二面角求解方法

二面角的作与求二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一 可以做为选择题 也可作为填空题 时常作为解答求角是每年高考必考内容之一 可以做为选择题 也可作为填空题 时常作为解答 题形式出现 重点把握好二面角 它一般出现在解答题中 下面就对求二面角的方法总题形式出现 重点把握好二面角 它一般出现在解答题中 下面就对求二面角的方法总 结如下 结如下 1 定义法 在棱上任取一点 过这点在两个面内分别引棱的垂线 这两条射线所 定义法 在棱上任取一点 过这点在两个面内分别引棱的垂线 这两条射线所 成的角就是二面角的平面角 成的角就是二面角的平面角 2 三垂线定理及逆定理法 自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线 再由 三垂线定理及逆定理法 自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线 再由 垂足向棱作垂线得到棱上的点 斜足与面上一点连线 和斜足与垂足连线所夹的角即为垂足向棱作垂线得到棱上的点 斜足与面上一点连线 和斜足与垂足连线所夹的角即为 二面角的平面角 二面角的平面角 3 作棱的垂面法 作棱的垂面法 自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角的两条射线所成的角就自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角的两条射线所成的角就 是二面角的平面角 是二面角的平面角 4 投影法 利用 投影法 利用 s投影面 投影面 s被投影面被投影面 这个公式对于斜面三角形 任意多边形都成立 这个公式对于斜面三角形 任意多边形都成立 cos 是求二面角的好方法 尤其对无棱问题是求二面角的好方法 尤其对无棱问题 5 异面直线距离法 异面直线距离法 EF2 m2 n2 d2 2mn cos 例例 1 若 若 p 是是所在平面外一点 而所在平面外一点 而和和都是边长为都是边长为 2 的正三角形 的正三角形 ABC PBC ABC PA 求二面角求二面角 P BC A 的大小 的大小 6 分析 由于这两个三角形是全等的三角形 分析 由于这两个三角形是全等的三角形 故采用定义法故采用定义法 解 取解 取 BC 的中点的中点 E 连接 连接 AE PE AC AB PB PC AE BC PE BC 为二面角为二面角 P BC A 的平面角的平面角 PEA 在在中中 AE PE PA PAE 36 P C B A E 900 PEA 二面角二面角 P BC A 的平面角为的平面角为 900 例例 2 已知 已知是正三角形 是正三角形 平面平面 ABC 且且 PA AB a 求二面角求二面角 A PC B 的大小 的大小 ABC PA 思维思维 二面角的大小是由二面角的平面角二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的 本题可利用三垂线定理 逆 来作来度量的 本题可利用三垂线定理 逆 来作 平面角 还可以用射影面积公式或异面直线上两点平面角 还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角 间距离公式求二面角的平面角 解解 1 三垂线定理法 三垂线定理法 取取 AC 的中点的中点 E 连接 连接 BE 过 过 E 做做 EFPC 连接连接 BF 平面平面 ABC PA平面平面 PAC PA 平面平面 PAC平面平面 ABC 平面平面 PAC平面平面 ABC AC BE平面平面 PAC 由三垂线定理知由三垂线定理知 BFPC 为二面角为二面角 A PC B 的平面角的平面角 BFE 设设 PA 1 E 为为 AC 的中点 的中点 BE EF 2 3 4 2 tan BFE 6 EF BE arctan BFE 6 解解 2 三垂线定理法 三垂线定理法 取取 BC 的中点的中点 E 连接 连接 AE PE 过过 A 做做 AFPE FMPC 连接连接 FM AB AC PB PC AEBC PEBC BC平面平面 PAE BC平面平面 PBC 平面平面 PAE平面平面 PBC 平面平面 PAE平面平面 PBC PE 由三垂线定理知由三垂线定理知 AMPC P C B A E F M E P C B A F 图 1 图 2 为二面角为二面角 A PC B 的平面角的平面角 FMA 设设 PA 1 AM AF 2 2 7 21 PE