222111 yxPyxP nnn yxP 正整数 以点为圆心的 与轴及射线都相切 且 与 彼此外n n P n Px3 0 yx x n P 1 n P 切 若 且 1 1 x nn xx 1 Nn 1 求证 数列是等比数列 并求数列 n x 的通项公式 n x 2 设数列的各项为正 且满足 n a 1 1 1 1 nn n nn x a aa xa 求证 1 12233 51 2 431 nn n a xa xa xa xn 3 当时 求证 1n 32 2 32 223 222 23 41 1 1 1 1 51 n n n nn nnnn aaa a aaaaaa 得分评卷人 y 3x o y x P3 P2 P1 20082008 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 解答 本卷满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 三 题号一二 151617 总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 6 分 共 48 分 题号12345678得分评卷人 答案 1 已知集合 集合 映射表示把集 Ma babaR bR 1 0 1 P fxx 合中的元素映射到集合中仍为 则以为坐标的点组成的集合有元素 C 个 MxPx a bS A 2 B 4 C 6 D 8 分析 显然 有 6 组解 有 6MP 111001 001111 aaaaaa bbbbbb S 个元素 选 C 2 设为 的边的中点 为 内一点 且满足 则DABCABPABC 2 5 APADBC C APD ABC S S A B C D 3 5 2 5 1 5 3 10 分析 如图 2 5 DPBEBC 2 5 ADBCADDPAP 四边形 DPEB 为平行四边形 选 C 1 sin 1 2 1 5 sin 2 APD ABC ADDPABC S S ABBCADP 3 在点 O 处测得远处质点 P 作匀速直线运动 开始位置在 A 点 一分钟后到达 B 点 再过一 分钟到达 C 点 测得 则 B 00 90 30AOBBOC tanOAB A B C D 3 2 3 2 2 3 3 2 3 分析 如图延长 OB 到 D 使得 BD OB 则四边形 OADC 为平行四边形 E P D C B A P D C B A O 又 则 0 90ODCAOB 0 30BOC 133 222 OBODDCOA 选 B 3 tan 2 OB OAB OA 4 已知当时 函数取最大值 则函数图象的一条 6 x sincosyxax sincosyaxx 对称轴为 A A B C D 3 x 3 x 6 x 6 x 分析 当时 函数取最大值 6 x sincosyxax 2 13 1 22 aa 解得 是它的一条对称轴 选 A 3a sincos2sin 6 yaxxx 3 x 5 已知是函数 的一个零点 是函数 log2008 1 a f xxxa 的一个零点 则的值为 B 2008 x g xxa A 1 B 2008 C D 4016 2 2008 分析 如图 是曲线与曲线交点 A 的横 2008 y x logayx 坐标 是曲线与曲线交点 B 的横坐标 2008 y x x ya 函数与互为反函数 A 与 B 关于直线 y x 对称logayx x ya 即为点 A 的纵坐标 选 B 2008 6 函数的定义域为 D 若满足 在 D 内是单调函数 存在使在 f x f x m nD f x 上的值域为 那么就称为 好函数 现有 m n 11 22 mn yf x log x a f xak 是 好函数 则的取值范围是 C 0 1 aa k A B C D 0 1 4 1 0 4 1 0 4 分析 因为函数在其定义域内为增函数 则若函数 log 0 1 x a f xakaa 为 好函数 方程必有两个不同实数根 yf x 1 2 f xx 1 log 2 x a akx 方程有两个不同的正数根 选 2 x x aka 2 0 x x aak 2 0ttk 1 0 4 k C 7 如图 一个棱长为的立方体内有 1 个大球和 8 个小球 大球与立方体的六个面都相切 每a 个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切 现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥 截面 都为正三角形并与小球相切 变成一个新的立体图形 则原立方体的每条棱还剩余 D A B C D 63 3 2 a 63 3 a 5 38 2 a 5 38 a 分析 大球的半径为 设小球的半径 则 2 a r 3123 2 323 22 31 rraaraa 设小球切截面 CDE 于 F 则 343 35 22 ara AFa 设 利用等积法求得 所以ACx 95 3 3 2 xAFa 2 5 38 CHaAFa 选 D 8 使为完全平方数的正整数有 232 n n A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 分析 若 当时 分别为 36 64 是完全平方数 5 nnN 2 5nn 232 n 若 设 若它是平方数 则令 5 nnN 5 nk kN 23232 21 nk 即 左边一定为偶数 而右边则是奇数 所以方程 2 212 k m mN 2 221 k m 无正整数解 选 A 2 212 k m 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 8 分 共 48 分 9 已知向量满足 若 则cba bacbacba 01 a b c 1 分析 且 abc ab 0abca cb c 0a b 2 10aabcaa ba cb c 1b c 10 若数列中任意连续三项和都为正数 