偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系_第1页
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1 偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导 另一个变量当做数 对x求偏导的话 y就看作一个数 描述的是 x方向上的变化率 对y求偏导的话 x就看作一个数 描述的是 y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面 z f x y 在x方向上的切线 对y求偏导是曲面 z f x y 在x方向上的切线 这里在补充点 就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况 但 是我们要了解各个方向上的情况 所以后面有方向导数的概念 2 微分 偏增量 x增加时f x y 增量或y增加时f x y 偏微分 在 detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz fx x y detax o detax 右边等式第一项就是线性主要部分 就叫做在 x y 点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法 就是用求x的偏导数求偏微分 全增量 x y都增加时f x y 的增量 全微分 根号 detax方 detay方 趋于0时 全增量的线性主要部分 同样也有求全微分公式 也建立了全微分和偏导数的关系 dz Adx Bdy 其中A就是对x求偏导 B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念 他们之间的关系就是上面所 说的公式 概念上先有导数 再有微分 然后有了导数和微分的关系公 式 公式同时也指明了求微分的方法 3 全导数 全导数是在复合函数中的概念 和上面的概念不是一个系统 要分开 u a t v b t z f a t b t dz dt 就是全导数 这是复合函数求导中的一种情况 只有这时才有全导 数的概念 dz dt 偏z 偏u du dt 偏z 偏v dv dt 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书 这里分为3种情况 1 中间变量一 元就是上面的情况 才有全导数的概念 2 中间变量有多元 只能求偏导 3 中 间变两有一元也有多元 还是求偏导 对于你的题能求对 x的偏导数 对 y的偏导数 z的全微分 不能求全导数 如果z f x 2 2 x 只有这种情况下 dz dx才是全导数 偏导数就是 在一个范围里导数 如在 x0 y0 处导数 全导数就是定义域为 R的导数 如在实数内都是可导的 在数学中 一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数 而保持其他变量恒定 相对于全导数 在其中所有变量都允许变化 偏导数 在向量分析和微分几何中是很有用的 函数f关于变量x的偏导数写为或 偏导数符号是圆体字母 区别于全导 数符号的正体 d 这个符号是阿德里安 马里 勒让德介入的并在雅可比的 重新介入后得到普遍接受 偏导数z xy y 对x求偏导z y 对y求偏导z x 1 全导数y x 2 对x求偏导 y 2x 求偏导时就把其它变量看作常数 字母代号即可 如Z X 2
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