AEAP sin FMA 7 42 AM AF argsin FMA 7 42 解解 3 投影法 投影法 过过 B 作作 BEAC 于于 E 连结连结 PE 平面平面 ABC PA平面平面 PAC PA 平面平面 PAC平面平面 ABC 平面平面 PAC平面平面 ABC AC BE平面平面 PAC 是是在平面在平面 PAC 上的射影上的射影 PEC PBC 设设 PA 1 则则 PB PC AB 12 4 1 PEC S 4 7 PBC S 由射影面积公式得 由射影面积公式得 7 7 cosarg 7 7 PBC PEC S S COS 解解 4 异面直线距离法 异面直线距离法 过过 A 作作 ADPC BEPC 交交 PC 分别于分别于 D E 设设 PA 1 则则 AD PB PC 2 2 2 BE CE DE PC S PBC 2 1 4 14 4 2 4 2 由异面直线两点间距离公式得由异面直线两点间距离公式得 AB2 AD2 BE2 DE2 2ADBE COS COS 7 7 cosarg 7 7 点评点评 本题给出了求平面角的几种方法 应很好掌握 本题给出了求平面角的几种方法 应很好掌握 P C B A E E P C B A D 图 3 图 4 例例 3 二面角 二面角的大小为的大小为 A 是它内部的一点 是它内部的一点 AB AC B C 为为 EF 120 垂足 垂足 1 求证 平面求证 平面 ABC 平面平面 ABC 2 当当 AB 4cm AC 6cm 时求时求 BC 的长及的长及 A 到到 EF 的距离 的距离 分析 本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角分析 本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角 解 解 1 设过 设过 ABC 的平面交平面的平面交平面于于 BD 交平面交平面于于 CD AB AB平面平面 ABC 平面平面 ABC 同理平面同理平面 ABC 2 AB ABEF 同理同理 ACEF EF平面平面 ABDC BDEF CD EF BDC 120 60 BAC BC cm 726064264 22 COS 有正弦定理得点有正弦定理得点 A 到到 EF 的距离为 的距离为 d cm 3 214 60sin BC 二面角的求法二面角的求法 一 复习引入 一 复习引入 1 什么是二面角及其平面角 范围是什么 A B C D l l n n n n 从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角 记作 二面角 l 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角 范围 0 2 二面角出现的状态形式有哪些 竖立式 横卧式 2 2 二面角的类型及基本方法 二面角的类型及基本方法 1 四种常规几何作求法 定义法 垂面法 三垂线法 射影面积法 S射影多边形 S多边形cos 2 向量法 设和分别为平面的法向量 二面角的大小为 向量 m n l 的夹角为 如图 m n l l n n n n 结论结论 设和分别为平面的法向量 二面角的大小为 向量 的夹角为 则有m n l m n 或 结论结论 一般地 若设分别是平面的法向量 则平面与平面所成的二面角的计算公mn 式是 或 其 mn mn arccos 时 当二面角为锐角 直角 mn mn arccos 当二面角为钝角时 中锐角 钝角根据图形确定 二 例题讲解 二 例题讲解 以锥体为载体 对求角的问题进行研究以锥体为载体 对求角的问题进行研究 例例 1 1 如图 在底面是一直角梯形的四棱锥 S ABCD 中 AD BC ABC 90 SA 平面 AC SA AB BC 1 AD 2 1 求面 SCD 与面 SAB 所成的角的大小 解法解法 1 可用射影面积法来求 这里只要求出 S SCD与 S SAB即可 故所求的二面角 应满足 cos 1 1 1 2 12 3 22 6 3 点评 点评 1 1 若利用若利用射影面积法射影面积法求二面角的大小 作为解答题 高考中是要扣分的 因为它不是定求二面角的大小 作为解答题 高考中是要扣分的 因为它不是定 理理 2 2 由学生讨论解决 教师根据学生的解答情况进行引导 明确学生的解答由学生讨论解决 教师根据学生的解答情况进行引导 明确学生的解答 解法解法 2 三垂线定理法 解解 延长 CD BA 交于点 E 连结 SE SE 即平面 CSD 与平面 BSA 的交线 又 DA 平面 SAB 