任意连续四项和都为负数 则 n a 项数的最大值为 5 n 得分评卷人 主 主 主 主 主 主 主 主 主 B A C B D BC1 A1C1A1C1 A1 O3 O2 O1 H G F E D C B A 分析 由 12312344 0 00aaaaaaaa 同理由 23423455 0 00aaaaaaaa 所以这个数列最多只能有 5 项 否则由 则得 34534566 0 00aaaaaaaa 与题设矛盾 456 0aaa 11 如图是一个长方体 ABCD A1B1C1D1截去几个角后的 多面体的三视图 在这个多面体中 AB 4 BC 6 CC1 3 则这个多面体的体积为 48 分析 从三视图看 顶点已被截去 所以这个多面体如上图 其体积为 11 B D 1 3 4623 4648 6 V 12 把一根长为 7 米的铁丝截下两段 也可以直接截成 两段 这两段的长度差不超过 1 米 分别以这两段为圆 的周长围成两个圆 则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米 2 25 4 分析 设这两段的长度分别为米 米xy 则 满足关系 其平面区域为右上图所示阴影部分 两圆的面积之和为xy 0 0 7 1 x y xy xy 看成是个圆的方程 这个圆经过点或时 最大 其最大值为 22 2 4 xy s 4 3 A 3 4 Bs 平方米 2 25 4 13 在正整数数列中 由 1 开始依次按如下规则取它的项 第一次取 1 第二次取 2 个连续偶数 2 4 第三次取 3 个连续奇数 5 7 9 第四次取 4 个连续偶数 10 12 14 16 第五次取 5 个 连续奇数 17 19 21 23 25 按此规则一直取下去 得到一个子数列 1 2 4 5 7 9 12 14 16 17 则在这个子数列中 由 1 开始的第 2008 个数是 3953 分析 前次总共取了项 满足不等式的最大整数为n 1 123 2 n n n 1 2008 2 n n 前 62 次取了 1953 项 所以子数列中的第 2008 项必是奇数 而且是第 63 次取出的第62n D CB A C1 A1 55 个奇数 前 62 次取数在正整数数列中有个整数没有被取到 61 62 123611891 2 所以第 63 次取的第一个数为 1953 1891 1 3845 第 55 个为 3953 14 设 则函数的最小值为 10 0 2 x 2 12 2 4 cossin y xx 分析 223 2 122 4cos 4sin 43 810 cossinsin yxx xxx 取等号当且仅当 即 2 2 2 1 4cos cos 2 4sin sin x x x x 0 2 x 2 sincos 2 xx 4 x 三 解答题 本大题共 3 小题 共 54 分 15 本小题 16 分 已知函数 2 2cos 3cos21 4 f xxxxR 1 求函数单调递增区间 f x 2 若 不等式的解集为 B 求实数 4 2 Ay yf x x 3xm ABA 的取值范围 m 解 1 1 cos 2 3cos21sin23cos22sin 2 23 f xxxxxx 5 分 由解得 222 232 kxk 5 1212 kxk 在区间上单调递增 8 分 f x 5 1212 kkkZ 2 又解得 12 分 4 2 x 2 2 363 x 1 2 A 3 3 Bmm 而 得 16 分 ABAAB 31 32 m m 14m 16 本小题满分 18 分 设 若 2 32f xaxbxc 0abc 0 0 f0 1 f 1 求证 方程在区间 0 1 内有两个不等的实数根 2 若 0f x 都为正整数 求的最小值 a b cabc 证明 1 0 0fc 1 320fabc 0abc 由 得 由 得 0abab 202abab 得分评卷人 得分评卷人 由 得 代入 得 2aba bac ac 0 a 由 得 4 分12 b a 对称轴 又 1 2 33 3 b x a 0 0 1 0ff 且 2222 4124 12 2 30bacacacacc 方程在内有两个不等实根 10 分0 xf 1 0 2 若都为正整数 都是正整数 a b c 0 f 1 f 设 其中是的两根 则 且 12 3 f xa xxxx 12 x x0 xf 12 0 1 x x 12 xx 2 2 1122 9 1 0 1 9 1 1 16 a ffa xx xx 为正整数 15 分 2 916 aa 2 a 2 2 426abcccc 若取 则得 2a 1 2 2 bb a 2 4 b 为正整数 b3b 1cba 的两根都在区间内 2 6610f xxx 1 0 的最小值为 6 18 分abc 17 本小题 20 分 在平面上有一系列点 对每个xoy 222111 yxPyxP nnn yxP 正整数 以点为圆心的 与轴及射线都相切 且 与 彼此外n n P n Px3 0 yx x n P 1 n P 切 若 且 1 1 x nn xx 1 Nn 1 求证 数列是等比数列 并求数列 n x 的通项公式 n x 2 设数列的各项为正 且满足 n a 1 1 1 1 nn n nn x a aa xa 求证 1 12233 62 3 531 nn n a xa xa xa xn 解 1 点列 必在射线 222111 yxPyxP nnn yxP 得分评卷人 y 3x o y x P3 P2 P1 为 的半径 3 0 3 yx x 3 n n x y n P 与 外切 n P 1 n P 222 1111 43 33 nnnnnnnn xxyyxxxx 3 分 化简 式得 解得 或 22 11 31030 nnnn xx xx 1 3 nn xx 1 1 3 nn xx 数列是等比数列 则 5 分 nn xx 11 1 3 nn xx n x1 1 x 1 1 3 n n x 2 而 1 1 nn n nn x a a xa 0 0 nn ax 11