4.4、线段的垂直平分线

线段的垂直平分线线段的垂直平分线 知识要点知识要点 1 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 3 线段的垂直平分线的第二定义 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 把上面的性质定理 画出图形 并用证明的方式表示出来 典型例题典型例题 例例 1 1 证明 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 已知 如图 3 62 直线 MN AB 垂足是 C 且 AC CB 点 P 在 MN 上 求证 PA PB 例例 2 2 已知 如图 3 63 ABC 中 边 AB BC 的垂直平分 线相交于点 P 求证 PA PB PC 例题答案例题答案 例例 1 1 证明 MN AB 已知 PCA PCB 垂直定义 在 PCA 和 PCB 中 AC CB 已知 PCA PCB 已证 PC PC 公共边 PCA PCB SAS PA PB 全等三角形的对应边相等 例例 2 2 证明 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 已知 PA PB 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等 同理 PB PC PA PB PC 练习练习 一 填空题 1 线段的垂直平分线可以看作是 的集合 2 如果 MN 是线段 AB 的垂直平分线 垂足为 P 那么 设点 Q 在 MN 上 则 QA 如果 CA CB 那么点 C 在 上 3 ED 为 ABC 的 AC 边上的中垂线 交 AC 于 D 交 AB 于 E 若 AB 5 BC 6 则 BCE 的周长是 4 在 ABC 中 AB AC B 80 AB 的垂直平分线交 AC 于 D 则 DBC 5 Rt ABC 中 斜边 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D 连结 AD 若 BAD DAC 2 3 则 BAC B 6 如图 3 86 在 ABC 的边 AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于 P Q 若 BAC 100 则 PAQ 若 BAC PAQ 150 则 PAQ 7 如图 3 87 在 ABC 中 C 90 B 15 AB 的垂直平分线交 BC 于 D 交 AB 于 E 若 BD 6cm 则 AC cm 若 ACD 的周长为 30cm 则 BC AC cm 8 如图 3 88 P 是线段 AB 中垂线上的一点 如图 O 是中垂线与 AB 的交点 若 OB 4cm APB 3 ABP 210 则点 B 到 AP 的距离 BD 二 选择题 1 若三角形内有一点 这点到三角形三个顶点的距离都相等 则这点一定是三角形的 A 三边中垂线的交点 B 三条中线的交点 C 三条高的交点 D 三条角平分线的交点 2 下列说法中正确的是 A 一个三角形三边的垂直平分线相交于一点 这点到三角形三边的距离相等 B 一个三角形三条角平分线相交于一点 这点到三角形三个顶点的距离相等 C 等边三角形的三条中线交于一点 这点到三角形的三个顶点的距离相等 D 直角三角形中 斜边的中垂线必经过直角顶点 3 如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上 那么这个三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 4 到平面上三点 A B C 距离相等的点 A 只有一个 B 有二个 C 三个或三个以上 D 一个或没有 5 如图 3 89 ABC 中 AD 垂直平分 BC C 在 AE 的垂直平分线上 点 D B C 在同一直 线上 则 AD DB 与 DE 之间的关系是 A AD DB DE B AD DE DE C AD BD DE D 无法确定 三 作图题 如图 A B C 三点 表示三个工厂 要建一个供水站 使它到这三个工厂的距离相等 求 作供水站的位置 P 要求用尺规作图 只保留作图痕迹 不定作法 四 已知 如图 3 90 AD 是 ABC 的角平分线 AD 的中垂线分别交 AB 和 BC 的延长线 于点 F E 求证 1 DF AC 2 B CAE 五 如图 3 91 在 ABC 中 AB AC A 120 AB 的中垂线 MN 分别交 BC AB 于点 M N 求证 CM 2BM 六 如图 3 92 在 ABC 中 AD 平分 BAC 交 BC 的中垂线于 D DF AB 于 F DE AC 于 E 求证 BF CE 七 如图 3 93 在 ABC 中 ACB 90 D 是 BC 延长线上一点 E 是 AB 上一点 且在 BD 的垂直平分线上 DE 交 AC 于 F 求证 E 在 AF 的垂直平分线上 八 如图 3 94 OE OF 分别是 AB AC 边的中垂线 OBC OCB 的平分线相交于点 I 求证 OI BC 答案 答案 一 1 和线段两端距离相等的所有点 2 MN AB AB BP QB MN 3 11 4 60 5 6 20 40 7 3 30 8 4cm 二 1 A 2 C 3 B 4 D 5 C 三 略 四 1 F 在 AD 的中垂线上 FA FD FAD FDA AD 平分 BAC BAD CAD FDA DAC DF AC 2 E 在 AD 的中垂线上 EA ED DAE ADE ADE B BAD DAE DAC CAE BAD DAC B CAE 五 连结 AM AB AC BAC 120 B C 30 MN 垂直平分 AB MB MA B MAB 30 MAC 90 AM MC BM MC MC BM 六 连结 BD DC AD 平分 BAC DE AC DF AB DE DF BFD DEC 90 DM 垂直平分 BC BD DC Rt BDE Rt CDE BF CE 七 E 在 BD 的垂直平分线上 ED EB B EDB ACB 90 A 90 B