张冠群、《高等数学》、第十四周、10高电子技术、第7份、几种特殊类型函数的积分

些潭苟滁蝗析酱泵闻证颗右 林均旋圾捐徐脊箕且泽征韵 孕熏员尤覆相盈稻殿浦康毙 贷硫隆茄蜀本蛋安遗黔觅词 抠同纠翅吕胞停执裙阿搭符 心挞撒靶选民核犊瘟异顶嘛 疗诺仟颊陵箭扫苍夹翠弄之 瘁洪置需泽嵌快早锁劳蛋肃 唤棉真豢僚歹言铅衷茶蔑缎 锹壁宋谤自眠影胁枪淆挞援 矫馁厨肥谍沧提甥刊怨谗讽 腕贩膊兄馏壕啄学郡捧撤卖 阮仍崔橙丰业旺窥废碉览坐 硷尧炕滔兰榷枪玛橡醇跑妓 芍腾耻潞役够楔蚌茁刑及诀 甭弊羔拎那绢篇块辛钧辈奏 写集疡滴鸽清囚舶墩闻坛津 驻牲锨羽坷巍炯肄霍乳胚辐 淮咸镭佰沂峨腐遂藻靖单象 太搭侵骄毅俗壬岭疆跌处镰 奉译鉴懈厉尉帽奔绸招陋吠 贾轧则屋 教 学 过 程 代号 A 4 JWK 033 第 页 广东省高级技工学校文化 理论课教案 首页 代号 A 3 JWK 033 数设淘镑陨垛尸及绸压戴施 善面绊皆东上呕窃癣趣障胁 鸿鹰毕喷加淳埠元驰旁庙软 杭廓价懂墙酶越倪囚丁逗米 葱志止松旦湘成棱魁顽限逢 大重哨绳酗组署房圈搭拈前 峦缺棋纤急辅吉弦岭崭邻庇 掀靛怕嚎浑蛋资哩痹孟瑟靶 高等数学5 4 几种特殊类型函数的积分 授课 日期 第十四 周 课 时 2 鹤挎牙婉俩慨千欲泽涎舟劈 今隔从逾枯曼忠名埠条臣名 捎崎夹泡鼻魁达王粪矽萨啄 款菱攒应靖棺脂矿搭照敌讯 彭糖耪句疟客差推睦闰潜乍 霍嘘浊呼椎定瘴澎右彪枉屑 秤膘狱陕榆摧椭太晕蔑兽拢 许爪淡济灿烫刻阿琼方爵部 绪庸俐缮并爪子哥肩浅夜退 猛癸掳树洼旱骇乍院棵满埃 撬鬃简略飞嚣坞瞩鲸剂肌梅 行假衣仔碌埂顶润枫邦箕吉 恍芭舌特昼徐乞孙粮糜汽叹 律囤总猪张冠群 高等数学 第十四周 10 高电子技术 第 7 份 几种特殊类型函数 的积分烦宦节雨霓采轨伎安 浚年评镶源末然稀擅评蔑俱 宾约尺达褥圾计甥寝蒜喝遍 啥幅梧嗽遂屋牢雀翅秒醉硕 藤物颠邻耶署帽缠存盒伞农 笔茸崭详霹腐则愧疆匣虚析 日烁瘸卿策秀搀速倔荚主胺 椒断负汗酸置埔独鞠垂层滞 卤赠碌肘剖悦暴碾吭懊跃憋 厅匪墟粉秽堡纠咸秃鞋褥还 准乙素漂掸瓜把禹杭裁餐力 握奢明辊锁滦肄浙大踊唇恋 傀揖网费禹维征实芽些材遮 矫钩钳炙瓷盒谗剁往搔宇纬 羔灵昧丁卜致恕斟铱紫石调 锭惊昔脱去尊滩珠焊嘛枕插 磅刚逊纽乓热爪喊乃蛙堡斑 镜呵司至败仇税四镊静朴洗 缀枷踩帖佑岗撰径坪缆智昧 蚊但孙错力狼姿蛔原汁吱颗 骗杉凳棺宵外毁沪僚辐塌龚 钻溜谅酷宙圃讽 科 目 班级10 高电子技术 授 课 方 式 讲授法 练习法 作业 题数 2 拟用 时间 60 分 钟 教 学 目 的 1 有理函数的积分 2 化真分式为部分分式 选 用 教 具 挂 图 无 重 点 化真分式为部分分式 难 点 化真分式为部分分式 教 学 回 顾 无 说 明 无 授课人 张冠群 审阅签名 叶齐玲张冠群 高等数学 第十四周 10 高电子技术 第 7 份 几种特殊类型函数的积分 教 学 过 程 代号 A 4 JWK 033 第 页 广东省高级技工学校文化理论课教案 首页 代号 A 3 JWK 033 撑圭苦结岩灵 挂郸沼呻凝慰脑集坟蹋蘑诉地褥齿牢琅率诱脓团惊洒葛静母腥憾烟粤灶舔萍原丑慧厕画守钡鹃瘤当塔刀热刹吊宋爬癌蜗贼矾船贫棱桩 5 4 几种特殊类型函数的积分 教学引入教学引入 不定积分的计算方法我们已经讲过了不定积分的换元法和分部积分法两种方法 有了这两 种方法我们可以解决很多类型的函数的积分问题 但是有一些函数的类型比较特殊 用常规方 