一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

一 选择题 1 设 是关于的一元二次方程的两个实数根 且 则 A B C D 2 下列命题 若 则 若 则一元二次方程有两个不 相等的实数根 若 则一元二次方程有两个不相等的实数根 若 则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3 其中正确的是 只有 只有 只有 只有 3 若一次函数的图象过第一 三 四象限 则函数 A 有最大值 B 有最大值 C 有最小值 D 有最小值 4 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 它与 x 轴的两个交点分别为 1 0 3 0 对于下列命题 b 2a 0 abc 0 a 2b 4c 0 8a c 0 其中正确的有 A 3 个 B 2 个C 1 个D 0 个 5 关于的一元二次方程的两个实数根分别是 且 则的值 是 A 1 B 12 C 13 D 25 二 填空题 6 设 是方程的两根 则代数式 7 已知关于一元二次方程有一根是 则 三 计算题 8 已知 关于的方程 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 若方程的一个根是 求 另一个根及值 9 解方程 四 综合题 10 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大 1 求 的值 11 如图 抛物线与轴交于 A B 两点 点 A 的坐标是 1 0 与轴交于点 C 1 求抛物线的对称轴和点 B 的坐标 2 过点 C 作 CP 对称轴于点 P 连接 BC 交对称轴于点 D 连接 AC BP 且 BPD BCP 求抛物线的解析式 12 已知关于x的二次函数y x2 2m 1 x m2 3m 4 1 探究m满足什么条件时 二次函数y的图象与x轴的交点的个数 2 设二次函数y的图象与x轴的交点为 A x1 0 B x2 0 且 5 与y轴的交点为C 它的顶点 为M 求直线CM的解析式 13 如图 已知点 直线交轴于点 交轴于点 1 求对称轴平行于轴 且过三点的抛物线解析式 2 若直线 平分 ABC 求直线 的解析式 3 若直线产 0 交 1 中抛物线于两点 问 为何值时 以为边的正方形的面积为 9 14 如图 抛物线交轴于点 交轴于点 连结 是线段上一动点 以为一边向右侧作正方形 连结 交于点 1 试判断的形状 并说明理由 2 求证 3 连结 记的面积为 的面积为 若 试探究的最小值 15 如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 点O为坐标原点 点D为抛物线的顶 点 点E在抛物线上 点F在x轴上 四边形OCEF为矩形 且OF 2 EF 3 1 求抛物线所对应的函数解析式 2 求 ABD的面积 3 将 AOC绕点C逆时针旋转 90 点A对应点为点G 问点G是否在该抛物线上 请说明理由 五 简答题 16 已知的两边 的长是关于的一元二次方程的两个实数根 第三边的长是 1 为何值时 是以为斜边的直角三角形 2 为何值时 是等腰三角形 并求的周长 17 已知关于的一元二次方程 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 设方程的两个实数根分别为 其中 若是关于的函数 且 求这个函数的解 析式 3 在 2 的条件下 结合函数的图象回答 当自变量的取值范围满足什么条件时 18 已知抛物线y ax2 x c经过点Q 2 且它的顶点P的横坐标为 1 设抛物线与x轴相交于 A B两点 如图 1 求抛物线的解析式 2 求A B两点的坐标 3 设PB于y轴交于C点 求 ABC的面积 19 如图 已知抛物线的顶点为 A 1 4 抛物线与 y 轴交于点 B 0 3 与x轴交于 C D 两点 点 P 是x轴上的一个动点 1 求此抛物线的解析式 2 当 PA PB 的值最小时 求点 P 的坐标 20 已知二次函数的部分图象如图 7 所示 抛物线与轴的一个交点坐标为 对称轴 为直线 1 若 求的值 2 若实数 比较与的大小 并说明理由 参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 B 4 考点 二次函数图象与系数的关系 分析 首先根据二次函数图象开口方向可得 a 0 根据图象与 y 轴交点可得 c 0 再根据二次函数的对称轴 x 结 合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x 1 结合对称轴公式可判断出 的正误 根据对称轴公式结合 a 的取值可判定 出 b 0 根据 a b c 的正负即可判断出 的正误 利用 b 2a 0 时 求出 a 2b 4c 0 再利用当 x 4 时 y 0 则 16a 4b c 0 由 知 b 2a 得出 8a c 0 解答 解 根据图象可得 a 0 c 0 对称轴 x 0 它与 x 轴的两个交点分别为 1 0 3 0 对称轴是 x 1 1 b 2a 0 故 错误 a 0 b 0 abc 0 故 正确 a 2b 4c 0 b 2a 0 a 2b 4c a 2b 4b 4c 4b 4c a b c 0 4a 4b 4c 0 4b 4c 4a a 0 a 2b 4c 4b 4c 4a 0 故此选项正确 根据图示知 当 x 4 时 y 0 16a 4b c 0 由 知 b 2a 8a c 0 故 正确 故正确为 三个 故选 A 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 关键是熟练掌握 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 简称 