过 A 点作 SE 的垂线交于 F 如图 AD BC 且 AD BC 2 1 ADE BCE EA AB SA 又 SA AE SAE 为等腰直角三角形 F 为中点 2 2 2 2 2 1 SASEAF 又 DA 平面 SAE AF SE A C D 图 1 S D C B A 由三垂线定理得 DF SE DFA 为二面角的平面角 tanDFA 即所求二面角的正切值 2 2 FA DA 评注 评注 常规法求解步骤 一一作 作出或找出相应空间角 二二证 通过简单的判断或推理得到相应 角 三三求 通过计算求出相应的角 点评 是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直 来找到二面角的平面角的方法 这种方点评 是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直 来找到二面角的平面角的方法 这种方 法关键是找垂直于二面角的面的垂线 此方法是属于较常用的 总之 在运用三垂线找平面角时 找法关键是找垂直于二面角的面的垂线 此方法是属于较常用的 总之 在运用三垂线找平面角时 找 垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理 按三垂线的条件 一垂线垂直二面角的一个垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理 按三垂线的条件 一垂线垂直二面角的一个 面 还有垂直于棱的一条垂线 且两垂线相交 交点在二面角的面内 面 还有垂直于棱的一条垂线 且两垂线相交 交点在二面角的面内 解法解法 3 向量法 向量法 解 解 如图 建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 B 0 1 0 C 1 1 0 D 0 2 1 0 S 0 0 1 易知平面 SAB 的法向量为 0 2 1 0 设平面 SDC 的法向量为 x y z 而m n 1 2 1 0 0 1 面 SDC n n1 DC DS 1 2 n n DC n DS DC 得 0 0 n DC n DS 1 0 2 1 0 2 xy yz 令得 即 1 2 1 1x 2 y 1z n 面 SAB 与面 SCD 所成角的二面角为锐角 3 6 cos n m m n m n 1 1 6 2 arccos3 6 故面 SCD 与面 SBA 所成的角大小为 arccos3 6 点评 通过此例可以看出 求二面角大小 空间面面角等于二面角或其补角 的常规方法是构造点评 通过此例可以看出 求二面角大小 空间面面角等于二面角或其补角 的常规方法是构造 三角形求解 其关键又是作出二面角的平面角 往往很不简单 利用建立空间直角坐标系 避开了三角形求解 其关键又是作出二面角的平面角 往往很不简单 利用建立空间直角坐标系 避开了 作 证作 证 两个基本步骤 通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的 解题过程实现了程两个基本步骤 通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的 解题过程实现了程 序化 是一种有效方法 搭建平台 自主交流 数形结合 扫清了学生的思维障碍 更好地突破了教序化 是一种有效方法 搭建平台 自主交流 数形结合 扫清了学生的思维障碍 更好地突破了教 学的重难点 体验数学的简约美 一题多解是训练学生思维的有效形式 学的重难点 体验数学的简约美 一题多解是训练学生思维的有效形式 S D C B A 以柱体为载体 对求角的问题进行研究以柱体为载体 对求角的问题进行研究 例例 2 2 已知 D E 分别是正三棱柱 ABC 一 A1B1C1的侧棱 AA1和BB1上的点 且 A1D 2B1E B1C1 求过 D E C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小 几何法 几何法 解 在平面 M1B1B 内延长 DE 和 A1B1交于 F 则 F 是面 DEF 与面 A1B1C1的公共点 C1也是这两个面的公共点 连结 C1F C1F 为这两个面的交线 所 求的二面角就是 D C1F A1 A1D B1E 且 A1D 2B1E E B1分别为 DF 和 A1F 的中点 A1B1 B1F B1C1 FC1 A1C1 又面 AA1C1C 面 A1B1C1 FC1在面 A1B1C1内 FC1 面 AA1C1C 而 DC1在面 AA1C1C 内 FC1 