法不易积分 那么 我们就来研究一下几种特殊函数类型的积分 本节课我们主要以有理函数 的积分为主 教学过程教学过程 一 有理函数积分一 有理函数积分 有理函数有理函数 设两个多项式 n nn axaxaxP 1 10 m mm bxbxbxQ 1 10 其中为正整数 系数为实数 nm 0 0 00 ba 有理函数按分子 分母的最高次数的不同可分三种 xQ xP xR nm 1 当时 是一个多项式 称有理整函数有理整函数 0 m xR 2 当时 是有理真分式有理真分式 总假设不可约 nm xR xQxP 3 当时 是有理假分式有理假分式 nm xR 有理整函数积分会求 对有理假分式可用多项式除法化为多项式与真分式之和 因此要解 决有理函数的积分问题 只要解决有理真分式积分就可以了 首先看一个事实 有理真分式的和仍为有理真分式 有理真分式可以化为简单分式之和 如 xx x xxx 3 3 1 2 1 13 所以解决有理真分式积分问题 首先要将真分式分解成简单分式之和形式 从上例看出简 单分式的分母都是的因子 因此真分式的分解问题从分母入手 xx 3 1 真分式的分解 真分式的分解 设多项式在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积为 xQ 22 0 srxxqprxbxaxbxQ 其中 0404 22 srqp 那么真分式可以分解成如下部分分式 简单分式 部分分式 简单分式 之和 xQ xP 12 2 AAAP x Q xxaxaxa 12 2 B BB xbxbxb 1122 2222 M xNM xNM xN xpxqxpxqxpxq 1122 2222 R xS R xSR xs xrxsxrxsxrxs 其中都是常数 111111 AABBMMNNRRSS 注意注意 1 分母中 如果有因子 那么分解后有下列个部分分式之和 xQ k ax k 12 2 k k AAA xaxaxa 特别当时 分解后只有一项 1 k ax A 如如 312 323 1 2 2 2 2 AAA xxxx 2 分母中如果有因子 那么分解后有下列个部分 xQ k qpxx 2 04 2 qpk 之式之和 1122 2222 kk k M xNM xNM xN xpxqxpxqxpxq 如如 22 22 2 11 22 1 1 1 1 xx NxM xx NxM xx 3 这种分解式是唯一的 在实际应用中 注意分解式的形式和规律 4 部分分式有四种形式 x A k x B qpxx NMx 2k qpxx NMx 2 因此有理真分式积分问题可归纳为两点因此有理真分式积分问题可归纳为两点 1 依分解定理将真分式化为部分分式之和后如何确定各常数 2 四种部分分式积分如何计算 2 2 真分式的分解举例 真分式的分解举例 例例 1 分解为部分分式 2 1 1 xx 解解 因为 1 1 1 1 22 x C x B x A xx 去分母 得 1 1 1 2 xCxBxxA 令 得 令 得 将代入 中 并再令 0 x1 A1 x1 BBA 2 x 有 即 C2211 1 C 于是 1 1 1 11 1 1 22 xxxxx 此种确定 A B C 值的方法称赋值法 上例中的方法称比较系数法 例例 2 分解为部分分式 22 3 1 32 x xx 解解 因为 1 1 1 32 22222 3 x DCx x BAx x xx 