2013年龙校讲义_暑期四升五_第14讲_计数问题

第 14 讲 计数问题 知识提要 1 分类计数原理 即加法原理 完成一件事情有n类办法 在第1类办法中有 种不同的 方法 在第2类办法中有 种不同的方法 在第n类办法中有 种不同的方法 那么完成 这件事共有 种不同的方法 分类计数中 各种方法相互独立 用其中 12n Nmmm 任何一种方法都可以完成这件事情 2 分步计数原理 即乘法原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有 种不同的 方法 做第2步中有 种不同的方法 做第n步有 种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分步计数中 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 12n Nm mm 这件事情才算完成 3 枚举法 枚举即将符合要求的结果一一列出 不能重复和遗漏 为达到这个目的时常 会选择将结果进行合理的分类 再按照一定的顺序列出 枚举法是解决计数问题的根本方法 其他的计数原理 技巧方法可以简化枚举过程 更快得到结果 但不能替代枚举 当计数问题 不易解决时 应首先分析题目条件尝试枚举法解决问题 总结出枚举过程中的规律 再适当 计算简化枚举过程 得到结果 基础练习 1 没有重复数字三位数中 1 三个数位上的数字从左往右分别小于 6 7 8 的数有多少个 2 三个数位上的数字从左往右分别大于 2 6 4 的数有多少个 2 环路上顺序有甲乙丙丁四地 其中甲地到乙地有 2 条路 乙地到丙地有 4 条路 甲地到丁地有 3 条 路 丁地到丙地也有 3 条路 问从甲地到丙 不往回走 地有多少种不同的路线选择方法 3 在所有四位数中 前两位的数字之和与后两位的数字之和都大于 6 的共有多少个 4 写有 0 1 2 3 4 5 的卡片各一张 1 从中挑选四张组成的所有四位数 从小到大排成一列 4123 位于第 位 2 从中任意挑选出若干张卡片组成能被 5 整除的正整数 共有 个 3 组成的六位数中 百位不是 2 的奇数有 个 5 在 1 到 100 这 100 个自然数中 取两个不同的数 使他们的和是 7 的倍数 共有多少种不同的取法 6 用四种颜色对下图中的五个区域染色 要求相邻的区域染不同的颜色 那么 有多少种不同的染色方 法 a b c d e 能力拓展题 7 题库中有三类题目 数量分别为 10 道 每次考试从中选取三道组成一张试卷 要求至少包含其中两 类题目 如果不同的题目顺序算做不同的试卷 由该题库共可组成多少不同的试卷 8 在 1 到 50 这 50 个自然数中 取出三个不同的数 使它们的和是 4 的倍数 一共有多少种取法 9 用四种颜色对下图中的八个小圆形区域染色 要求有线段连接的两个区域染不同的颜色 问 有多少 种不同的染色方法 10 窗户上有如图所示的图案 妈妈想用彩色贴纸将每个区域覆盖住 共有四种颜色的贴纸 妈妈希望 相邻的区域使用不同的颜色 并且整个图案的颜色是对称的 那么 有多少种不同的选择贴纸的方案 a b c def 思考题 一个的正方形表格上 选择 2 个小方格染上红色 如果旋转以后相同的染色方法视为同一种染44 色方法 那么共有多少种不同的染色方法 学习总结 本讲进一步加深学习加法原理和乘法原理 在分类时应该使用加法原理 在分布时应该 是用乘法原理 同一个问题中 往往可能既需要分类 又需要分步 课后作业 1 可以重复的使用数码 0 至 7 可以组成多少个小于 10000 的自然数 2 在自然数中用两位数做被减数 一位数做减数 共能组成多少个不同的减法算式 3 题库中有三类题目 数量分别为 30 道 40 道和 45 道 每次考试从三个类型中各取一道组成一张试 卷 如果不同的题目顺序算做不同的试卷 由该题库共可组成多少不同的试卷 4 用四种颜色对下图中的 A B C D 四个区域染色 要求相邻的区域染不同的颜色 问 有多少种不同的 染色方法 A B C D 5 用五种颜色对下图中的 A B C D 四个区域染色 要求相邻的区域染不同的颜色 问 有多少种不同