2014届高三月考数学试题分类汇编应用题_6

a d l d a 2014 届高三月考数学试题分类汇编应用题届高三月考数学试题分类汇编应用题 1 江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考 某种商品原来每件售价为 25 元 年销售 8 万件 1 据市场调查 若价格每提高 1 元 销售量将相应减少 2000 件 要使销售的总收入不低于原收入 该商品每件定 价最多为多少元 2 为了扩大该商品的影响力 提高年销售量 公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革 并提高定 价到x元 公司拟投入 2 1 600 6 x 万元作为技改费用 投入 50 万元作为固定宣传费用 投入 1 5 x万元作为浮动宣传 费用 试问 当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价 解 1 设每件定价为x元 依题意 有 25 80 2 25 8 1 x x 整理得 2 6510000 xx 解得2540 x 要使销售的总收入不低于原收入 每件定价最多为 40 元 7 2 依题意 25 x时 不等式 2 11 25 850 600 65 axxx 有解 等价于25 x时 15011 65 ax x 有解 1501150 1 21030 66 xxx xx 当且仅当时 等号成立 10 2a 当该商品明年的销售量a至少应达到 10 2 万件时 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 此时 该商品的每件定价为 30 元 14 2 江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比 与它的厚度d的平方成正比 与它的长度l的平 方成反比 将此枕木翻转 90 即宽度变为厚度 枕木的安全负荷会如何变化 为什么 设翻转前后枕木的安全负荷分 别为 21 y y且翻转前后的比例系数相同都为k 现有一根横断面为半圆 已知半圆的半径为R 的木材 用它来截取成长方体形的枕木 其长度为 10 问截取枕 木的厚度为d多少时 可使安全负荷y最大 解 解 安全负荷k l ad ky 2 2 1 为正常数 翻转 2 2 2 90 l da ky 后 2 分 a d y y 2 1 当ad 0时 21 yy 安全负荷变大 4 分 当 12 0yyda 时 安全负荷变小 6 分 当ad 时 21 yy 安全负荷不 变 7 分 II 如图 设截取的宽为a 厚度为d 则 222222 44 2 RdaRd a 即 100 2 kad y 4 100 2 2 a Ra k 4 400 32 aaR k 2 0 Rx 0 k 9 分 3 4 400 3 22 Ra k y 令0 y 得 Ra 3 32 当 3 32 0 Ra 时 0 y 函数y在 3 32 0 R上为增函数 当 2 3 32 RRa 时 0 y 函数y在 2 3 32 RR上为减函数 当 Ra 3 32 时 安全负荷y最大 1414 分分 此时厚度Rd 3 6 15 15 分分 来来 答 当问截取枕木的厚度为R 3 6 时 可使安全负荷最大 16 分 说明 a范围不写 2 0 R扣 1 分 3 江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考 如图 两座建筑物CDAB 的底部都在同一个水平面上 且均与水平面垂直 它们的高度分别是 9cm 和 15cm 从建 筑物 AB 的顶部 A 看建筑物CD的视角 45CAD 1 求BC的长度 2 在线段BC上取一点 P点 P 与点CB 不重合 从点 P 看这两座建筑 物的视角分别为 DPCAPB问点 P 在何处时 最小 作AE CD 垂足为E 则9CE 6DE 设BCx 则 tantan tantan 1 tantan CAEDAE CADCAEDAE CAEDAE 96 1 9 6 1 xx x x 化简得 2 15540 xx 解之得 18x 或 3x 舍 答 BC的长度为18m 6 分 设BPt 则18 018 CPtt 22 915 16266 27 18 tan 915 1813518135 1 18 tt tt tttt tt 8 分 设 2 27 18135 t f t tt 2 22 542723 18135 tt f t tt 令 0f t 因为018t 得15 627t 当 0 15 627 t 时 0f t f t是减函数 当 15 627 18 t 时 0f t f t是增函数 所以 当15 627t 时 f t取得最小值 即tan 取得最小值 12 分 因为 2 181350tt 恒成立 所以 0f t 所以tan 0 2 因为tanyx 在 2 上是增函数 所以当15 627t 时 取得最小值 答 当BP为 15 627 m 时 取得最小值 14 分 4 江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研 某小商品 2012 年的价格为 8 元 件 年销量为a件 现经销商计划在 2013 年将该商品的价格降至 5 5 元 件到 7 5 元 件之间 经调查 顾客的期望价格为 4 元 件 经测算 该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格 的差成反比 比例系数为k 该商品的成本价格为 3 元 件 1 写出该商品价格下降后 经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式 2 设2ka 当实际价格最低定为多少时 仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20 解 1 设该商品价格下降后为x元 件 销量增加到 4 k a x 件 年收益 3 5 57 5 4 k yaxx x 7 分 2 当2ka 时 依题意有 2 3 83 120 4 a axa x 解之得 645xx 或 12 分 又5 57 5x 所以67 5x 因此当实际价格最低定为 6 元 件时 仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 A B D C P 第 17 题图 20 14 分 5 江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考 近年来 某企业每年消耗电费约 24 万元 为了节能减排 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网 安装这种供电设备的工本费 单位 万元 与太阳能电池板的面积 单位 平方米 成正比 比例系数约为 0 5 为 了保证正常用电 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 假设在此模式下 安装后该企业每年消耗的电费 C 单位 万元 与安装的这种太阳能电池板的面积x 单位 平方米 之间的函数关系是 0 20100 k C xxk x 为常数 