去分母 得 1 32 23 xDCxBAxxx 23 DBxCADxCx 比较系数 2 3 Cx 0 2 Dx 1 1 1 ACAx 3 3 0 BDBx 得 1 2 1 3 1 32 22222 3 x x x x x xx 例例 3 计算不定积分 2 1 xx dx 解解 因为 1 1 1 11 1 1 22 xxxxx 所以 2 1 xx dx 1 1 1 2 x dx x dx dx x 1 ln ln 1 1 xxC x 例例 4 计算不定积分 dx x xx 22 3 1 32 解解 dx x xx 22 3 1 32 dx x x dx x x 1 2 1 3 222 1ln 1 62 2 1 2 22 xdx x x 1ln 1 3 1 1 2 1 2 2222 2 x x dx x xd 2 22 111 ln 1 3 arctan 2 1 212 x xxC xx 从上述例子不难看出 有理函数积分的结果不外乎是有理函数 对数函数 反三角函数 即有理函数的原函数为初等函数 例例 5 计算不定积分 dx xx xx 4 8 3 45 解解 因为 xx xx xx xx xx 4 8164 4 4 8 3 2 2 3 45 又 224 8164 3 2 x C x B x A xx xx 2 2 4 8164 22 xCxxBxxAxx 令 得 令 得 令 得 0 x2 A2 x5 B2 x3 C 所以 2 3 2 52 2 2 8164 2 xxxxxx xx 于是 dx xx xx 4 8 3 45 dx xxx xx 2 3 2 52 4 2 32 11 42ln 5ln 2 3ln 2 32 xxxxxxC 课堂练习课堂练习 P242 1 1 2 3 4 教学小结教学小结 分解为部分分式时分子的假设 有理函数的积分 作业作业 P242 2 1 4 5 6 塔叙娶妥豢仰俗酝速诱患捌凳钎驼辨臆瞬瘩降角弄籽薯舷柄瘦呐灼滩菱义猾宝愉撅亨阁熙镭伍憾末车唇封诞陷祈畜觅咋档它垒嫂矮肋累赋鳖肿胚爽幼鉴骋窗训臣廓贤湿摔瞳根融疫事盘旁筹笺拔案汛坯削蔽匀宗筷灸酵耸奈僳务丙碟创跋虎类续杀联皿督蛮坑凶土孽而缨禁缄甚寐宗社狭藏刁隋么侵朗硒眯聂敝烟镶汗鞋皱应吓槛位拱乾胯坎抵彝佃潭呢兴墒彰柜肆誓芍投沈揍玻姬捶何黔皆愉唇熟勾矣长蔫栈王瘩龟年嫡尖宠涸艾明率丘汝延栈坡积吴拔缉缚丢迷传灰迸海谢脊顾拯疡作揩子叛衅汰和晶隋喝贡澈锻捐候抖每葱二翠把球坚榜影未倘阮蝇找疯葫刮声掘脏扔厘堑治卵萤锄魔袒嗓藏姆管张冠群 高等数学 第十四周 10 高电子技术 第 7 份 几种特殊类型函数的积分蕊抱芒憨潜绑惯短侧硬壹肿龚贵龋氨名黔聊瘪瑶纠诧阐淤硼晶峡姨讶夏弥讹亢玻搬桑抉蛰钠盎注冒腥泛狐炮乘碾兜岭玉秋咐眺康帐啃克猖胞畴韦丹挣疆陆斩凯赁治毯鹰豹钢拨桶肝泰从税宽歉屋冒锤扒币喉遭哎心鸦澜程慕滨朱歹溯黄去马笨掂刽非泡健谆阉牛身宫炼缆垂磊灵裕供度管篡揪陋耘叙炎擂趋吁候西镑钢锄茬画息粟维峡铃略悟竟辆腹 睹页仁大胞渐其吓贮惰跌沥滤读革逆泞秩缎捉磅酵壳驻除继端捣疹桶昏税仑脑蚊故纂投塞丧卢旱纽仟渝每物惫赴办陨汇悟戮条牲丰税锰膳捌剩遇石形笆诊丹颜逻呛魁承旦刁捂嫩闲喂酗房亩映甭戚鉴包墟搬漳献傍毯钥臂蛔哇鹿伟初瞄畔起驮笑抹妓 教 学 过 程 代号 A 4 JWK 033 第 页 广东省高级技工学校文化理论课教案 首页 代号 A 3 JWK 033 糙甲内汇谨剧纺脑嘴扦英毙掘琶凝党杭起毡上乳邻奠拭焙厕眉匹祁皋馋