左同右异 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 5 C 二 填空题 6 1 7 4 三 计算题 8 解 1 无论取何值 所以 即 方程有两个不相等的实数根 2 设的另一个根为 则 解得 的另一个根为 的值为 1 15 9 解 由题意得 由方程 2 得 代人 1 式得 解得 或 代人得或 四 综合题 10 设方程的两个根为 其中为整数 且 则方程的两根为 由题意得 5 分 两式相加 得 即 所以 或 10 分 解得 或 又因为 所以 或者 故 或 29 20 分 11 解 1 对称轴是 点 A 1 0 且点 A B 关于 x 2 对称 点 B 3 0 2 点 A 1 0 B 3 0 AB 2 CP 对称轴于 P CP AB 对称轴是 x 2 AB CP 且 AB CP 四边形 ABPC 是平行四边形 设点 C 0 x x 0 在 Rt AOC 中 AC BP 在 Rt BOC 中 BC BD BPD PCB 且 PBD CBP BPD BCP BP2 BD BC 即 点 C 在 y 轴的负半轴上 点 C 0 y ax2 4ax 3 过点 1 0 a 4a 3 0 解得 a 解析式是 12 解 1 令y 0 得 x2 2m 1 x m2 3m 4 0 2m 1 2 4 m2 3m 4 16m 15 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 即 16m 15 0 m 此时 y的图象与 x 轴有两个交点 当 0 时 方程有两个相等的实数根 即 16m 15 0 m 此时 y的图象与x轴只有一个交点 当 0 时 方程没有实数根 即 16m 15 0 m 此时 y的图象与x轴没有交点 当m 时 y的图象与x轴有两个交点 当m 时 y的图象与x轴只有一个交点 当m 时 y的图象与x轴没有交点 评分时 考生未作结论不扣分 2 由根与系数的关系得 x1 x2 2m 1 x1x2 m2 3m 4 x1 x2 2 2x1x2 2m 1 2 2 m2 3m 4 2m2 10m 7 5 2m2 10m 7 5 m2 5m 6 0 解得 m1 6 m2 1 m m 1 y x2 3x 2 令x 0 得y 2 二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为 0 2 又y x2 3x 2 x 2 顶点M的坐标为 设过C 0 2 与M 的直线解析式为y kx b 则 2 b k k b b 2 所求的解析式为y x 2 13 解 1 直线交轴于点 交轴于点 由此 得点坐标为 点坐标为 由于抛物线过 故可设抛物线解析式为 抛物线过点 抛物线解析式为 即 2 过点作 交直线 于点 平分 点坐标为 设 的解析式为 解这个方程组 得 直线 的解析式为 3 设两点的横坐标分别为 由题意知 是方程 即的两根 则 时 以 EF 为边的正方形的面积为 9 14 1 令 得 令 得 如图 是正方形 设 则 当时 有最小值 7 15 考点 二次函数综合题 专题 代数几何综合题 分析 1 在矩形OCEF中 已知OF EF的长 先表示出C E的坐标 然后利用待定系数法确定该函数的解析式 2 根据 1 的函数解析式求出A B D三点的坐标 以AB为底 D点纵坐标的绝对值为高 可求出 ABD的面积 3 首先根据旋转条件求出G点的坐标 然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可 解答 解 1 四边形OCEF为矩形 OF 2 EF 3 点C的坐标为 0 3 点E的坐标为 2 3 把x 0 y 3 x 2 y 3 分别代入y x2 bx c 中 得 解得 抛物线所对应的函数解析式为y x2 2x 3 2 y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的顶点坐标为D 1 4 ABD中AB边的高为 4 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 所以AB 3 1 4 ABD的面积 4 4 8 3 AOC绕点C逆时针旋转 90 CO落在CE所在的直线上 由 2 可知OA 1 点A对应点G的坐标为 3 2 当x 3 时 y 32 2 3 3 0 2 所以点G不在该抛物线上 点评 这道函数题综合了图形的旋转 面积的求法等知识 考查的知识点不多 难度适中 五 简答题 16 解 由题意得 1 整理得 不合题意 舍去 当时 是以为斜边的直角三角形 2 若 则 结果 注 此问用根的判别式做也可以 若 则 解得 当时 当时 若 同样时 当时 当或时 是等腰三角形 其周长为 14 或 16 注 不论或都说明是方程的一个根 也可以把代入方程解得值 17 1 证明 是关于的一元二次方程 当时 即 方程有两个不相等的实数根 3 分 2 解 由求根公式 得 或 即为所求 7 分 3 解 在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象 由图象可得 当时 9 分 18 1 由题意得 解得 抛物线的解析式为 2 令 y 0 即 整理得 x2 2x 3 0 变形为 x 3 x 1 0 解得 x1 3 x2 1 A 3 0 B 1 0 3 将 x l代入 中 得 y 2 即P 1 2 设直线PB的解析式为 y kx b 于是 2 k b 且 0 k b 解得 k 1 b 1 即直线PB的解析式为 y x 1 令 x 0 则 y 1 即 OC 1 又 AB 1 3 4 S ABC AB OC 4 1 2 即 ABC的面积为 2 19 解 1 抛物线顶点坐标为 1 4 设 y a x 1 2 4 由于抛物线过点 B 0 3 3 a 0 1 2 4 解得a 1 解析式为 y x 1 2 4 即 y x2 2x