二阶常微分方程解法--求解表格

二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根 求出 的系数 式中的系数及常数项恰好是 其中 写出特征方程 求解步骤 为常数 其中 式的通解 出的不同情况 按下表写 根据 3 21 rr 的形式 21 rr 式的通解 两个不相等实根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数 型 为常数 sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ypyqyf x 1 其中p q 是常数 方程 1 的通解为对应的齐次方程 0 qyypy 2 的通解 Y 和方程 1 的一个特解 y 之和 即 yYy 我们已解决了求二阶常系数 齐次线性方程通解的问题 所以 我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y 的方法 下面我们只介绍当方程 1 中的 xf 为如下两种常见形式时求其特解 y 的方法 一 一 f xePx x m 型 由于方程 1 右端函数 f x 是指数函数e x 与m次多项式P x m 的乘积 而指 数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数 因此 我们推测 方程 1 的特解应为y eQ x x Q x 是某个次数待定的多项式 yeQ xeQ x xx yeQ xQ xQx x 2 2 代入方程 1 得 eQxp Q xpq Q xePx xx m 2 2 消去e x 得 Qxp Q xpq Q xPx m 2 2 3 讨论 0 1 如果 不是特征方程r prq 2 0 的根 即 0 2 qp 由于P x m 是一个m次的多项式 欲使 3 的两端恒等 那未Q x 必为一个 m次多项式 设为 Qxb xb xbxb m mm mm 01 1 1 将之代入 3 比较恒等式两端x的同次幂的系数 就得到以b bbb mm011 为 未知数的m 1个线性方程的联立方程组 解此方程组可得到这m 1个待定的系数 并得到特解 yeQx x m 0 2 如果 是特征方程r prq 2 0 的单根 即 2 0 pq 但 2 0 p 欲使 3 式的两端恒等 那么 Q x 必是一个m次多项式 因此 可令 Q x x Qx m 并且用同样的方法来确定 xQ 的系数b bbb mm011 0 3 如果 是特征方程r prq 2 0 的二重根 即 2 0 pq 且 2 0 p 欲使 3 式的两端恒等 那么 Qx 必是一个m次多项式 因此 可令 Q x xQx m 2 并且用同样的方法来确定 xQ 的系数b bbb mm011 综上所述 我们有结论 如果 f xePx x m 则方程 1 的特解形式为 yx Qx e k m x 其中Q x m 是与P x m 同次的多项式 k的取值应满足条件 k 0 1 2 不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的二重根 例例 1 1 求 yyyxe x 56 2 的通解 解解 特征方程为 065 2 rr 特征根为 3 2 21 rr 齐次方程的通解为 xx eCeCY 3 2 2 1 因为 2 是特征单根 所以 设非齐次方程的特解为 y x b xb e x 01 2 则 y 222 0 2 011 2 b xbb xb e x y 48424 0 2 0101 2 b xbb xbb e x 将上述三式代入原方程 得 22 001 22 b xbb exe xx 比较恒等式两端的系数 得 21 20 0 01 b bb 解得 2 1 0 b 1 1 b 因此 x exxy 2 1 2 1 所以方程的通解为 yc ec exxe xxx 1 2 2 32 1 2 1 二 二 f xeP xxP xx x ln cos sin 型 由于方程 1 右端函数为 xxpxxpe nl x sin cos 这种形式得到非齐次方 程的特解 y 的过程稍微复杂些 所以我们这里就只给出结论 yx eRxxRxx kx mm cos sin 12 其中 R x m 1 R x m 2 是两个m次多项式 m l n max 且 是特征方程的根若 不是特征方程的根若 i i k 1 0 例例 2 2 求方程 yyxxcos2 的通解 解解 特征方程 r210 特征根 ir 2 1 齐次方程的通解为 xCxCYsincos 21 这里 1 2 0 m 由于 ii2 不是特征方程的根 所以设方程的特解为 yaxbxcxdx cos sin22 代入原方程 得 xxxadCxxCbax2cos2sin 433 2cos 433 比较两端同类项的系数 得 043 0