DC1 DC1A1是二面角 D FC1 A1的平面角 由已知 A1D B1C A1C1 DC1A1 4 故所求二面角的大小为4 法法 2 向量法 向量法 解 解 建立如图的空间直角坐标系 设 则 1 0 E 1 1 0 2 0 Axyz 11 2BC 1 3 B3 1 C D 0 0 2 易知平面 A1B1C1的法向量为 0 0 1 n 设平面 DEC 的法向量为 x y z 而 1 1 0 2 2 由 1 m DE 3 1 DC 1 0 0 m DE m DC 即 不妨设 得 0 1 1 面 A1B1C1 30 220 xyz yz yz 0 x 1yz m cos n m 2 2 与面 DEC 所成角的二面角为锐角 1 4 点评 无棱的二面角一般是只已知一个共点 但两个面的交线不知道 若要找出二面角的平面角 点评 无棱的二面角一般是只已知一个共点 但两个面的交线不知道 若要找出二面角的平面角 则需要根据公理则需要根据公理 2 2 或公理或公理 4 4 来找出二面角的棱 化为有棱二面角问题 再按有棱二面角的解法解题 来找出二面角的棱 化为有棱二面角问题 再按有棱二面角的解法解题 这种主要有两类 一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角 两条在同一平面这种主要有两类 一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角 两条在同一平面 内且不平行 内且不平行 那么延长这两条线有一交点 根据公理 那么延长这两条线有一交点 根据公理 2 2 这点在二面角的棱上 连公共点和这点就是 这点在二面角的棱上 连公共点和这点就是 二面角的棱 另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角 这由直线和平面平行的判定和性二面角的棱 另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角 这由直线和平面平行的判定和性 质定理知这直线和面平行 所以直线平行于二面角的两个面的交线 由公理质定理知这直线和面平行 所以直线平行于二面角的两个面的交线 由公理 4 4 可知这两条直线平行于 可知这两条直线平行于 二面角的棱 所以过公共点作一条直线平行于这两直线 那么所作的直线是二面角的棱 二面角的棱 所以过公共点作一条直线平行于这两直线 那么所作的直线是二面角的棱 A B C C1QD1 A1B1P x y z D 课堂课堂反馈反馈练习 练习 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是梯形 AB CD AD DC CD 2 DD1 DA AB 1 P Q 分别是 CC1 C1D1的中点 求二面角 B PQ D 的大小 解 解 建立如图所示的坐标系 D xyz 则 A 1 0 0 1 1 0 2 1 2 0 0 1 1QPB 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 BQBPDA 因 DA 面 PQD 所以是面 PDQDA 的法向量 设为面 BPQ 的法 zyxn 向量 则 BQnBPn 解得 取 2 1 2 0 0 2 1 zx zyx yz zx 2 n 从图中可知 二面角 B PQ D 为锐角 cos 3 2 DAn DAn DAn 因此二面角 B PQ D 的大小为 3 2 arccos 点评 二面角问题可以综合较多知识点 可以综合有关的平行 垂直的关系 用到的定理几乎是点评 二面角问题可以综合较多知识点 可以综合有关的平行 垂直的关系 用到的定理几乎是 我们所学立几的知识 所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题 在计算方面要用到解三我们所学立几的知识 所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题 在计算方面要用到解三 角形的知识 要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角 然后通常归结在一个三角形中去求出最角形的知识 要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角 然后通常归结在一个三角形中去求出最 后的结果 总的 解这类题 找平面角是关键的一步 要注意运用题中的条件分析图形 然后用有关后的结果 总的 解这类题 找平面角是关键的一步 要注意运用