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之 和 1 试解释 0 C 的实际意义 并建立F关于x的函数关系式 2 当x为多少平方米时 F取得最小值 最小值是多少万元 解 1 0 C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 由 0 24 100 k C 得 2400k 所以 24001800 150 50 5 0 201005 Fxx x xx 8 分 2 因为 1800 0 5 5 0 252 1800 0 50 2559 75 5 Fx x 当且仅当 1800 0 5 5 5 x x 即 55x 时取等号 所以当x为 55 平方米时 F取得最小值为 59 75 万元 说明 第 2 题用导数求最值的 类似给分 16 分 6 江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研 某个公园有个池塘 其形状为直角 ABC C 90 AB 2 百米 BC 1 百米 1 现在准备养一批供游客观赏的鱼 分别在 AB BC CA 上取点 D E F 如图 1 使得 EF AB EF ED 在 DEF 喂食 求 DEF 面积 S DEF的最大值 2 现在准备新建造一个荷塘 分别在 AB BC CA 上取点 D E F 如图 2 建造 DEF 连廊 不考虑宽度 供游客休憩 且使 DEF 为正三角形 设求 DEF 边长的最小值 答案 7 江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研 某地区要建造一条防洪堤 其横断面为等腰梯形 腰与底边成 角为 60 如图 考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素 设计其横断面要求面积为9 3平方米 且高度不低于 3米 记防洪堤横断面的腰长为x 米 外周长 梯形的上底线段BC与两腰长的和 为y 米 求y关于x的函数关系式 并指出其定义域 要使防洪堤横断面的外周长不超过10 5米 则其腰长x应在什么范围内 当防洪堤的腰长x为多少米时 堤的上面与两侧面的水泥用料最省 即断面的外周长最小 求此时外周长的值 解 1 9 3 2 ADBC h 其中2 2 x ADBCBCx 3 2 hx 13 9 3 2 22 BCxx 得 18 2 x BC x 由 3 3 2 18 0 2 hx x BC x 得26x C x A D B 60 183 2 26 2 x yBCxx x 6 分 183 10 5 2 x y x 得34x 3 4 2 6 腰长x的范围是 3 4 10 分 18318 3 26 3 22 xx y xx 当并且仅当 183 2 x x 即2 3 2 6 x 时等号成立 外周长的最小值为 6 3米 此时腰长为2 3米 14 分 8 江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考 某连锁分店销售某种商品 每件商品的成本为4元 并且每件商品需向总店交 13 aa 元的管理费 预计当每件商品的售 价为 79 xx 元时 一年的销售量为 2 10 x 万件 求该连锁分店一年的利润L 万元 与每件商品的售价x的函数关系式 L x II 当每件商品的售价为多少元时 该连锁分店一年的利润L最大 并求出L的最大值 解 由题得该连锁分店一年的利润L 万元 与售价x的 函数关系式为 2 4 10 7 9 L xxaxx 3 分 2 10 2 4 10 L xxxax 10 1823 xax 6 分 令 0L x 得 2 6 3 xa 或10 x 8 分 202 13 68 33 aa 当 2 67 3 a 即 3 1 2 a 时 7 9 x 时 0L x L x在 7 9 x 上单调递减 故 max 7 279L xLa 10 分 当 2 67 3 a 即 3 3 2 a 时 2 7 6 3 xa 时 0L x 2 6 9 3 xa 时 0L x L x 在 2 7 6 3 xa 上单调递增 在 2 6 9 3 xa 上单调递减 故 3 max 2 6 4 2 33 a L xLa 14 分 答 当 3 1 2 a 每件商品的售价为 7 元时 该连锁分店一年的利润L最大 最大值为279a 万元 当 3 3 2 a 每件商品的售价为 2 6 3 a 元时 该连锁分店一年的利润L最大 最大值为 3 4 2 3 a 万元 16 分 9 江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试 如图 为相距的两个工厂 以的中点为圆心 半径为画圆弧 为圆弧上两点 且 A B2kmABO2kmMN 在圆弧上一点处建一座学校 学校受工厂 的噪音影响度与 的平方成反比 MAAB NBAB MNPPAAP 比例系数为 1 学校受工厂的噪音影响度与 的平方成反比 比例系数为 学校受两工厂的噪音影响度之PBBP4P 和为 且设 yAPxkm 1 求 并求其定义域 yf x 2 当为多少时 总噪音影响度最小 AP 解 解 连接 OP 设则 在 AOP 中 由余弦定理得 在 BOP 中 由余弦定理得 O B N A P M 4 分 则 6 分 则 8 分 令 10 分 由 得或 t 10 舍去 当 函数在上单调递减 当 函数在上单调递增 当时 即时 函数有最小值 也即当 AP 为 km 时 总噪音影响度 最小 14 分 10 江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研 如图 有三个生活小区 均可看成点 分别位于 A B C三点处 ABAC A到线段BC的距离40AO 2 7 ABO 参考数据 22 3 tan 73 今计划建一个生活垃圾中转站P 为方便运输 P准备建在线段AO 不 含端点 上 1 设 040 POxx 试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数 并求S的最小值 设 2 0 7 PBO 试将P到三个小区的距离之和y表示为 的函数 并确定当 取何值时 可使y最小 2 20 32sin 24020 3tan4020 3 coscos y 11 分 因为 2 2sin1 20 3 cos y 令0y 即 1 sin 2 从而 6 当0 6 时 0y 当 2 67 时 0y 11 江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考 如图 某小区有一边长为 2 单位 百米 的正方形地块 OABC 其中 OAE 是一个游泳池 计划在地块 OABC 内 修一条与池边 AE 相切的直路l 宽度不计 切点为 M 并把该地块分为两部分 现以点 O 为坐标原点 以线段 OC 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 若池边 AE 满足函数 2 2 02yxx 的图象 且点 M 到边 OA 距离为 24 33 tt 1 当 2 3 t 时 求直路l所在的直线方程 2 当 t 为何值时 地块 OABC 在直路l不